【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】4
【考點(diǎn)1】雙曲線的定義及應(yīng)用4
【考點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程5
【考點(diǎn)3】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)6
【分層檢測(cè)】8
【基礎(chǔ)篇】8
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.
知識(shí)梳理
1.雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)若ac，則集合P為空集.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq \f(2b2,a).
2.離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).
4.若漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點(diǎn)三角形的面積：P為雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4B．3C．2D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2022·全國(guó)·高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 ．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】雙曲線的定義及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點(diǎn)為圓所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切
B．若圓與圓外切，則圓與圓外切
C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
D．若，且圓與圓外切，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
二、多選題
3．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，則（ ）
A．若，則
B．若的面積為，則
C．若線段的中點(diǎn)在y軸上，則
D．內(nèi)切圓的圓心到軸的距離為1
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，，則（ ）
A．C的方程為
B．C的離心率為2
C．若點(diǎn)為雙曲線C上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為
D．若點(diǎn)為雙曲線C上支上的一點(diǎn)，則的內(nèi)切圓面積為
三、填空題
5．（2024·云南昆明·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是右支上一點(diǎn)，線段與的左支交于點(diǎn)．若為正三角形，則的離心率為 ．
6．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為 .若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為 .
反思提升：
在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
【考點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點(diǎn)在軸上”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，），的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是（ ）
A．若，且軸，則的方程為
B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為
C．若點(diǎn)在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為
D．若，則的離心率的取值范圍是
4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交的左?右支分別于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，已知，，，，若C，D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則 ．
6．（2023·廣東韶關(guān)·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一、三象限的交點(diǎn)分別為，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，面積為S，則 .
反思提升：
1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解.
2.與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
【考點(diǎn)3】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的焦距為（ ）
A．2B．3C．D．4
2．（21-22高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．9
二、多選題
3．（2024·山東·二模）已知雙曲線的離心率為，過其右焦點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．的最小值為
C．若滿足的直線恰有一條，則
D．若滿足的直線恰有三條，則
4．（2024·河北秦皇島·三模）設(shè)，是雙曲線的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則雙曲線的離心率的平方可能為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，若雙曲線左支上存在點(diǎn)，使得，則該雙曲線離心率的最大值為 ．
6．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會(huì)實(shí)踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

反思提升：
1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
2.雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A．B．4C．D．2
3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（ ）
A．的取值范圍是B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上
C．的焦距為6D．的離心率的取值范圍為
6．（21-22高二上·浙江金華·期中）已知點(diǎn)?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（ ）
A．PF1與雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)相等B．的面積為
C．雙曲線的離心率為D．直線是雙曲線的一條漸近線
7．（2021·海南·二模）已知雙曲線的離心率為，則（ ）
A．的焦點(diǎn)在軸上B．的虛軸長(zhǎng)為2
C．直線與相交的弦長(zhǎng)為1D．的漸近線方程為
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，且離心率為2，則 ．
9．（2023·吉林延邊·二模）已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為的中點(diǎn)，點(diǎn)I為的外心，若O、I、D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為 ．
10．（2024·上海閔行·二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則 .
四、解答題
11．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且其漸近線的斜率為．
(1)求的方程．
(2)若動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，且，證明：為定值．
12．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線E的離心率；
(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·河南駐馬店·二模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E：過點(diǎn)，則（ ）
A．雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為4
B．雙曲線E的離心率為
C．雙曲線E的漸近線方程為
D．過點(diǎn)P且與雙曲線E僅有1個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有1條
三、填空題
3．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），點(diǎn)在雙曲線上且 的面積為6，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 ．
四、解答題
4．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點(diǎn)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28B．29C．30D．32
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點(diǎn)，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（ ）
A．的離心率等于B．切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合
C．D．
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為 ．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖 形
性 質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2

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2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題48雙曲線(新高考專用)(原卷版+解析)
第65講 雙曲線及其性質(zhì) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）

第65講 雙曲線及其性質(zhì) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）
專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）

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專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）

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