? 平行四邊形的判定
一、復(fù)習(xí)回顧
1.平行四邊形有哪些性質(zhì)？

2.你能寫出（1）中的逆命題嗎？

3.如何證明判別一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法？
· （定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

二、新知引入
1、平行四邊形的判定方法
例1：已知，在四邊形ABCD中，AB=CD，CB=AD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。








· 平行四邊形的判定方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
例2：如圖：∠A＝∠C，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。







· 平行四邊形的判定方法三：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。
同理可證明：
· 平行四邊形的判定方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
· 平行四邊形的判定方法五：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
例3：如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中點(diǎn)，求證：四邊形ENFM是平行四邊形．









練習(xí)1：如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊AD、BC上的點(diǎn)，已知AE＝CF，AF與BE相交于點(diǎn)G，CE與DF相交于點(diǎn)H，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．










例4：如圖，在□ABCD中，E、F分別在邊BA、DC的延長(zhǎng)線上，已知AE＝CF，P、Q分別是DE和FB的中點(diǎn)，求證：四邊形EQFP是平行四邊形．










練習(xí)2：如圖，在□ABCD中，E、F分別在DA、BC的延長(zhǎng)線上，已知AE＝CF，F(xiàn)A與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，EC與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)S，求證：四邊形RESF是平行四邊形．











例5：已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，AF＝CE，EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)O，求證：O是BD的中點(diǎn)．









練習(xí)3：已知：如圖，△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連結(jié)AE、CF．求證：CF∥AE.








2、三角形的中位線
（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．
例6：如下圖，已知DE是△ABC的中位線．求證：DE//BC，DE＝ BC．








（2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。
應(yīng)用時(shí)書寫： ∵DE是△ABC的中位線，∴DE//BC，DE＝BC．
練習(xí)4：如下圖，任意作一個(gè)四邊形，并將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來，得到一個(gè)新的四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？請(qǐng)你證明你的結(jié)論．









練習(xí)5：如圖，A、B兩地被池溏隔開，在沒有任何測(cè)量工具的情況下，小明通過下面的方法估測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC、BC的中點(diǎn)M、N，并測(cè)出了MN的長(zhǎng)，由此他就知道了A、B間的距離．你能說說其中的道理嗎？





練習(xí)6：已知三角形3條中位線的比為3：5：6，三角形的周長(zhǎng)是112cm，求三條中位線長(zhǎng)。






練習(xí)7：如圖所示，中，中線BD、CE相交于O，F(xiàn)、G分別為OB、OC的中點(diǎn)。求證：四邊形DEFG為平行四邊形。






三、歸納總結(jié)
1．平行四邊形的判定方法有：
從邊的條件有：①兩組對(duì)邊__________的四邊形是平行四邊形；
②兩組對(duì)邊__________的四邊形是平行四邊形；
③一組對(duì)邊__________的四邊形是平行四邊形．
從對(duì)角線的條件有：④兩條對(duì)角線__________的四邊形是平行四邊形．
從角的條件有：⑤兩組對(duì)角______的四邊形是平行四邊形．
2、順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是______________。
（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊的______的線段叫做三角形的________．
（2）三角形中位線定理：三角形的中位線_____________，且__________________．


四、課后作業(yè)
1.一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形__________是平行四邊形．(填“一定”或“不一定”)
2．四邊形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，則這個(gè)四邊形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四邊形．
3．一個(gè)四邊形的邊長(zhǎng)依次為a、b、c、d，且滿足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，則這個(gè)四邊形為______．
4．四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，AC、BD相交于點(diǎn)O，BO＝4，CO＝6，當(dāng)AO＝______，DO＝______時(shí)，這個(gè)四邊形是平行四邊形．
5．如圖，四邊形ABCD中，當(dāng)∠1＝∠2，且______∥______時(shí)，這個(gè)四邊形是平行四邊形．

5題圖 6題圖 7題圖 10題圖
6．如圖，□ABCD中，CE＝DF，則四邊形ABEF是____________．
7．如圖，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，圖中共有______個(gè)平行四邊形．
8．已知三條線段長(zhǎng)分別為10，14，20，以其中兩條為對(duì)角線，其余一條為邊可以畫出______個(gè)平行四邊形．
9．已知三條線段長(zhǎng)分別為7，15，20，以其中一條為對(duì)角線，另兩條為鄰邊，可以畫出______個(gè)平行四邊形．
10．已知：如圖，四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，則四邊形ABCD是______．

二、選擇題
11．下列命題中，正確的是( )．
(A)兩組角相等的四邊形是平行四邊形
(B)一組對(duì)邊相等，兩條對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形
(C)一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形
(D)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
12．已知：園邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，如果只給出條件“AB∥CD”，那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，給出以下四種說法：
①如果再加上條件“BC＝AD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；
②如果再加上條件“∠BAD＝∠BCD”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；
③如果再加上條件“OA＝OC”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形；
④如果再加上條件“∠DBA＝∠CAB”，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形．其中正確的說法是( )．
(A)①② (B)①③④ (C)②③ (D)②③④
13．能確定平行四邊形的大小和形狀的條件是( )．
(A)已知平行四邊形的兩鄰邊 (B)已知平行四邊形的相鄰兩角
(C)已知平行四邊形的兩對(duì)角線 (D)已知平行四邊形的一邊、一對(duì)角線和周長(zhǎng)
14．能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是( )．
(A)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 (B)一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)
(C)一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ) (D)一組對(duì)角相等，另一組對(duì)角互補(bǔ)
15．能判定四邊形ABCD是平行四邊形的題設(shè)是( )．
(A)AD＝BC，AB∥CD (B)∠A＝∠B，∠C＝∠D
(C)AB＝BC，AD＝DC (D)AB∥CD，CD＝AB
16．已知：如圖，△ABC，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，EF∥AB，DF∥BE．
(1)猜想DF與AE的關(guān)系；(2)證明你的猜想．







