【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】11
【考點1】雙曲線的定義及應(yīng)用11
【考點2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程17
【考點3】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)24
【分層檢測】29
【基礎(chǔ)篇】29
【能力篇】37
【培優(yōu)篇】41
考試要求：
1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).
2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.
知識梳理
1.雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)若ac，則集合P為空集.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq \f(2b2,a).
2.離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).
4.若漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4B．3C．2D．
2．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
6．（2022·全國·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值 ．
7．（2022·全國·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設(shè)、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
2．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當(dāng)漸近線為時，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當(dāng)漸近線為時，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設(shè)，則的中點，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；
對于選項C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對于選項D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；
故選：D.
4．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
5．/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
6．2（滿足皆可）
【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.
【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,
結(jié)合漸近線的特點，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點”
所以，
又因為，所以，
故答案為：2（滿足皆可）
7．
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
考點突破
【考點1】雙曲線的定義及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，過坐標(biāo)原點作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽池州·二模）已知圓和兩點為圓所在平面內(nèi)的動點，記以為直徑的圓為圓，以為直徑的圓為圓，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若圓與圓內(nèi)切，則圓與圓內(nèi)切
B．若圓與圓外切，則圓與圓外切
C．若，且圓與圓內(nèi)切，則點的軌跡為橢圓
D．若，且圓與圓外切，則點的軌跡為雙曲線
二、多選題
3．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點，分別為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點為雙曲線上一點，則（ ）
A．若，則
B．若的面積為，則
C．若線段的中點在y軸上，則
D．內(nèi)切圓的圓心到軸的距離為1
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，上、下焦點分別為，，則（ ）
A．C的方程為
B．C的離心率為2
C．若點為雙曲線C上支上的任意一點，，則的最小值為
D．若點為雙曲線C上支上的一點，則的內(nèi)切圓面積為
三、填空題
5．（2024·云南昆明·一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是右支上一點，線段與的左支交于點．若為正三角形，則的離心率為 ．
6．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點，且，則雙曲線C的離心率為 .若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為 .
參考答案：
1．C
【分析】利用焦半徑三角形及雙曲線的幾何定義，再結(jié)合余弦定理，就可以求得離心率，從而也就可以求得漸近線方程.
【詳解】
邊接，由關(guān)于原點對稱，可知四邊形是平行四邊形，
即，，由得：，
又由雙曲線的定義得，解得，
再由余弦定理得：，
，
即，再由，
故漸近線方程為：，
故選：C.
2．C
【分析】先證明當(dāng)時，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切，從而A和B錯誤；然后當(dāng)時，將條件變?yōu)?，從而根?jù)橢圓定義知點的軌跡為橢圓，C正確；當(dāng)時，將條件變?yōu)?，從而根?jù)雙曲線定義知點的軌跡為雙曲線的左支，D錯誤.
【詳解】我們分別記的中點為，顯然是的中點，故，.
當(dāng)時，在圓內(nèi)，此時，圓和圓不可能與圓外切，而圓與圓內(nèi)切等價于，
即，即，同理，圓與圓內(nèi)切也等價于；
當(dāng)時，在圓外，故“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，
即和，即和.
所以，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和，同理，“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓外切”分別等價于和.
下面考慮四個選項（我們沒有考慮的情況，因為不需要分析此種情況也可判斷所有選項的正確性）：
由于當(dāng)時，若，則圓與圓內(nèi)切，圓與圓外切；
若，則圓與圓外切，圓與圓內(nèi)切.
這分別構(gòu)成A選項和B選項的反例，故A和B錯誤；
若，則，此時“圓與圓內(nèi)切”和“圓與圓內(nèi)切”都等價于，
而根據(jù)橢圓定義，對應(yīng)的軌跡即為，C正確；
若，則，此時“圓與圓外切”等價于，
而根據(jù)雙曲線定義，對應(yīng)的軌跡為，
僅僅是雙曲線的半支，D錯誤.
故選：C.
3．BCD
【分析】由離心率公式和點到直線的距離公式，可得a，b，c，由雙曲線的定義可判斷A；由焦點三角形的面積公式可判斷B；由軸，計算可判斷C；由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)，可判斷D．
【詳解】漸近線方程為，
由題意可得，焦點到漸近線的距離為，結(jié)合，解得，則雙曲線的方程為 ，
，所以 或，選項A錯；
記，則，
由，可得，即有，所以，選項B對：
因為的中點在軸上，所以,故軸，故，選項C對；
取點在雙曲線的右支上，如圖所示，
，
又因為，解得，，
所以切點是雙曲線的右頂點，從而內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1，選項D對．
故選：BCD．
4．BC
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，以及內(nèi)切圓的定義，即可依次計算判斷.
【詳解】對于A，雙曲線C：的漸近線方程，則，
于是雙曲線C的方程為，A錯誤；
對于B，雙曲線C的離心率，B正確；
對于C，，
，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與雙曲線上支的交點時取等號，C正確；
對于D，由點 在雙曲線上支上，得，，
的周長，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，解得，
因此的內(nèi)切圓面積為，D錯誤.
故選：BC
5．
【分析】根據(jù)題意和雙曲線定義求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化簡得到，即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】因為點是右支上一點，線段與的左支交于點，且，
因為為等邊三角形，所以，，
由雙曲線定義得，，
又由，解得，
則，且，
在中，由余弦定理得，
化簡整理得，所以雙曲線的離心率為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求離心率是圓錐曲線一類?？碱}，也是一個重點、難點問題，求解橢圓或雙曲線的離心率，一般有以下幾種方法：
①直接求出、，可計算出離心率；
②構(gòu)造、的齊次方程，求出離心率；
③利用離心率的定義以及橢圓、雙曲線的定義來求解.
6． 6
【分析】利用題給條件結(jié)合雙曲線定義求得關(guān)系，進而求得雙曲線C的離心率；利用題給條件求得的值，進而求得的面積.
【詳解】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點設(shè)為，
則，由雙曲線的定義可得，
所以，，由勾股定理得，
即有，∴.
設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點橫坐標(biāo)為t，
則，則,
解之得
又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，
故.

