2020-2021學年2.2.1 直線的傾斜角與斜率學案設計

這是一份2020-2021學年2.2.1 直線的傾斜角與斜率學案設計，共9頁。
2.2　直線及其方程2.2.1　直線的傾斜角與斜率學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1．理解直線的傾斜角和斜率的概念．(重點)2．理解直線斜率的幾何意義；掌握傾斜角與斜率的對應關系．(重點)3．掌握過兩點的直線的斜率公式．(重點)4．直線傾斜角與斜率的對應關系在解題中的應用．(難點)5．掌握直線的方向向量和法向量．(重點)1．通過直線的傾斜角與斜率的概念學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．2．借助傾斜角與斜率的關系，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．我們知道，經(jīng)過兩點有且只有(確定)一條直線，那么，經(jīng)過一點P的直線l的位置能確定嗎？如圖所示，過一點P可以作無數(shù)多條直線a，b，c，…我們可以看出這些直線都過點P，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種“傾斜程度”的不同呢？1．直線的傾斜角(1)傾斜角的定義一般地，給定平面直角坐標系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點按逆時針方向旋轉到與直線重合時所轉的最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的傾斜角．(2)當直線與x軸平行或重合時，規(guī)定該直線的傾斜角為0°．(3)傾斜角α的范圍為[0°，180°)．2．直線的傾斜角與斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線上l兩個不同的點，直線l的傾斜角為θ，則：(1)當y1＝y2時(此時必有x1≠x2)，θ＝0°．(2)當x1＝x2時(此時必有y1≠y2)，θ＝90°．(3)當x1≠x2且y1≠y2時，tan θ＝．思考1：當x1≠x2且y1＝y2時，(3)式中的式子成立嗎？[提示]　成立．(4)一般地，如果直線l的傾斜角為θ，當θ≠90°時，稱k＝tan θ為直線l的斜率，當θ＝90°時，稱直線l的斜率不存在．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，當x1≠x2時，直線l的斜率為k＝．思考2：運用(5)中公式計算直線AB的斜率時，需要考慮A、B的順序嗎？[提示]　kAB＝＝kBA＝，所以直線AB的斜率與A、B兩點的順序無關．思考3：直線的斜率與傾斜角是一一對應的嗎？[提示]　不是，當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在．3．直線的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l．(2)如果a為直線l的一個方向向量，那么對于任意的實數(shù)λ≠0，向量λa都是l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量一定共線．(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點，則＝(x2－x1，y2－y1)是直線l的一個方向向量．思考4：設l是平面直角坐標系中的一條直線，且傾斜角為45°，你能寫出該直線的方向向量嗎？[提示]　(1,1)．(4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直線l的一個方向向量，則：①當u＝0時，顯然直線的斜率不存在，傾斜角為90°．②當u≠0時，直線l的斜率存在，且(1，k)與a＝(u，v)都是直線l的方向向量，由直線的任意兩個方向向量共線可知1×v＝k×u，從而k＝，tan θ＝．4．直線的法向量一般地，如果表示非零向量υ的有向線段所在的直線與直線l垂直，則稱向量υ為l的一個法向量，記作υ⊥l．思考5：如果a＝(－1,2)是直線l的一個方向向量，你能寫出l的一個法向量嗎？[提示]　(2,1)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)傾斜角是描述直線的傾斜程度的唯一方法． (　　)(2)任何一條直線有且只有一個斜率和它對應． (　　)(3)一個傾斜角α不能確定一條直線． (　　)(4)斜率公式與兩點的順序無關．  (　　)(5)直線的方向向量與法向量不唯一． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√[提示]　(1)錯誤．除了傾斜角，還可以用斜率描述直線的傾斜程度．(2)錯誤．傾斜角不是90°的直線有且只有一個斜率和它對應．(3)正確．確定平面直角坐標系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素：一個點P和一個傾斜角α．(4)正確．斜率公式與兩點的順序無關，即兩縱坐標和橫坐標在公式中的次序可以同時調(diào)換．(5)正確．若a為直線的方向向量，則λa(λ≠0)也是直線的方向向量．2．如圖所示，直線l的傾斜角為(　　)A．30°　　　　　 B．60°C．120°   D．以上都不對C　[根據(jù)傾斜角的定義知，直線l的傾斜角為30°＋90°＝120°．]3．直線l過點M(1,2)，N(2,5)，則l的斜率為(　　)A．3　　　B．－3　　　C．　　　D．－A　[根據(jù)題意，l的斜率為＝3．]4．直線l經(jīng)過點A(2,1)和B(－5，－2)，則直線l的一個方向向量為        ．(－7，－3)　[＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]5．已知三點A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實數(shù)a的值為        ．2或　[∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或a＝．]直線的傾斜角【例1】　設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α<135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°D　[根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：當0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．故選D．]求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°．②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°．1．已知直線l1的傾斜角為α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120°，如圖所示，求直線l2的傾斜角．