專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】8
【考點(diǎn)1】集合的基本概念8
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系11
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算14
【分層檢測(cè)】18
【基礎(chǔ)篇】18
【能力篇】25
【培優(yōu)篇】28
考試要求：
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系，能在自然語言、圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號(hào)語言刻畫集合.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集.
5.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算.
知識(shí)梳理
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和?.
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數(shù)集及記法
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA).
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運(yùn)算
4.集合的運(yùn)算性質(zhì)
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集,集合，（）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）
A．－1B．C．0D．
3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（）
A．B．
C．D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，，若，則（）．
A．2B．1C．D．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知集合，則（）
A．B．C．D．
7．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合，則（）
A．B．C．D．
8．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（）
A．B．C．D．
9．（2022·全國(guó)·高考真題）若集合，則（）
A．B．C．D．
10．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（）
A．B．C．D．
11．（2021·全國(guó)·高考真題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
12．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)集合，則（）
A．B．
C．D．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．
【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．
故選：A．
2．B
【分析】
根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】
依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
3．A
【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則或，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
或，則或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
4．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．
方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，而?br>所以．
故選：C．
方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁?，只有使不等式成立，所以?br>故選：C．
5．B
【分析】
根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則有：
若，解得，此時(shí)，，不符合題意；
若，解得，此時(shí)，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
6．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因?yàn)椋?，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解．
7．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
8．A
【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
9．D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
10．B
【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
11．C
【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.
【詳解】任取，則，其中，所以，，故，
因此，.
故選：C.
12．B
【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算即可
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的基本概念即可求解.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】集合的基本概念
一、單選題
1．（2023·江蘇·一模）設(shè)，，則（）
A．?B．?C．D．
2．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（）
A．0B．C．0或D．0或1
二、多選題
3．（22-23高一下·湖南邵陽·開學(xué)考試）若對(duì)任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（）
A．B．C．D．
4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，若，，，則運(yùn)算可能是（）
A．加法B．減法C．乘法D．除法
三、填空題
5．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為．
6．（2023·湖北·二模）已知X為包含v個(gè)元素的集合（，）．設(shè)A為由X的一些三元子集（含有三個(gè)元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集中，則稱組成一個(gè)v階的Steiner三元系．若為一個(gè)7階的Steiner三元系，則集合A中元素的個(gè)數(shù)為．
參考答案：
1．B
【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故?.
故選：B
2．C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
3．ABD
【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，
可知，，為“影子關(guān)系”集合，
由，得或，當(dāng)時(shí)，，故不是“影子關(guān)系”集合．
故選：ABD
4．AC
【分析】先由題意設(shè)出，，然后分別計(jì)算，，，，即可得解.
【詳解】由題意可設(shè)，，其中，，，，
則，，所以加法滿足條件，A正確；，當(dāng)時(shí)，，所以減法不滿足條件，B錯(cuò)誤；
，，所以乘法滿足條件，C正確；，當(dāng)時(shí)，，所以除法不滿足條件，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
5．
【分析】
根據(jù)，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【詳解】由題意，所以或，則或，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
6．7
【分析】令，列舉出所有三元子集，結(jié)合組成v階的Steiner三元系定義，確定中元素個(gè)數(shù).
【詳解】由題設(shè)，令集合，共有7個(gè)元素，
所以的三元子集，如下共有35個(gè)：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因?yàn)橹屑蠞M足X中的任意兩個(gè)不同的元素，都恰好同時(shí)包含在唯一的一個(gè)三元子集，所以中元素滿足要求的有：
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
、、、、、、，共有7個(gè)；
共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個(gè)元素.
故答案為：7
反思提升：
1.研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.
【考點(diǎn)2】集合間的基本關(guān)系
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，．若，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（23-24高一上·陜西西安·期中）下列說法正確的是（）
A．
B．集合
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
4．（2024·甘肅定西·一模）設(shè)集合，則（）
A．
B．的元素個(gè)數(shù)為16
C．
D．的子集個(gè)數(shù)為64
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，．若，則的最大值為．
6．（2021·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列．若集合，集合，集合（，），且，則．
參考答案：
1．D
【分析】先求集合A，確定即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為.
故選:D.
2．D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，由題意可知，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
因?yàn)?，則，所以．
故選：D．
3．BD
【分析】根據(jù)空集的定義判斷A，根據(jù)集合元素的特征判斷B，根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C，將函數(shù)寫成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：或?，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，
又，令，所以，，
即，
所以，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：BD
4．BCD
【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，進(jìn)而求得集合，利用集合的交并運(yùn)算與常用數(shù)集的定義，結(jié)合集合子集個(gè)數(shù)的求法逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】對(duì)于ABC，因?yàn)椋?br>所以，即，
所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；
對(duì)于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.
故選：BCD.
5．
【分析】先求集合，對(duì)分類討論，并結(jié)合，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，注意端點(diǎn)值能否取到．
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，若，則．
在數(shù)軸上表示出集合，，如圖，
則；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立．
綜上，的最大值為．
故答案為：
6．5
【解析】根據(jù)題意判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式（或），求出即可.
【詳解】由，其中，，
可得，則，令，或可得，①
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，②
根據(jù)①②得出，所以；
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，③
根據(jù)①③得出，所以；
同理令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，與①聯(lián)立可；
令中的，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，與①聯(lián)立可；綜上所述.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)與集合相等，關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，列出等式（或），考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
反思提升：
1.若B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論.
2.已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍.注意合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.求得參數(shù)后，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.
【考點(diǎn)3】集合的運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知全集，集合，則關(guān)于的表達(dá)方式正確的有（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（）