故答案為：，6
反思提升：
在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
【考點2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北石家莊·二模）已知曲線，則“”是“曲線的焦點在軸上”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，），的左、右焦點分別為，，為上一點，則以下結(jié)論中，正確的是（ ）
A．若，且軸，則的方程為
B．若的一條漸近線方程是，則的離心率為
C．若點在的右支上，的離心率為，則等腰的面積為
D．若，則的離心率的取值范圍是
4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）過雙曲線的左焦點的直線交的左?右支分別于兩點，交直線于點，若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測）在四邊形ABCD中，已知，，，，若C，D兩點關(guān)于y軸對稱，則 ．
6．（2023·廣東韶關(guān)·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一、三象限的交點分別為，設(shè)四邊形的周長為，面積為S，則 .
參考答案：
1．C
【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.
【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，
，由，求得，
因為，所以，求得，即，
，由正弦定理可得：，
則由得，
由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及橢圓、雙曲線的特征判斷即可.
【詳解】當(dāng)時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故充分性成立；
當(dāng)時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，
故由曲線的焦點在軸上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲線的焦點在軸上”的充分不必要條件.
故選：A
3．AD
【分析】由雙曲線上一點，及軸，可得的值，即可求得雙曲線方程，從而判斷A；根據(jù)雙曲線漸近線方程與離心率的關(guān)系即可判斷B；根據(jù)雙曲線的離心率與焦點三角形的幾何性質(zhì)即可求得等腰的面積，從而判斷C；由已知結(jié)合正弦定理與雙曲線的定義、焦半徑的取值范圍即可求得雙曲線離心率的范圍，從而判斷D.
【詳解】對于A，若，且軸，則，，
所以，則，所以，則的方程為，故A正確；
對于B，若的一條漸近線方程是，則，離心率，故B不正確；
對于C，若的離心率為，則，所以，若點在的右支上，為等腰三角形，則，連接，如圖，
則是直角三角形，所以，故C不正確；
對于D，若，由正弦定理得，可知點在雙曲線的左支上，故，
則，又，所以，整理得，解得，
所以的離心率的取值范圍是，故D正確.
故選：AD.
4．BCD
【分析】設(shè)，利用點差法可求兩點坐標(biāo)，求出各線段的長度后可判斷各項的正誤，我們可可以根據(jù)雙曲線中的極線是可得判斷C，再由及比例的性質(zhì)可判斷B，由B的結(jié)論根據(jù)比例性質(zhì)可推出判斷A，再由及比例性質(zhì)可判斷D.
【詳解】法1：設(shè)，不妨設(shè).
由題設(shè)可得，故即為，
故，而，，
故，所以，
所以，故，故，
故，故，.
故的直線方程為：，故
故，
，
，，
，，
故，故A錯誤.
而，故B成立，
又，故C成立.
又，故成立，
故D成立，
故選：BCD .
法2：如圖，
點的極線是，故成調(diào)和點列，即，故C正確；
又，所以，所以，
所以，故B正確；
，故A錯誤；
，故D正確.
故選：BCD
5．
【分析】設(shè)，依題意可得，即，整理即可得到的頂點C的軌跡方程，由，設(shè)，求出的軌跡方程，再將D的軌跡方程沿y軸翻折得到，與雙曲線求交點坐標(biāo)，即可得解；
【詳解】解：設(shè)，，由得，
當(dāng)點C在x軸上方時，，故有
當(dāng)點C在x軸下方時，，故有
兩者都有，所以
則，化簡得
的頂點C的軌跡方程為
由，設(shè)，得點D的軌跡方程為
，把圓沿y軸翻折得到，與聯(lián)立消元，得到
解得或（舍去），所以
故答案為：
6．40
【分析】設(shè)，，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義可得，即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，
由在以為直徑的圓上可得：，
故，且四邊形為矩形，
由雙曲線可知：，
即，
又因為，則，
可得，
則，
所以.
故答案為：40.
反思提升：
1.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解.
2.與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同漸近線時可設(shè)所求雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
【考點3】雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）過雙曲線的右焦點F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點，若，則該雙曲線的焦距為（ ）
A．2B．3C．D．4
2．（21-22高三上·湖北黃岡·階段練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．9
二、多選題
3．（2024·山東·二模）已知雙曲線的離心率為，過其右焦點的直線與交于點，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．的最小值為
C．若滿足的直線恰有一條，則
D．若滿足的直線恰有三條，則
4．（2024·河北秦皇島·三模）設(shè)，是雙曲線的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率的平方可能為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別是，若雙曲線左支上存在點，使得，則該雙曲線離心率的最大值為 ．
6．（2024·吉林延邊·一模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢既同，則積不容異”的體積計算原理，即“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會實踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計圖紙，其外形的雙曲線方程為（），內(nèi)部虛線為該雙曲線的漸近線，則該同學(xué)利用“祖暅原理”算得此冷卻塔的體積為 ．