[解]　∵l1與l2向上的方向之間所成的角為120°，l2與x軸交于點B，∴傾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°． 直線的斜率【例2】　如圖所示，直線l1，l2，l3都經(jīng)過點P(3,2)，又l1，l2，l3分別經(jīng)過點Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．(1)試計算直線l1，l2，l3的斜率；(2)若還存點Q4(a,3)，試求直線PQ4的斜率．[思路探究]　根據(jù)題意，分清直線過哪兩個點，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情況．[解]　(1)由已知得，直線l1，l2，l3的斜率都存在．設它們的斜率分別為k1，k2，k3．則由斜率公式得：k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0．(2)當a＝3時，直線PQ4與x軸垂直，此時其斜率不存在．當a≠3時，其斜率k＝＝．1．求斜率時要注意斜率公式的適用范圍，若給出直線上兩個點的坐標，首先要觀察橫坐標是否相同，若相同，則斜率不存在；若不相同，則可使用斜率公式．若給出兩個點的橫坐標中含有參數(shù)，則要對參數(shù)進行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩個橫坐標是否相等”．2．由例題中圖可以看出：(1)當直線的斜率為正時(l1)，直線從左下方向右上方傾斜；(2)當直線的斜率為負時(l2)，直線從左上方向右下方傾斜；(3)當直線的斜率為0時(l3)，直線與x軸平行或重合．2．已知坐標平面內(nèi)三點A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．(1)求直線AB、BC、AC的斜率和傾斜角；(2)若D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD斜率k的變化范圍．[解]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝．kAC＝＝．傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．又∵tan 0°＝0，∴AB的傾斜角為0°．tan 60°＝，∴BC的傾斜角為60°．tan 30°＝，∴AC的傾斜角為30°．(2)如圖，當斜率k變化時，直線CD繞C點旋轉，當直線CD由CA逆時針方向旋轉到CB時，直線CD與AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為．斜率公式的應用[探究問題]1．斜率公式k＝中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？[提示]　斜率公式中分子與分母的順序不可互換，但y1與y2和x1與x2可以同時互換順序，即斜率公式也可寫為k＝．2．你能證明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三點在同一條直線上嗎？[提示]　能．因為A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，所以kAB＝＝2，kBC＝＝2，所以kAB＝kBC，且直線AB，BC有公共點B，所以A，B，C這三點在同一條直線上．【例3】　已知直線l過點M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．(1)當m為何值時，直線l的斜率是1?(2)當m為何值時，直線l的傾斜角為90°？[思路探究]　求直線的斜率?直線的斜率公式．[解]　(1)kMN＝＝1，解得m＝．(2)l的傾斜角為90°，即l平行于y軸，所以m＋1＝2m，得m＝1．1．本例條件不變，試求直線l的傾斜角為銳角時實數(shù)m的取值范圍．[解]　由題意知解得1＜m＜2．2．若將本例中的“N(2m,1)”改為“N(3m,2m)”，其他條件不變，結果如何？[解]　(1)由題意知＝1，解得m＝2．(2)由題意知m＋1＝3m，得m＝．直線斜率的計算方法(1)判斷兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在．(2)若兩點的橫坐標不相等，則可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)進行計算． 求直線的方向向量或法向量【例4】　已知直線l通過點A(1,2)，B(4,5)，求直線l的一個方向向量和法向量，并確定直線l的斜率與傾斜角．[解]　＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直線l的一個方向向量．由法向量與方向向量垂直，∴法向量可以為(－1,1)．因此直線的斜率k＝1，直線的傾斜角θ滿足tan θ＝1，從而可知θ＝45°．求方向向量和法向量的方法(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線上的兩個不同的點，則直線l的方向向量為＝(x2－x1，y2－y1)，直線的法向量和方向向量垂直．(2)直線的方向向量和法向量不唯一．3．已知直線l經(jīng)過點M(3,3)和N(2,3＋)，求直線l的一個方向向量和法向量，并求直線l的斜率和傾斜角．[解]　＝(2－3,3＋－3)＝(－1，)，∴直線l的一個方向向量為(－1，)，由于法向量與方向向量垂直．∴法向量v＝(，1)，斜率k＝＝－，由tan θ＝－知θ＝120°．1．斜率公式k＝(x1≠x2)．2．直線的傾斜角定義及范圍：0°≤α＜180°．3．直線斜率的幾何意義：k＝tan α(α≠90°)．4．斜率k與傾斜角α之間的關系1．若經(jīng)過P(－2，m)和Q(m,4)的直線的斜率為1，則m等于(　　)A．1　　　B．4　　　C．1或3　　　D．1或4A　[由題意知kPQ＝＝1，解得m＝1．]2．斜率不存在的直線一定是(　　)A．過原點的直線B．垂直于x軸的直線C．垂直于y軸的直線D．垂直于坐標軸的直線B　[只有直線垂直于x軸時，其傾斜角為90°，斜率不存在．]3．若過兩點M(3，y)，N(0，)的直線的傾斜角為150°，則y的值為(　　)A．   B．0  C．－   D．3B　[由斜率公式知＝tan 150°，∴＝，∴y＝0．]4．已知直線l的傾斜角為α，且0°≤α＜135°，則直線l的斜率的取值范圍是        ．(－∞，－1)∪[0，＋∞)　[設直線的傾斜角為α，斜率為k，當0°≤α＜90°時，k＝tan α≥0，當α＝90°時無斜率，當90°＜α＜135°時，k＝tan α＜－1，故直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]5．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四點在同一條直線上，求直線的斜率k及a，b的值．[解]　由題意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直線的斜率k＝2，a＝4，b＝－3．