【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】9
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象9
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別15
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用21
【分層檢測(cè)】29
【基礎(chǔ)篇】29
【能力篇】28
【培優(yōu)篇】42
考試要求：
1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
2.會(huì)畫(huà)簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.
3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.
知識(shí)梳理
1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.
2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱(chēng)變換
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)))y＝－f(x)的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)))y＝f(－x)的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)))y＝－f(－x)的圖象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq \(――→,\s\up17(關(guān)于直線),\s\d15(y＝x對(duì)稱(chēng)))y＝lgax(a>0，且a≠1)的圖象.
(3)伸縮變換
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(縱坐標(biāo)不變),\s\d15(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(橫坐標(biāo)不變),\s\d15(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折變換
y＝f(x)的圖象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x軸下方部分翻折到上方),\s\d15(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；
y＝f(x)的圖象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\d15(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.
1.記住幾個(gè)重要結(jié)論
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(chēng).
(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
2.圖象的左右平移僅僅是相對(duì)于x而言，如果x的系數(shù)不是1，常需把系數(shù)提出來(lái)，再進(jìn)行變換.
3.圖象的上下平移僅僅是相對(duì)于y而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
2．（2022·全國(guó)·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·天津·高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
6．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，存在最大值；
③設(shè)，則；
④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
參考答案：
1．D
【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
2．A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
3．A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
4．D
【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
函數(shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D.
5．D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對(duì)于C，，則，
當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
6．②③
【分析】先分析的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對(duì)于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對(duì)于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對(duì)于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對(duì)于④，取，結(jié)合圖像可知此時(shí)存在最小值，從而得以判斷.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；
對(duì)于①，取，則的圖像如下，

顯然，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，顯然取得最大值；
當(dāng)時(shí)，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且接近于處，，
此時(shí)，，故③正確；
對(duì)于④，取，則的圖像如下，

因?yàn)椋?br>結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在，
同時(shí)的最小值為點(diǎn)到的距離減去半圓的半徑，
此時(shí)，因?yàn)榈男甭蕿?，則，故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當(dāng)時(shí)，的圖像為半圓，解決命題④時(shí)，可取特殊值進(jìn)行排除即可.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】作出函數(shù)的圖象
一、單選題
1．（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川成都·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（ ）．
A．為奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增
C．恰有3個(gè)極值點(diǎn)D．有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t方程可能有（ ）個(gè)解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．D
【分析】
轉(zhuǎn)化為與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】令，故，
畫(huà)出與的圖象，
函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，
解得.
故選：D
2．A
【分析】令，方程可化為或有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，借助導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可判斷的取值范圍．
【詳解】由，
設(shè)，則，
又，
所以，，
化簡(jiǎn)得，
即，或，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
因?yàn)椋裕?br>又，且恒有，
從圖象趨勢(shì)看，當(dāng)；當(dāng).
當(dāng)時(shí)，.
作出函數(shù)的大致圖象，如圖，
可得的圖象與直線的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
所以的圖象與直線有個(gè)交點(diǎn).
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.

3．CD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性得到，A正確；B選項(xiàng)，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為和在的圖像，結(jié)合隱零點(diǎn)得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；CD選項(xiàng)，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)分析得到答案.
【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤．
B選項(xiàng)，，顯然，
當(dāng)時(shí)，令，即，得，
分別作出和在的圖像，如圖所示．
由圖可知，若存在使得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．
C選項(xiàng)，由圖象可得和在區(qū)間上共有3個(gè)公共點(diǎn)，且圖像在這些公共點(diǎn)處都不相切，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，
故在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，有2個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，故C，D正確．
故選：CD．
4．BCD
【分析】方程得或，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷解的個(gè)數(shù).
【詳解】，有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值.
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有極大值.
由的圖象如圖所示，

由得或，
由圖象可知有3個(gè)解，可能有1，2，3，4個(gè)解，
故方程可能有4，5，6，7個(gè)解.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
5．
【分析】先作出函數(shù)圖象，解一元二次方程，結(jié)合函數(shù)圖象含參討論即可.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由，得，
解得或．
由圖象易知，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
所以方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
6．
【分析】利用分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，從而確定的取值范圍.
【詳解】由的解析式作出的大致圖像．如圖所示：

方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則．
故答案為：.
反思提升：
1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.
2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.
【考點(diǎn)2】函數(shù)圖象的識(shí)別
一、單選題
1．（2024·寧夏固原·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川德陽(yáng)·二模）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2024·安徽合肥·一模）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖像可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象可以是（ ）
A．B．
C．D．
參考答案：
1．A
【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調(diào)性排除D，從而得解.
