5.1.2 垂線【知識(shí)與技能】1.能結(jié)合具體圖形理解垂直的概念，能經(jīng)過一點(diǎn)畫已知直線的垂線.2.通過畫圖，理解垂直公理及“垂線段最短”這個(gè)公理.3.理解點(diǎn)到直線的距離這一重要概念.4.初步鍛煉作圖能力，能運(yùn)用本節(jié)的兩個(gè)公理進(jìn)行簡(jiǎn)單的說理或應(yīng)用.【過程與方法】通過畫圖探究出兩個(gè)公理，在不同的情況下過一點(diǎn)作已知直線的垂線，通過看圖會(huì)找出點(diǎn)到直線的距離，在此基礎(chǔ)上深入理解本節(jié)的兩個(gè)公理，進(jìn)而運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的說理或應(yīng)用.【情感態(tài)度】進(jìn)一步進(jìn)行畫圖、探究、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別強(qiáng)調(diào)動(dòng)手畫幾何圖形，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、科學(xué)性、美觀性.【教學(xué)重點(diǎn)】垂直定義、垂直公理的理解與運(yùn)用.【教學(xué)難點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離與垂線段的 區(qū)別與聯(lián)系.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題1教具：在相交線模型中，固定木條a,轉(zhuǎn)動(dòng)木條b，當(dāng)b的位置變化時(shí)，a、b所成的角也會(huì)發(fā)生變化.體驗(yàn)當(dāng)α=90°時(shí)，a與b互相垂直的位置關(guān)系.問題2已知點(diǎn)P和直線l,過點(diǎn)P畫直線a⊥l.問題3在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺為1∶100000，水渠大約要挖多長(zhǎng)？【教學(xué)說明】在問題1中，教師可只作演示，從而引出互相垂直的定義，同時(shí)給出垂線、垂直等相關(guān)概念以及垂直符號(hào)的運(yùn)用與讀法.在問題2中，要引導(dǎo)學(xué)生得出過一點(diǎn)只能畫一條直線與已知直線垂直這一重要結(jié)論.在問題3中，要提示學(xué)生把河中的水引到農(nóng)田P處，有無數(shù)種挖渠方法，但只有一種方法挖渠最短，從而引出垂線段最短的重要結(jié)論.要完成問題3中的第2個(gè)問題，可先提醒學(xué)生復(fù)習(xí)小學(xué)已學(xué)過的“比例尺=圖距∶實(shí)距”這一重要知識(shí).二、思考探究，獲取新知思考   1.兩條直線相交，所成的4個(gè)角中.如果有一個(gè)角是90°，那么其余各角分別是多少度？2.連接直線l外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)O，A1，A2，A3……,其中PO⊥l(PO稱為P到直線l的垂線段)，比較線段PO，PA1,PA2,PA3……的長(zhǎng)短，這些線段中，哪一條最短？3.垂線段和點(diǎn)到直線的距離有哪些區(qū)別和聯(lián)系？ 【歸納結(jié)論】1.定義：互相垂直：兩條直線相交所形成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是90°，那么這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.2.兩條重要公理：垂直公理：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線段公理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，可簡(jiǎn)單說成：垂線段最短.3.垂線段和點(diǎn)到直線的距離的區(qū)別與聯(lián)系：三、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度數(shù).2.小剛牽著一頭小牛從A先到B拿東西，再到河邊讓小牛飲水，請(qǐng)畫出小剛的最佳行走路線，并說明這種畫法的理由.3.如圖，PR⊥l,QR⊥l,R為垂足，那么P，Q，R在同一直線上嗎？4.如圖，已知AOB為一條直線，OC為一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，試判斷OD與OE的位置關(guān)系，并說明理由.【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)可采用先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再以小組交流的方式展開，其中題2、3、4鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言敘述，逐步滲透用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行說明的能力.【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定義可得∠AOC=90°，∠DOE=90°.則∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°，∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°.2.解：小剛的最佳行走路線如圖.理由：兩點(diǎn)間的線段最短；點(diǎn)到直線的垂線段最短.3.解：P、Q、R在同一直線上，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB為一條直線，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠BOC+∠AOC）=∠AOB=90°，即OD⊥OE.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)垂直定義，點(diǎn)到直線的距離，垂直公理，垂線段公理.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題5.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).在這堂課中，學(xué)生的主體地位突出了，真正親歷了知識(shí)形成的全過程.在自主學(xué)習(xí)、同桌合作交流的活動(dòng)中升華了對(duì)知識(shí)的理解.教學(xué)實(shí)踐也證明，在自由探索與合作交流的學(xué)習(xí)方式中，學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)的強(qiáng)度和力度要比單純接受知識(shí)大得多.在本節(jié)課實(shí)施中的每一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，都以學(xué)生個(gè)性思維、自我感悟?yàn)榍疤岫啻卧O(shè)計(jì)了讓學(xué)生自主探索、合作交流的時(shí)間與空間.通過學(xué)生和諧有效地互動(dòng)，強(qiáng)化了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí).

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

5.1.2 垂線

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

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