17．已知：如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，且AE＝CF．請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一組線段相等即可)．
(1)連結(jié)______；
(2)猜想：______＝______；
(3)證明：







18．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點(diǎn)(不與B、C重合)，AD與EF交于點(diǎn)O，連結(jié)EF、DF，要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件______．(只添加一個(gè)條件)








19．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，分別作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．







20．已知：如圖，E為□ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝DC，連結(jié)AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF．求證：AB＝2OF．








一、填空題
1．兩組對(duì)邊分別______的四邊形叫做平行四邊形．它用符號(hào)“□”表示，平行四邊形ABCD記作__________．
2．平行四邊形的兩組對(duì)邊分別______且______；平行四邊形的兩組對(duì)角分別______；兩鄰角______；平行四邊形的對(duì)角線______；平行四邊形的面積＝底邊長(zhǎng)×______．
3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，則∠A＝______，∠B＝______．
4．若平行四邊形周長(zhǎng)為54cm，兩鄰邊之差為5cm，則這兩邊的長(zhǎng)度分別為__________．
5．若□ABCD的對(duì)角線AC平分∠DAB，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系是__________．
6．平行四邊形一條對(duì)角線分一個(gè)內(nèi)角為25°和35°，則4個(gè)內(nèi)角分別為___________．
7．□ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，則邊AB長(zhǎng)的取值范圍是____________．
8．平行四邊形周長(zhǎng)是40cm，則每條對(duì)角線長(zhǎng)不能超過______cm．
9．如圖，在□ABCD中，AE、AF分別垂直于BC、CD，垂足為E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，則CD＝______；AB與CD的距離為______；AD與BC的距離為______；∠D＝______．
10．□ABCD的周長(zhǎng)為60cm，其對(duì)角線交于O點(diǎn)，若△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)多10cm，則AB＝______，BC＝______．
11．在□ABCD中，AC與BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，則OC的長(zhǎng)為______．
12．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，則AC＝______，AB＝______．
13．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，則□ABCD的面積為______．
14．如圖，□ABCD中，CE⊥AB，垂足為E，如果∠A＝115°，則∠BCE＝______．
15．如圖，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，則∠BCE＝______．

14題圖 15題圖 17題圖 18題圖
16．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，則S□ABCD＝______．
二、選擇題
17．如圖，將□ABCD沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)F處，則下列結(jié)論不一定成立的是( )．
(A)AF＝EF (B)AB＝EF (C)AE＝AF (D)AF＝BE
18．如圖，下列推理不正確的是( )．
(A)∵AB∥CD ， ∴∠ABC＋∠C＝180° (B)∵∠1＝∠2 ， ∴AD∥BC
(C)∵AD∥BC ， ∴∠3＝∠4 (D)∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD
19．平行四邊形兩鄰邊分別為24和16，若兩長(zhǎng)邊間的距離為8，則兩短邊間的距離為( )．
(A)5 (B)6 (C)8 (D)12
20．有下列說法：
①平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)；②平行四邊形是中心對(duì)稱圖形；③平行四邊形的任一條對(duì)角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；
④平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形．其中正確說法的序號(hào)是( )．
(A)①②④ (B)①③④ (C)①②③ (D)①②③④
21．平行四邊形一邊長(zhǎng)12cm，那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可能是( )．
(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm
22．以不共線的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有( )個(gè)．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)無數(shù)
23．在□ABCD中，點(diǎn)A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分別是AB和CD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)B1、B2、和D1、D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn)，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則□ABCD的面積為( )
(A)2 (B)
(C) (D)15
24．根據(jù)如圖所示的(1)，(2)，(3)三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是( )
……
(1) (2) (3)
(A)3n (B)3n(n＋1) (C)6n (D)6n(n＋1)

三、解答題
25．已知：如圖，E、F分別為□ABCD的對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)．
(1)求證：DE＝FB；
(2)若DE、CB的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，求證：CB＝BG．









26．已知：如圖，□ABCD中，E、F是直線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF．
求證：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．









27．已知：如圖，在□ABCD中，從頂點(diǎn)D向AB作垂線，垂足為E，且E是AB的中點(diǎn)，已知□ABCD的周長(zhǎng)為8.6cm，△ABD的周長(zhǎng)為6cm，求AB、BC的長(zhǎng)．










28．已知：如圖，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度數(shù)．











29．已知：如圖，O為□ABCD的對(duì)角線AC的串點(diǎn)，過點(diǎn)O作一條直線分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)E、F在直線MN上，且OE＝OF．
(1)圖中共有幾對(duì)全等三角形?請(qǐng)把它們都寫出來；
(2)求證：∠MAE＝∠NCF．