【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，易知，，
則，不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，定義域?yàn)椋?br>又，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
檢驗(yàn)選項(xiàng)A，滿足圖中性質(zhì)，故A正確.
故選：A.
2．B
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷的奇偶性，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>又，
所以是奇函數(shù)，從而ACD錯(cuò)誤，B正確.
故選：B.
3．A
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】由題意得，即，得，且，
所以的定義域?yàn)椋?br>又，所以為奇函數(shù)，
其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除B，C；
又，所以排除D．
故選：A．
4．ABD
【分析】利用分類(lèi)討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故A正確；C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
5．BCD
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，得出的單調(diào)區(qū)間和奇偶性，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得，故定義域?yàn)?
，，
因?yàn)闀r(shí)，在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；
當(dāng)時(shí)，，易知其圖像為選項(xiàng)D，故選項(xiàng)D正確.
當(dāng)時(shí)，由，得，又，
所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上可知，在區(qū)間上不嚴(yán)格單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，
且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確，
故選：BCD.
6．AD
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再分、、三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.
【詳解】因?yàn)榕c均為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故排除B；
當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋?br>且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，
由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，
當(dāng)時(shí)，
方程的兩根為，，
所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故A正確；
當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)?，由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，
即，，所以，
則時(shí)，時(shí)，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確；
當(dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋捎跒槎x域上的偶函數(shù)，只需考慮的情況即可，
此時(shí)，
對(duì)于函數(shù)，與軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，無(wú)論是否與軸有交點(diǎn)，
函數(shù)在靠近處函數(shù)值均大于，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
故選：AD
反思提升：
1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.
2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.
3.根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩種方法
(1)定量計(jì)算法：根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象.
(2)定性分析法：采用“以靜觀動(dòng)”，即判斷動(dòng)點(diǎn)處于不同的特殊的位置時(shí)圖象的變化特征，從而利用排除法做出選擇.
【考點(diǎn)3】函數(shù)圖象的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時(shí)，，若關(guān)于的方程至少有兩解，則的取值范圍為（ ）．
A．B．C．D．
2．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（且，）為偶函數(shù)，則（ ）
A．為定值
B．為定值
C．函數(shù)與的定義域不相同，值域不相同
D．若，且對(duì)，，則的最大值為
4．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿當(dāng)時(shí)，，λ為非零常數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增
C．當(dāng)時(shí)，在的值域?yàn)?br>D．當(dāng)時(shí)，且時(shí)，若將函數(shù)與的圖象在的m個(gè)交點(diǎn)記為（，2，3，…m），則
三、填空題
5．（2020·北京海淀·一模）如圖，在等邊三角形ABC中， AB=6.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著此三角形三邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)回到A點(diǎn)，記P運(yùn)動(dòng)的路程為x，點(diǎn)P到此三角形中心O距離的平方為f(x)，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f(x)的最大值為12；
②函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=9；
③關(guān)于x的方程最多有5個(gè)實(shí)數(shù)根.
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
6．（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)，，其中．
①若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為 ；
②若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)交點(diǎn)情況，進(jìn)而確定方程解的情況.
【詳解】由已知，則，則，
可知函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期，
又當(dāng)時(shí)，，
可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域?yàn)椋?br>關(guān)于的方程至少有兩解，
可得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示，

可知當(dāng)時(shí)，，解得，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，即，
綜上所述，
故選：C.
2．D
【分析】由題意可知：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)原點(diǎn)的切線，結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】作出的圖象，如圖所示
令，可得，
由題意可知：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
若，則，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點(diǎn)，可得，解得，
此時(shí)切線斜率為；
若，則，可得，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
則切線方程為，
代入點(diǎn)，可得，解得，
此時(shí)切線斜率為；
結(jié)合圖象可知的取值范圍為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面．一般來(lái)說(shuō)，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問(wèn)題時(shí)，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯(cuò)誤的圖象反而導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇．
3．BD
【分析】利用偶函數(shù)性質(zhì)得恒成立，即可判斷A、B；由與的關(guān)系判斷C；由已知求得，將問(wèn)題化為對(duì)恒成立，利用對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求最值，判斷D.
【詳解】為偶函數(shù)，則，即，
，則，
恒成立，即，故B正確，A錯(cuò)誤.