參考答案：
1．D
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由向量關(guān)系可得，再結(jié)合三角形面積關(guān)系列式計算得解.
【詳解】雙曲線的漸近線為，令，由對稱性不妨令直線垂直于直線，
而，則，由，得，則，
顯然，，由，
得，解得，則，
所以該雙曲線的焦距為4.
故選：D
2．C
【分析】畫出圖形，將轉(zhuǎn)化為，進而化簡，結(jié)合圖形得到答案.
【詳解】如圖，圓C的圓心C為（2,0），半徑r=2，
，則當(dāng)點P位于雙曲線左支的頂點時，最小，即最小.
此時的最小值為：.
故選：C.
3．ACD
【分析】由雙曲線的性質(zhì)和離心率可得A正確；分情況討論，當(dāng)與一支有交點時，最短弦長為通徑可得B錯誤；若滿足的直線恰有一條可知直線與雙曲線的兩支分別相交，可得，可判斷C正確；若滿足的直線恰有三條，則該直線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線的同一支相交，可得，可推導(dǎo)出D正確.
【詳解】A：當(dāng)時，因為，所以，故A正確；
B：當(dāng)過其右焦點的直線與交于左右兩支時，AB的最小值為，（此時為雙曲線的兩頂點）
當(dāng)過其右焦點的直線與交于同一支時，最短弦長為通徑，即交點的橫坐標(biāo)為，
代入雙曲線方程為，解得，此時弦長為，
由于不一定等于，故B錯誤；
C：若滿足的直線恰有一條，
由選項B可知直線與雙曲線的兩支分別相交，與同一支不相交，
所以，
此時，故C正確；
D：若滿足的直線恰有三條，則該直線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線的同一支相交，
所以，所以，
又，所以，故D正確；
故選：ACD.
4．CD
【分析】利用直線對稱的夾角關(guān)系，分類討論結(jié)合雙曲線的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題可知經(jīng)過第二、四象限，經(jīng)過第一、三象限，設(shè)的傾斜角為.
當(dāng)時，則，即，，
即，所以.
當(dāng)時，，即，，
即，所以.
綜上，雙曲線的離心率的平方為.
故選：CD
5．3
【分析】由已知可求得，進而可得，求解即可.
【詳解】由雙曲線左支上一點，可得，
又，所以，
又，所以，所以，
所以該雙曲線離心率的最大值為.
故答案為：.
6．
【分析】由直線，其中，分別聯(lián)立方程組和，求得的坐標(biāo)，進而求得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解
【詳解】如圖所示，雙曲線，其中一條漸近線方程為，
由直線，其中，