30．已知：如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在AC上，AE＝2EC，點(diǎn)F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面積為2cm2，求□ABCD的面積．










31．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，如圖所示建立直角坐標(biāo)系，試分別求出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)．











32．某市要在一塊□ABCD的空地上建造一個(gè)四邊形花園，要求花園所占面積是□ABCD面積的一半，并且四邊形花園的四個(gè)頂點(diǎn)作為出入口，要求分別在□ABCD的四條邊上，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種方案：
方案(1)：如圖1所示，兩個(gè)出入口E、F已確定，請(qǐng)?jiān)趫D1上畫出符合要求的四邊形花園，并簡(jiǎn)要說明畫法；





圖1



方案(2)：如圖2所示，一個(gè)出入口M已確定，請(qǐng)?jiān)趫D2上畫出符合要求的梯形花園，并簡(jiǎn)要說明畫法．






圖2



19.2 平行四邊形的判定同步練習(xí)題
一、填空題
16．能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值為( )．
(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2
17．如圖，E、F分別是□ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有( )．
(A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)4個(gè) (D)5個(gè)
18．□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且AD平行于x軸，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為( )．
(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)
19．如圖，□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，將△AOD平移至△BEC的位置，則圖中與OA相等的其他線段有( )．
(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條

三、解答題





30．已知：如圖，在等邊△ABC中，D、F分別為CB、BA上的點(diǎn)，且CD＝BF，以AD為邊作等邊三角形ADE．
求證：(1)△ACD≌△CBF；
(2)四邊形CDEF為平行四邊形．









31．若一次函數(shù)y＝2x－1和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1，1)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)已知點(diǎn)A在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，利用圖象求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(3)利用(2)的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，且以點(diǎn)A、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．









32．如圖，點(diǎn)A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函數(shù)的圖象上．
(1)求m，k的值；
(2)如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式．













測(cè)試5 平行四邊形的性質(zhì)與判定
學(xué)習(xí)要求
能綜合運(yùn)用平行四邊形的判定定理和平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行證明和計(jì)算．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題：
1．平行四邊形長(zhǎng)邊是短邊的2倍，一條對(duì)角線與短邊垂直，則這個(gè)平行四邊形各角的度數(shù)分別為______．
2．從平行四邊形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作兩條高線，如果這兩條高線夾角為135°，則這個(gè)平行四邊形的各內(nèi)角的度數(shù)為______．
3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E為BC的中點(diǎn)，則∠AED＝______．
4．在□ABCD中，如果一邊長(zhǎng)為8cm，一條對(duì)角線為6cm，則另一條對(duì)角線x的取值范圍是______．
5．□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，則△OAB的周長(zhǎng)為______cm．
6．如圖，在□ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，則□ABCD的面積是______．

7．□ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，則□ABCD的面積為______．
8．如圖，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，AF＝5，，則△CEF的周長(zhǎng)為______．

9．如圖，BD為□ABCD的對(duì)角線，M、N分別在AD、AB上，且MN∥BD，則S△DMC______
S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)

綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
10．已知：如圖，△EFC中，A是EF邊上一點(diǎn)，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．

(1)求證：△EFC是等腰三角形；
(2)求EC＋FC．



11．已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求證：BE＝FC．




12．已知：如圖，在□ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE、BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若BC＝2CD，求證：∠F＝∠BCF．




13．如圖，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且AB＝2AD．求證：BF∶BD＝∶3．




拓展、探究、思考
14．如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M(－2，－1)，且P(－1，－2)是雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．

圖1
(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值．

圖2



測(cè)試6 三角形的中位線
學(xué)習(xí)要求
理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題：
1．(1)三角形的中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊____________叫做三角形的中位線．
(2)三角形的中位線定理是三角形的中位線____________第三邊，并且等于____________
________________________．
2．如圖，△ABC的周長(zhǎng)為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A′、B′、C′分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，△A′B′C′的周長(zhǎng)為_________．如果△ABC、△EFG、
△A′B′C′分別為第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)是__________________．

3．△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為______．
二、解答題
4．已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．

求證：四邊形EFGH是平行四邊形．



5．已知：△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．

求證：四邊形DEFG是平行四邊形．




綜合、運(yùn)用、診斷



7．已知：如圖，在□ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)C與BE交于G．求證：GF＝GC．




8．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是DC、AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線分別與AD、BC的延長(zhǎng)線交于H、G點(diǎn)．

求證：∠AHF＝∠BGF．



拓展、探究、思考
9．已知：如圖，△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E點(diǎn)，若AB＝5，AC＝7，求ED．




10．如圖在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)．過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎?為什么?