A．B．C．D．
三、填空題
5．（2020·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是 .
6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設(shè)表示不超過的正整數(shù)集合，表示k個(gè)元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則；若，則m的最大值為．
參考答案：
1．C
【分析】解絕對(duì)值不等式求出集合，求函數(shù)的定義域求得集合.由此求出，從而得到.
【詳解】由題意，得，，所以，所以.
故選：C．
2．B
【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得．
【詳解】由得，解得，
所以．
由解得，即，
所以.
故選：B．
3．AB
【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【詳解】由題意得，，
所以，
故AB正確，CD錯(cuò)誤，
故選：AB.
4．AC
【分析】利用維恩圖，根據(jù)交并補(bǔ)的混合運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】如圖，

對(duì)于A，，則，故A正確；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，故，故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，
故選：AC．
5．6
【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為Venn圖的問題，然后結(jié)合題意確定這三天都開車上班的職工人數(shù)至多幾人即可.
【詳解】如圖所示，（a+b+c+x）表示周一開車上班的人數(shù)，（b+d+e+x）表示周二開車上班人數(shù)，（c+e+f+x）表示周三開車上班人數(shù)，x表示三天都開車上班的人數(shù)，

則有：
，
即，
即，當(dāng)時(shí)，x的最大值為6，
即三天都開車上班的職工人數(shù)至多是6.
故答案為：6
【點(diǎn)睛】本題主要考查Venn圖的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6． 22
【分析】
根據(jù)定義，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，表示有2個(gè)元素的集合，，
因?yàn)?，且?個(gè)元素，
所以或或，所以；
由題中定義可知：，
于是由
，
而，
即，又因?yàn)椋?br>所以m的最大值為，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題中定義，運(yùn)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
反思提升：
1.進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.
2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：
(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；
(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·重慶·三模）已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（）
A．4B．6C．7D．8
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若集合，則（）
A．B．
C．D．
4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）若集合，其中且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·廣西·二模）若集合和關(guān)系的Venn圖如圖所示，則可能是（）