聯(lián)立方程組，解得，
聯(lián)立方程組，解得，
所以截面圓環(huán)的面積為，即旋轉(zhuǎn)面的面積為，
根據(jù)“冪勢既同，則積不容異”，
可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同，
所以該幾何體的體積為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意分析可知旋轉(zhuǎn)面的面積為，可得該幾何體的體積與底面面積為，高為3的圓柱的體積相同,
反思提升：
1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.
2.雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得兩漸近線方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·山西晉城·二模）已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南·三模）雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（ ）
A．B．4C．D．2
3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（ ）
A．的取值范圍是B．的焦點可在軸上也可在軸上
C．的焦距為6D．的離心率的取值范圍為
6．（21-22高二上·浙江金華·期中）已知點?是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（ ）
A．PF1與雙曲線的實軸長相等B．的面積為
C．雙曲線的離心率為D．直線是雙曲線的一條漸近線
7．（2021·海南·二模）已知雙曲線的離心率為，則（ ）
A．的焦點在軸上B．的虛軸長為2
C．直線與相交的弦長為1D．的漸近線方程為
三、填空題
8．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知圓錐曲線的焦點在軸上，且離心率為2，則 ．
9．（2023·吉林延邊·二模）已知坐標(biāo)平面xOy中，點，分別為雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線C的左支上，與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為的中點，點I為的外心，若O、I、D三點共線，則雙曲線C的離心率為 ．
10．（2024·上海閔行·二模）雙曲線的左右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于兩點，若，則 .
四、解答題
11．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線經(jīng)過點，且其漸近線的斜率為．
(1)求的方程．
(2)若動直線與交于兩點，且，證明：為定值．
12．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點是，一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線E的離心率；
(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點P，Q，求線段PQ的長．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題意求圓C的圓心和半徑，利用點到直線距離可得焦點到漸近線的距離，結(jié)合題意分析求解即可.
【詳解】因為圓的圓心為，半徑，
又因為雙曲線的一條漸近線為，即，
雙曲線的左焦點到漸近線的距離，
由題意可知：，可得，
所以該雙曲線的方程為.
故選：D.
2．A
【分析】由點到直線的距離公式、焦點、漸近線以及的關(guān)系即可求解.
【詳解】由對稱性，不妨設(shè)，雙曲線的漸近線是，
則由題意，解得，故所求為.
故選：A.
3．D
【分析】先根據(jù)點到直線得距離公式求出，在和中，求出，利用余弦相反構(gòu)造的齊次式，即可得解.
【詳解】，點到漸近線的距離為，即，
因為，所以，，
在中，由余弦定理得：.
在中，由余弦定理得：.
因為，所以，
所以，又，所以，
所以.
故選：D
4．B
【分析】設(shè)，，利用雙曲線的定義、勾股定理可得方程，解得，進而得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)，，，由題意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，
所以.
故選：B.
5．AC
【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得，判斷方程中分母的符號即可判斷A,B項，計算易得C項，先算出離心率的表達式，再根據(jù)的范圍，即可確定的范圍.
【詳解】對于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；
對于B，由A項可得，故，的焦點只能在軸上，故B錯誤；
對于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；
對于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯誤．
故選：AC.
6．BCD
【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得，然后，然后逐一判斷即可.
【詳解】由雙曲線的定義可得，