測(cè)試7 矩 形
學(xué)習(xí)要求
理解矩形的概念，掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題
1．(1)矩形的定義：__________________的平行四邊形叫做矩形．
(2)矩形的性質(zhì)：矩形是一個(gè)特殊的平行四邊形，它除了具有四邊形和平行四邊形所有的性質(zhì)，還有：矩形的四個(gè)角______；矩形的對(duì)角線______；矩形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是____________．
(3)矩形的判定：一個(gè)角是直角的______是矩形；對(duì)角線______的平行四邊形是矩形；有______個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
2．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，則AB＝______cm，BC＝______cm．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，則AB邊上的中線CD＝______．
4．如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD＝2AB，若沿過點(diǎn)D的折痕DE將A角翻折，使點(diǎn)A落在BC上的A1處，則∠EA1B＝______°。

5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)______．

二、選擇題
6．下列命題中不正確的是( )．
(A)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半
(B)矩形的對(duì)角線相等
(C)矩形的對(duì)角線互相垂直
(D)矩形是軸對(duì)稱圖形
7．若矩形對(duì)角線相交所成鈍角為120°，短邊長(zhǎng)3.6cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)為( )．
(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm
8．矩形鄰邊之比3∶4，對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則周長(zhǎng)為( )．
(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm
9．已知AC為矩形ABCD的對(duì)角線，則圖中∠1與∠2一定不相等的是( )

(A) (B) (C) (D)
綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
10．已知：如圖，□ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，∠OAB＝∠OBA．

(1)求證：四邊形ABCD為矩形；
(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求證：BE＝CF．



11．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F，且AF＝DC，連結(jié)CF．

(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；
(2)如果AB＝AC，試猜測(cè)四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．



12．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若將矩形折疊，使點(diǎn)B與D重合，求折痕EF的長(zhǎng)。




13．已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且EF＝ED，EF⊥ED．

求證：AE平分∠BAD．



拓展、探究、思考
14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，．

(1)在邊CD上找一點(diǎn)E，使EB平分∠AEC，并加以說明；
(2)若P為BC邊上一點(diǎn)，且BP＝2CP，連結(jié)EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．
①求證：AB＝BF；
②△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到?若能，加以證明，并寫出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由。



測(cè)試8 菱 形
學(xué)習(xí)要求
理解菱形的概念，掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題：
1．菱形的定義：__________________的平行四邊形叫做菱形．
2．菱形的性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它具有四邊形和平行四邊形的______：還有：菱形的四條邊______；菱形的對(duì)角線______，并且每一條對(duì)角線平分______；菱形的面積等于__________________，它的對(duì)稱軸是______________________________．
3．菱形的判定：一組鄰邊相等的______是菱形；四條邊______的四邊形是菱形；對(duì)角線___
___的平行四邊形是菱形．
4．已知菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩個(gè)相鄰角度數(shù)之比為1∶2，則較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)為______cm．
5．若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6cm，8cm，則它的周長(zhǎng)為______cm，面積為______cm2．
二、選擇題
6．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是( )．
(A)平行四邊形 (B)矩形 (C)菱形 (D)任意四邊形
7．順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是( )．
(A)矩形 (B)平行四邊形 (C)菱形 (D)任意四邊形
8．下列命題中，正確的是( )．
(A)兩鄰邊相等的四邊形是菱形
(B)一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形是菱形
(C)對(duì)角線垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形
(D)對(duì)角線垂直的四邊形是菱形
9．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周長(zhǎng)是( )．

(A)4 (B)8
(C)12 (D)16
10．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于( )．
(A) (B)4 (C)1 (D)2
綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
11．如圖，在菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB，AB＝4．

求：(1)∠ABC的度數(shù)；(2)菱形ABCD的面積．



12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB邊的中點(diǎn)，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PB＋PE的最小值是，求AB的值．




13．如圖，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，連結(jié)DE，BF，BD．

(1)求證：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形?請(qǐng)證明你的結(jié)論．



14．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

(1)求證：四邊形AECD是菱形；
(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．



15．如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．

(1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，畫出圖形并寫出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．



16．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD＝2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE＋CF＝2．

(1)求證：△BDE≌△BCF；
(2)判斷△BEF的形狀，并說明理由；
(3)設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．



拓展、探究、思考
17．請(qǐng)用兩種不同的方法，在所給的兩個(gè)矩形中各畫一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上(保留作圖痕跡)．




18．如圖，菱形AB1C1D1的邊長(zhǎng)為1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于點(diǎn)D2，以AD2為一邊，作第二個(gè)菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于點(diǎn)D3，以AD3為一邊，作第三個(gè)菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此類推，這樣作的第n個(gè)菱形ABnCnDn的邊ADn的長(zhǎng)是______．




測(cè)試9 正方形
學(xué)習(xí)要求
1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；
2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題
1．正方形的定義：有一組鄰邊______并且有一個(gè)角是______的平行四邊形叫做正方形，因此正方形既是一個(gè)特殊的有一組鄰邊相等的______，又是一個(gè)特殊的有一個(gè)角是直角的______．
2．正方形的性質(zhì)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，正方形的四個(gè)角都______；四條邊都______且__________________；正方形的兩條對(duì)角線______，并且互相______，每條對(duì)角線平分______對(duì)角．它有______條對(duì)稱軸．
3．正方形的判定：
(1)____________________________________的平行四邊形是正方形；
(2)____________________________________的矩形是正方形；
(3)____________________________________的菱形是正方形；
4．對(duì)角線________________________________的四邊形是正方形．
5．若正方形的邊長(zhǎng)為a，則其對(duì)角線長(zhǎng)為______，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD的對(duì)角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于______．
6．延長(zhǎng)正方形ABCD的BC邊至點(diǎn)E，使CE＝AC，連結(jié)AE，交CD于F，那么∠AFC的度數(shù)為______，若BC＝4cm，則△ACE的面積等于______．
7．在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為F、G，如果，那么EF＋EG的長(zhǎng)為______．
二、選擇題
8．如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E，使DE＝5，折痕為PQ，則PQ的長(zhǎng)為( )

