【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】12
【考點1】拋物線的定義和標準方程12
【考點2】拋物線的幾何性質及應用17
【考點3】直線與拋物線的綜合問題24
【分層檢測】35
【基礎篇】35
【能力篇】43
【培優(yōu)篇】47
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.
2.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.
知識梳理
1.拋物線的定義
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
(2)其數學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質
1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，稱為拋物線的焦半徑.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線的斜率為B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為B．直線AB與C相切
C．D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．
參考答案：
1．B
【分析】根據拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2．ABD
【分析】A選項，拋物線準線為，根據圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據拋物線的定義，，于是問題轉化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數即可，亦可直接設點坐標進行求解.
【詳解】A選項，拋物線的準線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準線和相切，A選項正確；
B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，
由，得到，故，
此時切線長，B選項正確；
C選項，當時，，此時，故或，
當時，，，，
不滿足；
當時，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項錯誤；
D選項，方法一：利用拋物線定義轉化
根據拋物線的定義，，這里，
于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，
，中點，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個交點，
即存在兩個點，使得，D選項正確.
方法二：（設點直接求解）
設，由可得，又，又，
根據兩點間的距離公式，，整理得，
，則關于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點，D選項正確.
故選：ABD
3．AC
【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據弦長公式求得，根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.
【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.

4．ACD
【分析】由及拋物線方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p3,-6p3)，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由OA?OB

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