【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程4
【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用5
【考點3】直線與拋物線的綜合問題7
【分層檢測】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).
2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.
知識梳理
1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，稱為拋物線的焦半徑.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點共線時，
C．當(dāng)時，
D．滿足的點有且僅有2個
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線的斜率為B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．
考點突破
【考點1】拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）過拋物線上的一點P作圓C：的切線，切點為A，B，則的最小值是（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動（兩條拋物線的頂點重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點被稱為馬鞍面的鞍點，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（）
A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線
B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線
D．用過原點且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，點是上位于第一象限的動點，點為與軸的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．到直線的距離為2
B．以為圓心，為半徑的圓與相切
C．直線斜率的最大值為2
D．若，則的面積為2
三、填空題
5．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，則 ；設(shè)為原點，點在拋物線上，若，則 .
6．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為 ，的面積為 （為坐標(biāo)原點）．
反思提升：
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·江蘇·一模）是拋物線的焦點，以為端點的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則
A．B．32C．D．
2．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點，Q為C上一點，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．3
二、多選題
3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（ ）
A．B．四邊形的面積為100
C．D．的取值范圍為
4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知曲線上的點滿足：到定點1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點，分別為曲線上的兩點，且點恒在點的右側(cè)，則（ ）
A．若，則曲線的圖象為一條拋物線
B．若，則曲線的方程為
C．當(dāng)時，對于任意的，，都有
D．當(dāng)時，對于任意的，，都有
三、填空題
5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是 ．
6．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.
①當(dāng)時，有；
②當(dāng)時，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
反思提升：
與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略
轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.
【考點3】直線與拋物線的綜合問題
一、解答題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線．
(1)若點是上的任意一點，直線，判斷直線與的位置關(guān)系并證明．
(2)若是直線上的動點，直線與相切于點，直線與相切于點．
①試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
②若直線與軸分別交于點，證明：．
2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，頂點在原點的拋物線經(jīng)過點.
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點的直線交拋物線于，，兩點（），過作軸的垂線交線段于點.
①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點時，求直線的方程；
②求點A到直線的距離的最大值.
3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點為，是上一點且，直線經(jīng)過點．
(1)求拋物線的方程；
(2)①若與相切，且切點在第一象限，求切點的坐標(biāo)；
②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為，且關(guān)于原點的對稱點為，證明：直線的傾斜角之和為．
4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標(biāo)原點O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
5．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知點，，，均在拋物線：上，，關(guān)于軸對稱，直線，關(guān)于直線對稱，點在直線的上方，直線交軸于點，直線斜率小于2.
(1)求面積的最大值；
(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.
6．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知動圓經(jīng)過點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)過點且斜率為正的直線交曲線于兩點（點在點的上方），的中點為，
①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；
②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點，若的面積為4，求直線的方程．
反思提升：
1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，若，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知點在焦點為的拋物線上，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多選題
5．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，點在C上，若（O為坐標(biāo)原點），則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點的坐標(biāo)可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南常德·模擬預(yù)測）已知拋物線經(jīng)過點，其焦點為，過點的直線與拋物線交于點，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（ ）
A． B．
C．D．
三、填空題
8．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為 ．
9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為
10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點，，，三點共線，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
11．（2021·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為,直線:與拋物線交于兩點,且(為坐標(biāo)原點).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線恒過定點.
12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知A，B兩點的坐標(biāo)分別是，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程．
(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點且滿足，求直線l的方程．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，，，則（ ）
A．1B．2C．4D．22
二、多選題
2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，動點在上，若定點滿足，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形D．的最小值為
三、填空題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點，O為坐標(biāo)原點，M為C的準(zhǔn)線l上一點，直線MF的斜率為，的面積為4．
(1)求C的方程；
(2)過點F的直線交C于A，B兩點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與C的另一交點為E，AE的中點為G，證明：G，B，D三點縱坐標(biāo)相等．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，設(shè)雙曲線C的方程為，過拋物線的焦點和C的虛軸端點的直線l與C的一條漸近線平行．將C的兩條漸近線分別記為，右焦點記為F，若以O(shè)F為直徑的圓M交直線于O，A兩點，點B在上，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為；拋物線的頂點為，焦點也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為.和交于、兩點，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．B．四邊形的面積為
C．D．的取值范圍為
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)點（）是拋物線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，分別交拋物線于點和點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．直線與拋物線相切圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離
性
質(zhì)
頂點
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

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