【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】4
【考點1】拋物線的定義和標準方程4
【考點2】拋物線的幾何性質及應用5
【考點3】直線與拋物線的綜合問題7
【分層檢測】8
【基礎篇】8
【能力篇】10
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.
2.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想.
知識梳理
1.拋物線的定義
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質
1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，稱為拋物線的焦半徑.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線的斜率為B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為B．直線AB與C相切
C．D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．
考點突破
【考點1】拋物線的定義和標準方程
一、單選題
1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）過拋物線上的一點P作圓C：的切線，切點為A，B，則的最小值是（ ）
A．4B．C．6D．
2．（2024·河南南陽·模擬預測）已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標為1，直線，則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·河北·開學考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名．其在力學、建筑學、美學中有著廣泛的應用．在空間直角坐標系中，將一條平面內開口向上的拋物線沿著另一條平面內開口向下的拋物線滑動（兩條拋物線的頂點重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標原點被稱為馬鞍面的鞍點，其標準方程為，則下列說法正確的是（）
A．用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線
B．用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
C．用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線
D．用過原點且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
4．（23-24高二下·河南·期末）已知拋物線的焦點為，準線為，點是上位于第一象限的動點，點為與軸的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．到直線的距離為2
B．以為圓心，為半徑的圓與相切
C．直線斜率的最大值為2
D．若，則的面積為2
三、填空題
5．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點為，準線方程為，則 ；設為原點，點在拋物線上，若，則 .
6．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為 ，的面積為 （為坐標原點）．
反思提升：
求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.
【考點2】拋物線的幾何性質及應用
一、單選題
1．（2022·江蘇·一模）是拋物線的焦點，以為端點的射線與拋物線相交于，與拋物線的準線相交于，若，則
A．B．32C．D．
2．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知拋物線，圓，P為E上一點，Q為C上一點，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．3
二、多選題
3．（2023·廣東佛山·二模）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（ ）
A．B．四邊形的面積為100
C．D．的取值范圍為
4．（2024·浙江·模擬預測）已知曲線上的點滿足：到定點1,0與定直線軸的距離的差為定值，其中，點，分別為曲線上的兩點，且點恒在點的右側，則（ ）
A．若，則曲線的圖象為一條拋物線
B．若，則曲線的方程為
C．當時，對于任意的，，都有
D．當時，對于任意的，，都有
三、填空題
5．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是 ．
6．（22-23高三上·湖南益陽·期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.
①當時，有；
②當時，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命題中正確的有 .
反思提升：
與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略
轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.
轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.
【考點3】直線與拋物線的綜合問題
一、解答題
1．（2024·廣西南寧·一模）已知曲線．
(1)若點是上的任意一點，直線，判斷直線與的位置關系并證明．
(2)若是直線上的動點，直線與相切于點，直線與相切于點．
①試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
②若直線與軸分別交于點，證明：．
2．（2024·江蘇南京·二模）在平面直角坐標系中，頂點在原點的拋物線經(jīng)過點.
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點的直線交拋物線于，，兩點（），過作軸的垂線交線段于點.
①當經(jīng)過拋物線的焦點時，求直線的方程；
②求點A到直線的距離的最大值.
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）設拋物線的焦點為，是上一點且，直線經(jīng)過點．
(1)求拋物線的方程；
(2)①若與相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；
②若與在第一象限內的兩個不同交點為，且關于原點的對稱點為，證明：直線的傾斜角之和為．
4．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標原點O），使得當直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2024·浙江·模擬預測）已知點，，，均在拋物線：上，，關于軸對稱，直線，關于直線對稱，點在直線的上方，直線交軸于點，直線斜率小于2.
(1)求面積的最大值；
(2)記四邊形的面積為，的面積為，若，求.
6．（2025·四川巴中·模擬預測）已知動圓經(jīng)過點且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)設過點且斜率為正的直線交曲線于兩點（點在點的上方），的中點為，
①過作直線的垂線，垂足分別為，試證明：；
②設線段的垂直平分線交軸于點，若的面積為4，求直線的方程．
反思提升：
1.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.
2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”、“整體代入”等解法.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，若，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知點在焦點為的拋物線上，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
4．（2024·山東聊城·二模）點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多選題
5．（2023·山西·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，點在C上，若（O為坐標原點），則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·河北保定·二模）若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點的坐標可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南常德·模擬預測）已知拋物線經(jīng)過點，其焦點為，過點的直線與拋物線交于點，，設直線，的斜率分別為，，則（ ）
A． B．
C．D．
三、填空題
8．（2024·山西太原·模擬預測）已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上，且，則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為 ．
9．（2024·四川成都·模擬預測）若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，則的值為