因為，所以，故A錯誤；
因為以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，
所以，所以的面積為，故B正確；
由勾股定理得，即，所以，故C正確
因為，所以，即
所以雙曲線的漸近線方程為：，即，即，故D正確
故選：BCD
7．BC
【解析】由雙曲線的方程可判斷A；由的離心率求得解得可判斷B；把代入雙曲線的方程求得可判斷C；由B選項得且，且焦點在x軸上可判斷D.
【詳解】由可知雙曲線的焦點在軸上，A錯誤；
的離心率，解得，的虛軸長為，故B正確；
由B選項知，把代入雙曲線的方程得，故弦長為1，C正確；
由B選項知且，且焦點在x軸上，雙曲線的漸近線方程為，故D錯誤.
故選：BC.
8．
【分析】由圓錐曲線是雙曲線，方程表示成標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率求的值.
【詳解】圓錐曲線的離心率為，則該圓錐曲線是雙曲線，
將方程化成焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式，
由離心率， 有，得．
故答案為：
9．
【分析】設(shè)，根據(jù)題意可知OD垂直平分，利用兩直線垂直斜率之積為-1和中點坐標(biāo)公式可得且，求出m、n，得出點M坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到關(guān)于a、c的方程，結(jié)合離心率的定義化簡即可求解.
【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，，
不妨設(shè)點在第二象限，則，
由D為的中點，O、I、D三點共線知直線OD垂直平分，
則，有，且，
解得，，所以，
將即，代入雙曲線的方程，
得，化簡可得，即；
當(dāng)點M在第三象限時，同理可得．
故答案為：.
10．4
【分析】由雙曲線的對稱性可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)雙曲線的定義和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.
【詳解】雙曲線，實半軸長為1，虛半軸長為，焦距，
由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，
令，則，由雙曲線定義可知，
故有，即，即，，
中，由余弦定理，
，
即，得，
.
故答案為：4.
11．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由漸近線的斜率設(shè)，再將代入求解即可；
（2）分兩種情況證明，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理及得出，設(shè)點到直線的距離為，則由等面積法即可證明；當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)直線的斜率為1，分別求出，即可證明．
【詳解】（1）由題可設(shè)雙曲線的方程為．
因為經(jīng)過點，
所以，解得，
故的方程為．
（2）若直線的斜率存在，設(shè)，
由，消去得，
則，即，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
因為，所以，即，
所以，整理得，
設(shè)點到直線的距離為，則由等面積法得，所以，
又，所以；
若直線的斜率不存在，則直線的斜率為，
不妨設(shè)直線的斜率為1，則，
將點的坐標(biāo)代入方程，得，
所以，
所以．
綜上，為定值．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)左頂點與漸近線的方程求得即可得到離心率；
（2）求出交點縱坐標(biāo)代入弦長公式求解.
【詳解】（1）由題意知，且，
，
所以雙曲線的離心率．
（2）由（1）知雙曲線方程為，
將即代入，得，
不妨設(shè)，
所以．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·河南駐馬店·二模）已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與雙曲線的右支交于點為坐標(biāo)原點，過點作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：過點，則（ ）
A．雙曲線E的實軸長為4
B．雙曲線E的離心率為
C．雙曲線E的漸近線方程為
D．過點P且與雙曲線E僅有1個公共點的直線恰有1條
三、填空題
3．（2024·河南鄭州·三模）已知雙曲線的離心率為分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與坐標(biāo)原點重合），點在雙曲線上且 的面積為6，則該雙曲線的實軸長為 ．
四、解答題
4．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意得到，取得，得到，，在中，由余弦定理化簡得到，即，即可求得雙曲線的離心率.
【詳解】如圖所示，直線的斜率為，可得其傾斜角為，
由題意得，則，
因為，所以，所以，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，即，
又因為，解得.
故選：C.
2．AB
【分析】由點在雙曲線上代入可得雙曲線方程，然后可得實軸長可判斷A正確，由離心率的定義可得B正確，由漸近線方程可得C錯誤；由兩條與漸近線平行，斜率相等，一條與雙曲線相切，直曲聯(lián)立，由判別式為零可得D錯誤.
【詳解】由得，.