(A)12 (B)13
(C)14 (D)15
9．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為( )cm2．

(A)6 (B)8
(C)16 (D)不能確定
綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
10．已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CE＝MN，
∠MCE＝35°，求∠ANM的度數(shù)．




11．已知：如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求證：BF＝EC．




12．如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的長(zhǎng)．




13．如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線上任一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判斷DP與EF的關(guān)系，并證明．



拓展、探究、思考
14．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．

(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．



測(cè)試10 梯形(一)
學(xué)習(xí)要求
1．理解梯形的有關(guān)概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．
2．掌握等腰梯形的性質(zhì)和判定．
3．初步掌握研究梯形問題時(shí)添加輔助線的方法，使問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、填空題
1．梯形有關(guān)概念：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊______的四邊形叫做梯形，梯形中平行的兩邊叫做底，按______分別叫做上底、下底(與位置無關(guān))，梯形中不平行的兩邊叫做______，兩底間的______叫做梯形的高．一腰垂直于底邊的梯形叫做______；兩腰______的梯形叫做等腰梯形．
2．等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形中______的兩個(gè)角相等，兩腰______，兩對(duì)角線______，等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，只有一條對(duì)稱軸，______就是它的對(duì)稱軸．
3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的兩個(gè)角______的梯形是等腰梯形．
4．如果等腰梯形兩底差的一半等于它的高，那么此梯形較小的一個(gè)底角等于______度．
5．等腰梯形上底長(zhǎng)為3cm，腰長(zhǎng)為4cm，其中銳角等于60°，則下底長(zhǎng)是______．
6．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直線MN為梯形ABCD的對(duì)稱軸，P為MN上一點(diǎn)，那么PC＋PD的最小值為______．

二、選擇題
7．課外活動(dòng)時(shí)，王老師讓同學(xué)們做一個(gè)對(duì)角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2，則兩條對(duì)角線所用的竹條至少需( )．
(A) (B)30cm (C)60cm (D)
8．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，則BC長(zhǎng)為( )．

8題圖
(A)4 (B)6 (C) (D)
9．如圖，□ABCD是用12個(gè)全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形，這個(gè)圖形中等腰梯形的上底長(zhǎng)與下底長(zhǎng)的比是( )．

9題圖
(A)1∶2 (B)2∶3 (C)3∶5 (D)4∶7
綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
10．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延長(zhǎng)CB到E，使EB＝AD，連結(jié)AE．求證：AE＝CA．




11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠C＝2∠E

(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的長(zhǎng)．



12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠C＝60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，AE＝1，求梯形ABCD的高．




拓展、探究、思考
一、解答題
13．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形MENF是菱形；
(2)若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．



14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點(diǎn)D．過點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為a ．


(備用圖)
(1)①當(dāng)a＝______°時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為______；
②當(dāng)a＝______°時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為______；
(2)當(dāng)a＝90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．



測(cè)試11 梯形(二)
學(xué)習(xí)要求
熟練運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決梯形問題．
課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)
一、回答下列問題
1．梯形問題通常是通過分割和拼接轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形，其分割拼接的方法有如下幾種(如圖)：
(1)平移一腰，即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)______，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形(圖1所示)；

圖1
(2)從同一底的兩端______，把梯形分成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形(圖2所示)；

圖2
(3)平移對(duì)角線，即過底的一端______，可以借助新得的平行四邊形或三角形來研究梯形(圖3所示)；

圖3
(4)延長(zhǎng)梯形的兩腰______，得到兩個(gè)三角形，如果梯形是等腰梯形，則得到兩個(gè)等腰三角形(圖4所示)；

圖4
(5)以梯形一腰的中點(diǎn)為______，作某圖形的中心對(duì)稱圖形(圖5、圖6所示)；

圖5 圖6
(6)以梯形一腰為______，作梯形的軸對(duì)稱圖形(圖7所示)．

圖7
二、填空題
2．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，則∠B＝______
3．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，CB⊥AB，△ABD是等邊三角形，若AB＝2，則BC＝______．

4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E為DC的中點(diǎn)，射線AE交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，則BF＝______．
三、選擇題
5．梯形ABCD中，AD∥BC，若對(duì)角線AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，則梯形的面積等于( )．
(A)30cm2 (B)60cm2 (C)90cm2 (D)169cm2
6．如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對(duì)角線AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2，則梯形ABCD的面積是( )．

(A) (B)6 (C) (D)12
7．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝8，AB＝10，CD＝6，則梯形ABCD的面積是( )．
(A) (B) (C) (D)
綜合、運(yùn)用、診斷
一、解答題
8．已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC＝BC＋AD．求∠DBC的度數(shù)．




9．已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，AC⊥BD，AB＝4cm，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．




10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E為AB中點(diǎn)，EF∥DC交BC于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)．




11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝，BC＝4，求DC的長(zhǎng)．



拓展、探究、思考
一、解答題
12．如圖，梯形紙片ABCD中，AD∥BC且AB≠DC．設(shè)AD＝a，BC＝b．過AD中點(diǎn)和BC中點(diǎn)的直線可將梯形紙片ABCD分成面積相等的兩部分．請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種方法：只需用剪子一次就可將梯形紙片ABCD分割成面積相等的兩部分，畫出設(shè)計(jì)的圖形并簡(jiǎn)要說明你的分割方法．




