專題35 數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】4
【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和4
【考點(diǎn)2】裂項相消法求和5
【考點(diǎn)3】錯位相減法求和6
【分層檢測】7
【基礎(chǔ)篇】7
【能力篇】9
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.
2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.
知識梳理
1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂項求和常用的三種變形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項和為．若．
(1)求數(shù)列前項和；
(2)設(shè)，．
（ⅰ）當(dāng)時，求證：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當(dāng)時，．
6．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項公式；
(2)設(shè)的前n項和為，求證：；
(3)求．
8．（2021·全國·高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和
一、解答題
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，對任意，有
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求的前100項的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列的首項且
(1)證明: 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項和為，對任意正整數(shù)n，有．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)對所有正整數(shù)m，若，則在和兩項中插入，由此得到一個新數(shù)列，求的前91項和．
4．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．
(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；
(2)若，求其生成數(shù)列的前項和．
反思提升：
1.若數(shù)列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.
2.若數(shù)列{cn}滿足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.
【考點(diǎn)2】裂項相消法求和
一、解答題
1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項數(shù)列中，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)，證明：.
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和為，證明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知數(shù)列和的各項均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和滿足．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
反思提升：
1.用裂項相消法求和時，要對通項進(jìn)行變換，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項.
2.消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.
【考點(diǎn)3】錯位相減法求和
一、解答題
1．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，且其前項和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項和為，且也是等比數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
反思提升：
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.
(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
③應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2020·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（）
A．100B．105C．110D．115
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（）

A．B．C．D．
3．（2024·浙江杭州·二模）設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項的和，則（）
A．110B．120C．288D．306
4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S2021=（）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前項和為，則下列選項正確的為（）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的通項公式為D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，且，數(shù)列的前n項和為，則正確的選項是（）．
A．B．
C．D．
7．（2021·湖南衡陽·一模）設(shè)數(shù)列的前項和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列為“吉祥數(shù)列”的有（）
A．B．C．D．
三、填空題
8．（2024·山東濟(jì)南·三模）數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項的和為．
9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

10．（2022·上?！つM預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為．
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項為5，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項和.
【能力篇】
一、單選題
1．（2022·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，的通項公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項后，將余下的項按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項之和為（）
A．23804B．23946C．24100D．24612
二、多選題
2．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前項和為D．能被3整除
三、填空題
3．（2024·云南昆明·一模）記為數(shù)列的前項和，已知則．
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足.
①求數(shù)列的前n項和；
②若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·湖南衡陽·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，首項.
(1)若，求數(shù)列的通項公式；
(2)若函數(shù)，正項數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進(jìn)行編號，統(tǒng)計抽取到的每個區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.
(1)求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；
(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均為0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.
（i）求的表達(dá)式；
（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當(dāng)足夠大時，的值.
附：樣本相關(guān)系數(shù)；當(dāng)足夠大時，.

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