∵函數(shù)是函數(shù)向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
∴兩個(gè)函數(shù)的值域相同，又函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>的定義域也為，故C錯(cuò)誤.
若，則，即，
，即，解得（負(fù)值已舍），故.
不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.
令，且.
由知，在上單調(diào)遞增，
即可，則，故D正確.
故選：BD
4．BC
【分析】理解函數(shù) 的性質(zhì)： ，即 ，自變量x每增加2，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為原來(lái)的倍，利用這個(gè)性質(zhì)逐項(xiàng)分析可以求解.
【詳解】不妨令 ，則圖像如下：
由函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)， ，
，…，，
∴當(dāng)時(shí)， …①；
對(duì)于A，當(dāng)λ＝﹣1，時(shí)，
，，所以是周期為4的周期函數(shù)， ，
由于 ，， = ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)λ＞0時(shí)，
， ∴在上，由①知，的單調(diào)性與在上相同，即為增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，由得，，則．
因?yàn)椋鐖D可知，
在和單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，
；
．
所以在的值域?yàn)?，故選項(xiàng)C正確．
對(duì)D：由圖像可知，與的圖象在有n個(gè)交點(diǎn)，且，，（，2，3，…n），， ，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC．
5．①②
【解析】寫(xiě)出分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的函數(shù)解析式，利用分段函數(shù)圖象可解.
【詳解】
分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的函數(shù)解析式，
分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的函數(shù)解析式，
分別在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的函數(shù)解析式，
，
由圖象可得，方程最多有個(gè)實(shí)數(shù)根
故正確的是①②.
故答案為：①②
【點(diǎn)睛】利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題，有關(guān)不等式的問(wèn)題等.解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
6．
【分析】①結(jié)合函數(shù)的圖象， 函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即與的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以可得到的一個(gè)取值；②由圖象對(duì)稱(chēng)，即可算出的值.
【詳解】畫(huà)函數(shù)的圖象如下：
①函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即 無(wú)解，
即與的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以，可?。?br>②函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即 有4個(gè)根，
即與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
由關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，
關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，
所以.
故答案為：；.
反思提升：
1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
2.利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問(wèn)題，如判斷方程是否有解，有多少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問(wèn)題.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧撫順·三模）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陜西西安·一模）函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高三上·北京大興·期中）如圖為某無(wú)人機(jī)飛行時(shí)，從某時(shí)刻開(kāi)始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系．若定義“速度差函數(shù)”為無(wú)人機(jī)在時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·上海奉賢·二模）已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2020高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B． 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C．若則D．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
6．（22-23高三上·河北滄州·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南岳陽(yáng)·二模）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，函數(shù)在上的最大值為，若，則滿足條件的實(shí)數(shù)可以是（ ）
A．B．C． D．
8．（21-22高一上·廣東廣州·期中）一輛賽車(chē)在一個(gè)周長(zhǎng)為的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反應(yīng)了賽車(chē)在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系．
根據(jù)圖1，以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（ ）
A．在這第二圈的到之間，賽車(chē)速度逐漸增加
B．在整個(gè)跑道，最長(zhǎng)的直線路程不超過(guò)
C．大約在這第二圈的到之間，賽車(chē)開(kāi)始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛
D．在圖2的四條曲線（注：為初始記錄數(shù)據(jù)位置）中，曲線最能符合賽車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡
三、填空題
9．（2023·上海寶山·一模）設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第 象限
10．（2022·北京東城·三模）已知函數(shù).
①對(duì)于任意實(shí)數(shù)，為偶函數(shù)；
②對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③存在實(shí)數(shù)，使得有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為.
所有正確命題的序號(hào)為 .
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，有以下四個(gè)結(jié)論：①的值域是；②在上有8個(gè)零點(diǎn)；③若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12；④若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則．所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
12．（22-23高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?且是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,.函數(shù),則方程的所有的根之和為 .
參考答案：
1．A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的大致圖象.
【詳解】易知，因?yàn)?，令，得，或?br>則時(shí)，，時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以選項(xiàng)A符合題意,
故選：A.
2．A
【分析】利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項(xiàng)得出正確答案．
【詳解】
是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和D
當(dāng)時(shí)，，，即，排除選項(xiàng)C
故選：A
3．C
【分析】根據(jù)速度差函數(shù)的定義，分四種情況，分別求得函數(shù)解析式，從而得到函數(shù)圖像.
【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；
當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；
當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，，“速度差函數(shù)”；
當(dāng)時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng)，“速度差函數(shù)”，結(jié)合選項(xiàng)C滿足“速度差函數(shù)”解析式，
故選：C.