13．(1)探究新知：
如圖，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．




(2)結(jié)論應(yīng)用：
①如圖，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)M作ME⊥y軸，過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)．試證明：MN∥EF．




②若①中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N的位置，如圖所示．請(qǐng)判斷MN與EF是否平行．

參考答案
第十九章 四邊形
測(cè)試1 平行四邊形的性質(zhì)(一)
1．平行，□ABCD． 2．平行，相等；相等；互補(bǔ)；互相平分；底邊上的高．
3．110°，70°． 4.16cm，11cm． 5．互相垂直． 6．25°．
7．25°． 8．21cm2．
9．D． 10．C． 11．C．
12．提示：可由△ADE≌△CBF推出． 13．提示：可由△ADF≌△CBE推出．
14．(1)提示：可證△AED≌△CFB；
(2)提示：可由△GEB≌△DEA推出，
15．提示：可先證△ABE≌△CDF．
(三)
16．B(5，0) C(4，)D(－1，)．
17．方案(1)

畫法1：
(1)過F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H
(2)在DC上任取一點(diǎn)G連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形；

畫法2：
(1)過F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H
(2)過E作EG∥AD交DC于點(diǎn)G連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形

畫法3：
(1)在AD上取一點(diǎn)H，使DH＝CF
(2)在CD上任取一點(diǎn)G連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形
方案(2)

畫法：(1)過M點(diǎn)作MP∥AB交AD于點(diǎn)P，
(2)在AB上取一點(diǎn)Q，連接PQ，
(3)過M作MN∥PQ交DC于點(diǎn)N，連接QM，PN則四邊形QMNP就是所要畫的四邊形
測(cè)試2 平行四邊形的性質(zhì)(二)
1．60°、120°、60°、120°． 2．1＜AB＜7． 3．20．
4．6，5，3，30°． 5．20cm，10cm． 6．18．提示：AC＝2AO.
7．5cm，5cm． 8．120cm2．
9．D； 10．B． 11．C． 12．C． 13．B．
14．AB＝2.6cm，BC＝1.7cm．
提示：由已知可推出AD＝BD＝BC．設(shè)BC＝xcm，AB＝y(tǒng)cm，
則 解得
15．∠1＝60°，∠3＝30°．
16．(1)有4對(duì)全等三角形．分別為△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)證明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．∴∠EAO＝∠FCO．
又∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF．
17．9．
測(cè)試3 平行四邊形的判定(一)
1．①分別平行； ②分別相等； ③平行且相等；
④互相平分； ⑤分別相等；不一定；
2．不一定是．
3．平行四邊形．提示：由已知可得(a－c)2＋(b－d)2＝0，從而
4．6，4； 5．AD，BC．
6．D． 7．C． 8．D．
9．提示：先證四邊形BFDE是平行四邊形，再由EMNF得證．
10．提示：先證四邊形AFCE、四邊形BFDE是平行四邊形，再由GE∥FH，GF∥EH得證．
11．提示：先證四邊形EBFD是平行四邊形，再由EPQF得證．
12．提示：先證四邊形EBFD是平行四邊形，再證△REA≌△SFC，既而得到RESF．
13．提示：連結(jié)BF，DE，證四邊形BEDF是平行四邊形．
14．提示：證四邊形AFCE是平行四邊形．
15．提示：(1)DF與AE互相平分；(2)連結(jié)DE，AF．證明四邊形ADEF是平行四邊形．
16．可拼成6個(gè)不同的四邊形，其中有三個(gè)是平行四邊形．拼成的四邊形分別如下：