10．（2021·青海西寧·二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點，，，三點共線，則雙曲線的離心率為 ．
四、解答題
11．（2021·陜西漢中·模擬預測）已知拋物線的焦點為,直線:與拋物線交于兩點,且(為坐標原點).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線恒過定點.
12．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知A，B兩點的坐標分別是，直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是，記點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程．
(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E，已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點且滿足，求直線l的方程．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·三模）設拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，，，則（ ）
A．1B．2C．4D．22
二、多選題
2．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，動點在上，若定點滿足，則（ ）
A．的準線方程為B．周長的最小值為5
C．四邊形可能是平行四邊形D．的最小值為
三、填空題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知曲線是平面內到定點與到定直線的距離之和等于的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·廣西來賓·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知F為拋物線C：的焦點，O為坐標原點，M為C的準線l上一點，直線MF的斜率為，的面積為4．
(1)求C的方程；
(2)過點F的直線交C于A，B兩點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與C的另一交點為E，AE的中點為G，證明：G，B，D三點縱坐標相等．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知O為坐標原點，設雙曲線C的方程為，過拋物線的焦點和C的虛軸端點的直線l與C的一條漸近線平行．將C的兩條漸近線分別記為，右焦點記為F，若以OF為直徑的圓M交直線于O，A兩點，點B在上，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高二下·四川雅安·開學考試）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為.和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．B．四邊形的面積為
C．D．的取值范圍為
3．（2024·湖北武漢·模擬預測）設點（）是拋物線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，分別交拋物線于點和點，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．D．直線與拋物線相切圖形
標準方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
性
質
頂點
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
專題50 拋物線（新高考專用）
目錄
【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】12
【考點1】拋物線的定義和標準方程12
【考點2】拋物線的幾何性質及應用17
【考點3】直線與拋物線的綜合問題24
【分層檢測】35
【基礎篇】35
【能力篇】43
【培優(yōu)篇】47
考試要求：
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.
2.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想.
知識梳理
1.拋物線的定義
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
(2)其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質
1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，稱為拋物線的焦半徑.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
二、多選題
2．（2024·全國·高考真題）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
3．（2023·全國·高考真題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
4．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線的斜率為B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
5．（2022·全國·高考真題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為B．直線AB與C相切
C．D．
三、填空題
6．（2023·全國·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
四、解答題
7．（2022·全國·高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．
(1)求C的方程；
(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點的橫坐標，進而求得點坐標，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，
不妨設點在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2．ABD
【分析】A選項，拋物線準線為，根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設點坐標進行求解.
【詳解】A選項，拋物線的準線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準線和相切，A選項正確；
B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，
由，得到，故，
此時切線長，B選項正確；
C選項，當時，，此時，故或，
當時，，，，
不滿足；
當時，，，，
不滿足；
于是不成立，C選項錯誤；
D選項，方法一：利用拋物線定義轉化
根據(jù)拋物線的定義，，這里，
于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，
，中點，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個交點，
即存在兩個點，使得，D選項正確.
方法二：（設點直接求解）
設，由可得，又，又，
根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，
，則關于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點，D選項正確.
故選：ABD
3．AC
【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.
【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，
所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.
B選項：設，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項錯誤.
C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，
因為，
即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.
D選項：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.
故選：AC.

4．ACD
【分析】由及拋物線方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得B(p3,?6p3)，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由OA?OB

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2025年高考數(shù)學一輪復習講義(知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測)專題01集合(新高考專用)(原卷版+解析)

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