對A，，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，由得，故C錯誤；
對D，有3條，兩條與漸近線平行，分別為，，
第三條與雙曲線相切，設(shè)切線的斜率為，
則，消去可得，
，，
令，解得，所以，故D錯誤.
故選：AB.
3．
【分析】利用離心率求得，繼而得到漸近線方程：，由向量等式推得點為的中點，設(shè)出點,求得點坐標(biāo)，代入雙曲線方程，化簡得，最后利用面積即可求得的值.
【詳解】
如圖，由可得，故雙曲線的漸近線方程為，
不妨設(shè)，因則點為的中點，則，
將其代入中，整理得：，
又,且,則的面積為，
即，解得,故雙曲線的實軸長為.
故答案為：.
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點在上，可求解，，進而可得雙曲線的方程；
（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過定點．
【詳解】（1）由已知得，，所以，
又點在上，故，
解得，，
所以雙曲線的方程為：．
（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．
當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，
由已知得，且，
設(shè)，，則，，
直線，的斜率分別為，，
由已知，故，
即，
所以，
化簡得，又已知不過點，故，
所以，即，
故直線的方程為，所以直線過定點．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·山東日照·一模）過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．28B．29C．30D．32
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知雙曲線的漸近線方程為，過的右焦點的直線交雙曲線右支于，兩點，的內(nèi)切圓分別切直線，，于點，，，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（ ）
A．的離心率等于B．切點與右焦點重合
C．D．
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，，則C的離心率為 ．
參考答案：
1．C
【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點為，，連接，，，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．
【詳解】由雙曲線方程可知：，
可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，
圓的圓心為（即），半徑為；
圓的圓心為（即），半徑為．
連接，，，，則，
可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.
2．ABD
【分析】A選項，根據(jù)漸近線方程求出，得到離心率；B選項，由雙曲線定義和切線長定理得到，得到切點與右焦點重合；C選項，根據(jù)雙曲線定義和的內(nèi)切圓的半徑得到；D選項，作出輔助線，得到，利用萬能公式得到答案.
【詳解】A選項，由題意得，解得，故離心率，A正確；
B選項，，
由雙曲線定義可得，，
兩式相減得，即，
故切點與右焦點重合，B正確；
C選項，的內(nèi)切圓的半徑為，
故
，C錯誤；
D選項，連接，則平分，
其中，
故，
所以
.
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線定義和切線長定理推出切點與右焦點重合，從而推理得到四個選項的正誤.
3．
【分析】引入?yún)?shù)，結(jié)合雙曲線定義、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，運用余弦定理可得出，結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】
在中，設(shè)，由正弦定理得，則，
所以由雙曲線的定義可知，，
故，
在中，，解得，
所以在中，，，，
又，解得，
所以離心率．
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于適當(dāng)引入?yún)?shù)，結(jié)合已知得出參數(shù)與的關(guān)系，進而結(jié)合離心率公式即可得解
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標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖 形
性 質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
題號
1
2
3
4






答案
C
D
D
AC






題號
1
2
3
4






答案
C
C
BCD
BC






題號
1
2
3
4






答案
C
A
AD
BCD






題號
1
2
3
4






答案
D
C
ACD
CD






題號
1
2
3
4
5
6
7



答案
D
A
D
B
AC
BCD
BC



題號
1
2








答案
C
AB








題號
1
2








答案
C
ABD








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