4．A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和的奇偶性判斷.
【詳解】易知是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù)，
A. ，定義域?yàn)镽，
又，所以是奇函數(shù)，符合題意，故正確；
B. ，，不符合圖象，故錯(cuò)誤；
C. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；
D. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，
故選：A
5．ABD
【分析】作出函數(shù)的圖象，由圖象觀察性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【詳解】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，
再作出其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象，然后向右平移2個(gè)單位，
最后把軸下方的部分關(guān)于軸翻折上去即可得），如圖，
由圖象知在是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；
，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個(gè)交點(diǎn)，如圖，
如果最左邊兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是，則不成立，C錯(cuò)誤，
與軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確．
故選：ABD．
6．ABD
【分析】
先根據(jù)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除C，再舉出適當(dāng)?shù)牡闹?，分別得到ABD三個(gè)圖象.
【詳解】
由題意知，則，當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以的大致圖象不可能為C，
而當(dāng)為其他值時(shí)，A，B，D均有可能出現(xiàn)，
不妨設(shè)，定義域?yàn)?，此時(shí)A選項(xiàng)符合要求；
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋遥?br>故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)符合要求，
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋遥?br>故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項(xiàng)符合要求.
故選：ABD
7．BD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象，對(duì)a分類(lèi)討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)和的圖象，如圖，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
由圖可知，函數(shù)在上，有，得
所以，解得，
結(jié)合選項(xiàng)，實(shí)數(shù)a可以是和.
故選：BD.
8．AD
【分析】根據(jù)彎道減速，直道可加速，再根據(jù)圖像逐一判斷即可.
【詳解】由圖1知，在2.6km到2.8km之間，圖象上升，故在這第二圈的2.6km到2.8km之間，賽車(chē)速度逐漸增加，故A正確；
在整個(gè)跑道上，高速行駛時(shí)最長(zhǎng)為(1.8，2.4) 之間，但直道加減速也有過(guò)程，故最長(zhǎng)的直線路程有可能超過(guò)0.6km，故B不正確；
最長(zhǎng)直線路程應(yīng)在1.4到1.8之間開(kāi)始，故C不正確；
由圖1可知，跑道應(yīng)有3個(gè)彎道，且兩長(zhǎng)一短，故D正確；
故選：AD.
9．二
【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移可得.
【詳解】已知,
則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，過(guò)定點(diǎn)，且，
函數(shù)的圖象是由函數(shù)函數(shù)向下平移個(gè)單位，
作出函數(shù)的圖象，可知圖象必定不經(jīng)過(guò)第二象限.
故答案為：二.
10．①②④
【分析】對(duì)于①：利用偶函數(shù)定義判斷；對(duì)于②：根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)以及偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷；對(duì)于③：根據(jù)題意得，結(jié)合圖像判斷與交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于④：，通過(guò)函數(shù)性質(zhì)解不等式．
【詳解】，為偶函數(shù)，①正確；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，再根據(jù)偶函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，②正確；
令，則，結(jié)合圖像可知：與至多有兩個(gè)交點(diǎn)，則至多有兩個(gè)零點(diǎn)，③不正確；
當(dāng)時(shí)，，根據(jù)②可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
∴不等式的解集為，④正確；
故答案為：①②④．
11．①③④
【分析】由已知，畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖形即可判斷.
【詳解】由題意可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

數(shù)形結(jié)合可知的值域是，在上的零點(diǎn)分別為2，4，6，8，共4個(gè)，故①正確，②錯(cuò)誤；
易知函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12，故③正確；
作出直線，數(shù)形結(jié)合可知，若方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，得，故④正確．
故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④.
12．5
【分析】根據(jù)是奇函數(shù),可知關(guān)于對(duì)稱(chēng),根據(jù)解析式可知,關(guān)于對(duì)稱(chēng),根據(jù)解析式及對(duì)稱(chēng)性在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出兩函數(shù)圖象,判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置,即可得出方程根之和.
【詳解】解:由題知是奇函數(shù),
則有:,
關(guān)于對(duì)稱(chēng),且,
當(dāng)時(shí),,
,
恒過(guò),且關(guān)于對(duì)稱(chēng),
方程的所有的根之和也即是兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和,
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及解析式畫(huà)出圖象如下:
由圖像可知,有5個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,
另外四個(gè),兩兩分別關(guān)于對(duì)稱(chēng),
故五個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為,
即所有根之和5.