測(cè)試4 平行四邊形的判定(二)
1．平行四邊形． 2．18． 3．2． 4．3． 5．平行四邊形．
6．C． 7．D． 8．D． 9．C． 10．A． 11．B．
12．(1)BF(或DF)； (2)BF＝DE(或BE＝DF)；
(3)提示：連結(jié)DF(或BF)，證四邊形DEBF是平行四邊形．
13．提示：D是BC的中點(diǎn)．
14．DE＋DF＝10
15．提示：(1)∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．
又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．
(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．
∵△AED為等邊三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．
∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，
∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．
∵EDFC，∴四邊形CDEF為平行四邊形.
16．(1)；(2)； (3)P1(－1.5，－2)，P2(－2.5，－2)或P3
(2.5，2)．
17．(1)m＝3，k＝12；
(2)或
測(cè)試5 平行四邊形的性質(zhì)與判定
1．60°，120°，60°，120°． 2．45°，135°，45°，135°．
3．90°． 4．10cm＜x＜22cm． 5．
6．72．提示：作DE∥AM交BC延長(zhǎng)線于E，作DF⊥BE于F，可得△BDE是直角三角形，
7． 提示：作CE⊥BD于E，設(shè)OE＝x，則BE2＋CE2＝BC2，得(x＋5)2＋．解出．S□＝2S△BCD＝BD×CE＝
8．7． 9．＝．提示：連結(jié)BM，DN．
10．(1)提示：先證∠E＝∠F； (2)EC＋FC＝2a＋2b．
11．提示：過E點(diǎn)作EM∥BC，交DC于M，證△AEB≌△AEM．
12．提示：先證DC＝AF．
13．提示：連接DE，先證△ADE是等邊三角形，進(jìn)而證明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°．
14．(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為y＝kx，將點(diǎn)M(－2，－1)坐標(biāo)代入得，所以正比例函數(shù)解析式為，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，于是S△OBQ＝
｜OB·BQ｜＝·m·m＝m2而SOAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，，
解得m＝±2所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1(2，1)和Q2(－2，－1)；
(3)因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P＝CQ，OQ＝PC，而點(diǎn)P(－1，－2)是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．
因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q(n，)，
由勾股定理可得OQ2＝n2＋＝(n－)2＋4，
所以當(dāng)(n－)2＝0即n－＝0時(shí)，OQ2有最小值4，
又因?yàn)镺Q為正值，所以O(shè)Q與OQ2同時(shí)取得最小值，
所以O(shè)Q有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4．
測(cè)試6 三角形的中位線
1．(1)中點(diǎn)的線段；(2)平行于三角形的，第三邊的一半．
2．16，64×()n－1 ． 3．18．
4．提示：可連結(jié)BD(或AC)．
5．略．
6．連結(jié)BE，CE AB□ABECBF＝FC．□ABCDAO＝OC，∴AB＝2OF．
7．提示：取BE的中點(diǎn)P，證明四邊形EFPC是平行四邊形．
8．提示：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)M，再分別連結(jié)ME、MF，可得EM＝FM．
9．ED＝1，提示：延長(zhǎng)BE，交AC于F點(diǎn)．
10．提示：AP＝AQ，取BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH．證明△MHN是等腰三角形，進(jìn)而證明∠APQ＝∠AQP．
測(cè)試7 矩形
1．(1)有一個(gè)角是直角；(2)都是直角，相等，經(jīng)過對(duì)邊中點(diǎn)的直線；
(3)平行四邊形；對(duì)角線相等；三個(gè)角．
2．5，5． 3． 4．60°． 5．
6．C． 7．B． 8．B． 9．D．
10．(1)提示：先證OA＝OB，推出AC＝BD；(2)提示：證△BOE≌△COF．
11．(1)略；(2)四邊形ADCF是矩形． 12．7.5．
13．提示：證明△BFE≌△CED，從而BE＝DC＝AB，∴∠BAE＝45°，可得AE平分∠BAD．
14．提示：(1)取DC的中點(diǎn)E，連接AE，BE，通過計(jì)算可得AE＝AB，進(jìn)而得到EB平分
∠AEC．
(2)①通過計(jì)算可得∠BEF＝∠BFE＝30°，又∵BE＝AB＝2
∴AB＝BE＝BF：
②旋轉(zhuǎn)角度為120°．
測(cè)試8 菱 形
1．一組鄰邊相等．
2．所有性質(zhì)，都相等；互相垂直，平分一組對(duì)角；底乘以高的一半或兩條對(duì)角線之積的一半；對(duì)角線所在的直線．
3．平行四邊形；相等，互相垂直． 4． 5．20，24．
6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．C．
11．120°；(2)8． 12．2．
13．(1)略；(2)四邊形BFDE是菱形，證明略．
14．(1)略；(2)△ABC是Rt△．
15．(1)略；(2)略；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是45°時(shí)，四邊形BEDF是菱形，證明略．
16．(1)略；(2)△BEF是等邊三角形，證明略．
(3)提示：∵≤△BEF的邊長(zhǎng)＜2


17．略． 18．
測(cè)試9 正方形
1．相等、直角、矩形、菱形．
2．是直角；相等、對(duì)邊平行，鄰邊垂直；相等、垂直平分、一組，四．
3．(1)有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角； (2)有一組鄰邊相等．
(3)有一個(gè)角是直角．
4．互相垂直、平分且相等． 5．a(chǎn)，2∶1． 6．112.5°，8cm2；7．5cm．
8．B． 9．B．
10．55°． 提示：過D點(diǎn)作DF∥NM，交BC于F．
11．提示：連結(jié)AF．
12．提示：連結(jié)CH，DH＝． 13．提示：連結(jié)BP．
14．(1)證明：△ADQ≌△ABQ；
(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，QF⊥x軸于點(diǎn)F．

AD×QE＝S正方形ABCD＝ ∴QE＝
∵點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線AC上 ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴過點(diǎn)D(0，4)，兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－2x＋4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知 QD＝QA此時(shí)△ADQ是等腰三角形；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP＝x時(shí)，有AD＝AQ

∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝，AQ＝AD＝4．
∴x＝CQ＝AC－AQ＝－4．
即當(dāng)CP＝－4時(shí)，△ADQ是等腰三角形．
測(cè)試10 梯形(一)
1．不平行，長(zhǎng)短，梯形的腰，距離，直角梯形，相等．
2．同一底邊上，相等，相等，經(jīng)過上、下底中點(diǎn)的直線．
3．兩腰相等，相等．
4．45． 5．7cm． 6．
7．C． 8．B． 9．A．
10．提示：證△AEB≌△CAD． 11．(1)略；(2)CD＝10． 12．
13．(1)提示：證EN＝FN＝FM＝EM；
(2)提示：連結(jié)MN，證它是梯形的高．結(jié)論是
14．(1)①a＝30°，AD＝1； ②a＝60°，；(2)略．
測(cè)試11 梯形(二)
1．(1)作一腰的平行線； (2)作另一底邊的垂線； (3)作對(duì)角線的平行線；
(4)交于一點(diǎn)； (5)對(duì)稱中心； (6)對(duì)稱軸．
2．60°． 3．； 4．12．
5．A． 6．A． 7．B．
8．60°．提示：過D點(diǎn)作DE∥AC，交BC延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．
9． 10． 11．
12．方法1：?。B接AM，AM將梯形ABCD分成面積相等的兩部分．