A．
B．
C．
D．
6．（20-21高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）
A．若，則滿足戴德金分割
B．若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個(gè)最小元素
C．若為戴德金分割，則有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D．若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素
7．（23-24高一上·重慶永川·期中）下列說法正確的是（）
A．集合，，，若則或
B．設(shè)全集為，若，則
C．集合
D．“和都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要不充分條件
三、填空題
8．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合，全集，則．
9．（2024·山東臨沂·一模）集合，，則 .
10．（2020·江蘇·一模）若，，則下圖中陰影表示的集合為 .
四、解答題
11．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，
.
(1)求;
(2)從下面（1）（2）中選擇一個(gè)作為已知條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
①；②；③.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，集合．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，求解方程，得出集合，即可得出答案.
【詳解】若，解可得，或或，
所以.
若，則，所以，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以可以是，共8個(gè)，
故選：D
3．D
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域確定集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榧希?br>則.
故選：D．
4．A
【分析】借助元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由題意可得，解得.
故選：A.
5．ACD
【分析】根據(jù)Venn圖可知?，依次判定選項(xiàng)即可.
【詳解】根據(jù)Venn圖可知?，
對(duì)于A，顯然?，故A正確；
對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則?，故C正確；
對(duì)于D，，或，
則?，故D正確.
故選：ACD
6．BD
【分析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；BD選項(xiàng)，可舉出例子；C選項(xiàng)，推理出，C錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，滿足，
此時(shí)為戴德金分割，且沒有最大元素，有一個(gè)最小元素，B正確；
C選項(xiàng)，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，滿足沒有最大元素，也沒有最小元素，D正確.
故選：BD
7．BC
【分析】對(duì)于A：由，得出或等于2，分別求解，然后驗(yàn)證互異性即可判斷為錯(cuò)；對(duì)于B：由集合間的包含關(guān)系和補(bǔ)集的概念判斷正確；對(duì)于C：令集合中的，即可判定為正確；對(duì)于D，取特值即可判定為錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A：由，
若或1，
當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性，舍去；
若或2，
當(dāng)時(shí)，合題意，當(dāng)時(shí)，，合題意，
故或2，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則，B正確；
對(duì)于C：令集合中的，得，故C正確；
對(duì)于D：不是無理數(shù)，若為無理數(shù)，可取，和不都是無理數(shù)，故“和都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò).
故選：BC.
8．
【分析】利用集合的補(bǔ)集求解.
【詳解】解：集合，全集，
所以，
故答案為：
9．
【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再解分式不等式求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由，可得，則，
所以，
由，可得，等價(jià)于，解得，
所以，
所以，所以.
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)韋恩圖表示的是，再利用交集的定義計(jì)算即可.
【詳解】解：韋恩圖表示的是，由，，則.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，韋恩圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
11．(1)；
(2)答案見解析
【分析】（1）解不等式結(jié)合集合的運(yùn)算計(jì)算即可；
（2）結(jié)合所選條件判定集合間的關(guān)系，注意分類討論解含參不等式一一計(jì)算即可.
【詳解】（1）由，得，
由，即，
所以；
（2）因?yàn)榈膬筛謩e為，
若選擇①，由（1）得，，故.
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇②，由（1）得，，故，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以;
當(dāng)，即時(shí)，，
由，得，解得，所以.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
若選擇③，由（1）得，
當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)成立，
滿足題意，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿足.
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)，即可由交集為空集，分情況討論，
（2）根據(jù)真子集，即可列不等式求解.
【詳解】（1）由得，
由，
①若，即時(shí)，，符合題意；
②若，即時(shí)，需或，解得．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（2）由已知A是B的真子集，知，且兩個(gè)端點(diǎn)不同時(shí)取等號(hào)，解得．
由實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2022·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的值可能為（）
A．B．2C．3D．4
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若，則的最小值為．
四、解答題
4．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)表示不超過的最大整數(shù)（如：），求集合中元素的個(gè)數(shù)．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)列舉法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】，
若要，
則需，
所以解得
所以，
所以.
故選：.
2．AB
【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的含有數(shù)0的單調(diào)區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系列式作答.
【詳解】依題意，，由，得：，
于是得的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是，因在上為增函數(shù)，
因此，，即有，解得，
所以，選項(xiàng)C，D不滿足，選項(xiàng)A，B滿足.
故選：AB
3．
【分析】由可得，解出集合后結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可得.
【詳解】由，故，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值為.
故答案為：.
4．(1)
(2)36
【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出公差和，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）先得到，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，，又，故，依次類推，直至當(dāng)時(shí)，，故，結(jié)合集合中的元素互異，求出集合中元素個(gè)數(shù).
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可知，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，所以，
，故．
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，則，又，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故；
當(dāng)時(shí)，，則，故，
依次類推，當(dāng)時(shí)，，則，故，
由于集合中的元素互異，需要減去重復(fù)出現(xiàn)的元素，
所以集合中元素的個(gè)數(shù)為
個(gè)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·上海普陀·一模）設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（21-22高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值是．
參考答案：
1．A
【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對(duì)的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿足，即可得解.
【詳解】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.
①假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，則，
，這與矛盾；
②假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)最少為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)集合元素的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類，對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.
2．ACD
【分析】先研究值域?yàn)闀r(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)榈煤瘮?shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】由于，
，，，，
即函數(shù)的定義域?yàn)?br>當(dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有滿足，所以，故D正確；
當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有滿足，所以，故C正確；
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，故，故不一定正確，故A正確，B錯(cuò)誤；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．或3.
【分析】先判斷區(qū)間與的關(guān)系可得，再分析時(shí)定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點(diǎn)的不等式，進(jìn)而求得和即可.最后分析當(dāng)時(shí)，，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可
【詳解】先判斷區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)?，故?因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，，故不成立；故.
再分析區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)?，故?
①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)，，因?yàn)?，而，故此時(shí)，即，因?yàn)?，故即，故，解得，因?yàn)?，?此時(shí)區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，所?，此時(shí)，故，解得，因?yàn)?，故?br>②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時(shí)且，即且，所以，故，故，即，，因?yàn)?，故?br>綜上所述，或3
故答案為：或3.
名稱
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
記法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
符號(hào)表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}

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