知識(shí)點(diǎn)01 直線的傾斜角
1.定義：平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，則α叫做直線的傾斜角.
2.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，
3.范圍：[0,π)
4.圖形：
【即學(xué)即練1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）若直線l過兩點(diǎn)0,0和1,-3，則直線l的傾斜角為（ ）
A．π3B．23πC．56πD．π6
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·湖北武漢·期末）若直線l的斜率為k，且k2=3，則直線l的傾斜角為（ ）
A．30°或150°B．60°或120°C．45°或135°D．90°或180°
知識(shí)點(diǎn)02直線的斜率
1.定義：一般的，如果直線l的傾斜角為α，則當(dāng)α≠90°時(shí)，稱k=tanα為直線l的斜率；當(dāng)α=90°時(shí)，稱直線l的斜率不存在.
2.公式：已知點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線l的斜率為k=y2-y1x2-x1，當(dāng)x1=x2時(shí)，直線l的斜率不存在.
【即學(xué)即練3】（23-24高二下·湖南邵陽·期末）已知直線l的傾斜角為π4，則直線l的斜率為（ ）
A．33B．-1C．1D．3
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·河北石家莊·期中）過兩點(diǎn)1,2和-2,1的直線的斜率為（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
知識(shí)點(diǎn)03 直線的方向向量
1.定義：一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合 ，則稱向量a為直線l的一個(gè)方向向量，記作a//l
2.性質(zhì)：①如果a為直線l的一個(gè)方向向量，那么對于任意的實(shí)數(shù)λ≠0，向量λa都是l的一個(gè)方向向量，而且直線l的任意兩個(gè)方向向量一定共線.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則AB=(x2-x1,y2-y1)是直線l的一個(gè)方向向量.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若α為直線l的傾斜角，則（csα，sinα）一定是直線l的一個(gè)方向向量.
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④如果已知a=（u,v）為直線l的一個(gè)方向向量，則當(dāng)u=0時(shí)，直線l的斜率不存在，傾斜角為90°；當(dāng)u≠0時(shí)，直線l的斜率是存在的，直線l的斜率k=vu,即tanα=vu.
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·湖北黃石·期末）已知(-3,3)是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l的傾斜角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·全國·課堂例題）已知直線l通過點(diǎn)A(0,1)與B(1,1-3)，則直線l的一個(gè)方向向量為 .
知識(shí)點(diǎn)04 直線的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個(gè)法向量，記作v⊥l，一條直線的方向向量與法向量互相垂直.
【即學(xué)即練7】（23-24高二上·上海奉賢·期末）直線3x-y+1=0的法向量可以為（ ）
A．n=3,1B．n=1,3
C．n=-1,3D．n=3,-1
【即學(xué)即練8】（23-24高二下·全國·課堂例題）若1,3是直線l的一個(gè)法向量，則直線l的斜率為 ，傾斜角的大小為 ．
難點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題
示例1：（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足y=15x-35，且-2≤x≤3，則y-2x+1的取值范圍（ ）
A．-∞,-12∪3,+∞B．-12,3
C．-∞,-1∪3,+∞D(zhuǎn)．-1,3
【題型1：直線的傾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）直線x=tanπ6的傾斜角是（ ）
A．0B．π6C．π3D．π2
變式1．（23-24高二下·寧夏吳忠·開學(xué)考試）若直線經(jīng)過A1,0、B2,3兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
變式2．（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）圖中α能表示直線l的傾斜角的是（ ）
A．①④B．①②C．①③D．②④
變式3．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知直線l的傾斜角為α，則與l關(guān)于x軸對稱的直線的傾斜角為（ ）
A．αB．90°-α
C．180°-αD．90°+α
變式4．（多選）（24-25高二上·全國·課堂例題）設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為（ ）
A．α+45°B．α-135°
C．135°-αD．α-45°
變式5．（多選）（23-24高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tanα
D．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°
變式6．（多選）（23-24高二上·河南信陽·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大
B．若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα
C．若A1,-3，B1,3，則直線AB的傾斜角為90°
D．若直線過點(diǎn)1,2，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過點(diǎn)3,4
變式7．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若θ∈-π2,π2，則經(jīng)過兩點(diǎn)P0,0，Qsinθ,csθ的直線的傾斜角為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
求直線傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)
（1）定義法：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角.
（2）關(guān)注點(diǎn)：結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論.
【題型2：直線的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直線l的傾斜角為1rad，則l的斜率為（ ）
A．1B．45C．tan1D．tan1°
變式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直線y+3=0的斜率為（ ）
A．不存在B．-3C．13D．0
變式2．（23-24高二上·河南鄭州·期中）已知直線l經(jīng)過1,0，1,3兩點(diǎn)，直線l的傾斜角是直線m的傾斜角的兩倍，則直線m的斜率是（ ）
A．0B．1C．-2D．不存在
變式3．（23-24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）過點(diǎn)A1,2和點(diǎn)B(1,-2)的直線的傾斜角和斜率分別是 （ ）
A．45°，1B．90°，不存在C．135°，-1D．0°，0
變式4．（23-24高二上·廣東茂名·期中）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，寫出該正方形的一條邊所在直線的斜率為 ．
變式5．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l上的一點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度后，仍在該直線l上，則直線l的斜率為 ．
變式6．（23-24高二上·上海虹口·階段練習(xí)）直線l的傾斜角α滿足sinα=1213，則直線l斜率為 .
變式7．（2024·上海青浦·二模）已知直線l1的傾斜角比直線l2:y=xtan80°的傾斜角小20°，則l1的斜率為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
斜率公式是最基本的求解直線斜率的方法。如有直線的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，x1≠x2，則該直線的斜率為:k=y2-y1x2-x1
【題型3：傾斜角與斜率的變化】
例3．（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（ ）
A．k1

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