方法2：(1)取DC的中點(diǎn)G，過G作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(2)連接AF，BE相交于點(diǎn)O．
(3)過O任作直線MN與AD，BC相交于點(diǎn)M，N，沿MN剪一刀即把梯形ABCD分成面積相等的兩部分．

13．(1)證明：分別過點(diǎn)C，D作CG⊥AB，DH⊥AB．垂足為G，H，如圖1，則∠CGA＝
∠DHB＝90°．

圖1
∴CG∥DH
∵△ABC與△ABD的面積相等
∴CG＝DH
∴四邊形CGHD為平行四邊形
∴AB∥CD.
(2)①證明：連結(jié)MF，如圖2，NE設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2，y2)，
∵點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)的圖象上，

圖2
∴x1y1＝k，x2y2＝k．
∵M(jìn)E⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE＝y(tǒng)1，OF＝x2．
∴S△EFM＝x1y1＝k．
∴S△EFN＝x2y2＝k．
∴S△EFM＝S△EEN．
由(1)中的結(jié)論可知：MN∥EF．
②如圖3所示，MN∥EF．

圖3
第十九章 四邊形全章測(cè)試
一、選擇題
1．下列說法中，正確的是( )．
(A)等腰梯形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形．
(B)平行四邊形的鄰邊相等．
(C)矩形是軸對(duì)稱圖形且有四條對(duì)稱軸．
(D)菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半．
2．在□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，則□ABCD的面積是( )．
(A) (B) (C) (D)
3．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF．若AB＝3，則BC的長(zhǎng)為( )．

(A)1 (B)2
(C) (D)
4．等腰梯形的兩底之差等于腰長(zhǎng)，則腰與下底的夾角為( )．
(A)120° (B)60°
(C)45° (D)50°
5．課外活動(dòng)時(shí)，王老師讓同學(xué)們做一個(gè)對(duì)角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2，則兩條對(duì)角線所用的竹條至少需( )．
(A) (B)30cm (C)60cm (D)
二、填空題
6．如圖，若□ABCD與□EBCF關(guān)于B，C所在直線對(duì)稱，∠ABE＝90°，則∠F＝______．

7．已知菱形ABCD的面積是12cm2，對(duì)角線AC＝4cm，則菱形的邊長(zhǎng)是______cm．
8．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝45°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______．

8題圖
9．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PA的長(zhǎng)度之和最小值為___________．




10．如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB，AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1的對(duì)角線交于點(diǎn)O2，同樣以AB，AO2為兩鄰邊平行四邊形ABC2O2……依此類推，則平行邊形ABCnOn的面積為___________．




三、解答題
11．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且AF＝CE，求證：AE＝CF．




12．如圖，在矩形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD邊于點(diǎn)E，連接BE，過C點(diǎn)作CF⊥BE，垂足為F．猜想線段BF與圖中現(xiàn)有的哪一條線段相等?先將你猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，并加以證明．

結(jié)論：BF＝______．
證明：



13．如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F．

(1)求證：△ABF≌△EDF
(2)若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由．



14．如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是DB，BC，AC，DA的中點(diǎn)，求證：線段HF、線段EG互相平分。




15．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且∠FAE＝∠DAE．

圖1
(1)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量、猜想，寫出∠AEF的度數(shù)；
(2)若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，點(diǎn)F在底邊BC或其延長(zhǎng)線上，如圖2、圖3，其他條件不變，你在(1)中得出的結(jié)論是否仍然成立，若都成立，請(qǐng)?jiān)?br /> 圖2、圖3中選擇其中一圖進(jìn)行證明；若不都成立，請(qǐng)說明理由．

圖2 圖3



16．如圖1，P是線段AB上的一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，連結(jié)CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G，H．

圖1
(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，(1)中的結(jié)論還成立嗎?說明理由；

圖2
(3)如圖3中，若∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

圖3
參考答案
第十九章 四邊形全章測(cè)試
1．D． 2．B． 3．D． 4．B． 5．C．
6．45． 7． 8．
9． 10． 11．略． 12．BF＝AE；證明提示：△BAE≌△CFB．
13．(1)略；(2)菱形． 14．提示：連結(jié)EH，HG，GF，F(xiàn)E
15．(1)90°；(2)提示：延長(zhǎng)AE與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，證明△AFG是等腰三角形；
16．(1)菱形；
(2)菱形，提示：連結(jié)CB，AD；證明CB＝AD；
(3)如圖，正方形，提示：連結(jié)CB、AD，證明△APD≌△CPB，從而得出AD＝CB，
∠DAP＝∠BCP，進(jìn)而得到CB⊥AD．





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2 平行四邊形的判定

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