故答案為:5
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為 ．
四、解答題
4．（2023·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，且a、b為函數(shù)的極值點(diǎn)
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)若曲線在處的切線斜率為，且方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】考查圖像識(shí)別，常用排除法，根據(jù)函數(shù)解析式特征分段討論，討論時(shí)分別從函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性和特殊值等入手研究，排除不符合答案即可得出結(jié)果.
【詳解】解法一： 由題意得當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)，在上都單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，排除C，D；
因?yàn)?，所以排除A，
故選：B.
解法二：當(dāng)時(shí)，則，
由，得；由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以B正確.
故選：B．
2．AB
【分析】先利用求導(dǎo)公式得到，再根據(jù)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)位于區(qū)間得到，得到的大小關(guān)系，即可判斷A，B，C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)題圖得到，然后對(duì)取特殊值，說(shuō)明即可得到D錯(cuò)誤.
【詳解】選項(xiàng)A，B，C：由題意知，
令，解得或或，
由題圖可知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)位于區(qū)間，
因此，又，所以，故，因此A，B正確，C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D：由題圖可知，
若取，則，解得，因此D錯(cuò)誤.
故選：AB
3．2
【分析】分析函數(shù)的奇偶性，由圖象的平移變換求解即可.
【詳解】對(duì)于，可以把的圖象看作：
由的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；
對(duì)于的圖象可看作由
的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
而的圖象可看作由的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
易知與都為奇函數(shù)，
則易知與的圖象共有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0．
因?yàn)閷⒑瘮?shù)圖象向右平移不改變與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)處函數(shù)值的大小，
所以與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0，
又將函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度會(huì)使得原交點(diǎn)處的函數(shù)值都增加1，
則與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與與的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相比都增加1，
故與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為2．
故答案為：2
4．(1)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)得，則，利用韋達(dá)定理得，則，分析出，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可得到答案.
（2）根據(jù)求出，則，求導(dǎo)，求出其極值，作出其函數(shù)圖象，利用直線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到答案.
【詳解】（1）依題設(shè)方程，即方程
的兩根分別為a、b∴
∴
因?yàn)?，且，則，
∴，∴當(dāng)且時(shí)，，
∴在區(qū)間，上單調(diào)遞增.
（2）由，得，∴，∴，
時(shí)或，當(dāng)x在上變化時(shí)，，的變化情況如下：
∴的大致圖象如圖,
∴方程有兩個(gè)不等根時(shí)，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩交點(diǎn)，
則.

【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·四川資陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，都有，，，，?dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．
C．
D．函數(shù)與函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的公共點(diǎn)
三、填空題
3．（2022·江蘇·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上的值域?yàn)? ，在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為
參考答案：
1．C
【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，排除AB，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，得到答案.
【詳解】∵為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).排除AB.
設(shè)，則；
再設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，恒成立.
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以存在，使.當(dāng)時(shí)，，即：時(shí)，.
所以在上遞減，又
所以：當(dāng)時(shí)，.
又恒成立，所以：當(dāng)時(shí)，.所以C正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】由解析式判斷函數(shù)圖象的問(wèn)題，一般采用排除法，可以從以下角度考慮：
（1）考慮函數(shù)的定義域，排除定義域不對(duì)的圖象；
（2）考慮函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行選擇；
（3）結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值（尤其是符號(hào)）進(jìn)行選擇.
2．ABD
【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及周期性，進(jìn)而判斷ABC，畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷D.
【詳解】由得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A正確；
由得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以，，
所以，即，
所以，故函數(shù)的周期為，
由知，，
又時(shí)，，所以，解得，
所以時(shí)，，
所以，B正確；
，C錯(cuò)誤；
畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如圖：
，觀察圖象可得函數(shù)與函數(shù)的圖像有8個(gè)不同的公共點(diǎn)，D正確.
故選：ABD.
3． /2.5
【分析】第一空先求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)畫(huà)出的圖像，再由得到，
進(jìn)而得到函數(shù)在上的圖像，即可求得值域；
第二空畫(huà)出將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)，再畫(huà)出的圖像即可求解.
【詳解】由當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又是奇函數(shù)，可得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又當(dāng)時(shí)，即，即，
即函數(shù)右移兩個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，由此可得函數(shù)在上的圖像如圖所示：
結(jié)合圖像可知在區(qū)間上的值域?yàn)?；，即，即的交點(diǎn)，
畫(huà)出的圖像，由圖像可知4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，又均是奇函數(shù)，故，
故.
故答案為：；
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