知識(shí)點(diǎn)01 直線與圓的位置關(guān)系
直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷
【即學(xué)即練1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交但直線過圓心
C．相交但直線不過圓心D．相離
【即學(xué)即練2】(多選)（22-23高二上·甘肅金昌·期末）下列直線中，與圓x2+y2=4相切的有（ ）
A．x+y=2B．3x+y-4=0C．x+y=22D．x-3y+8=0
知識(shí)點(diǎn)02圓的切線
1.過圓上一點(diǎn)的圓的切線
①過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.
②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2.過圓外一點(diǎn)的圓的切線
過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.
【即學(xué)即練3】（23-24高三上·湖北武漢·期末）若點(diǎn)A0,1在圓C:x-12+y2=r2r>0上，則過A的圓的切線方程為 .
【即學(xué)即練4】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）過圓x2+y2=1上點(diǎn)P-22,22的切線方程為 ．
知識(shí)點(diǎn)03 切線長(zhǎng)
1.從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq \f(2ar,d).
【即學(xué)即練5】（22-23高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）過點(diǎn)A2,3作圓M:x2+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖，直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長(zhǎng)的最小值= ．
知識(shí)點(diǎn)04 圓的弦長(zhǎng)
直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法：
(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq \f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即學(xué)即練7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知圓C:x-22+y2=4，直線l:y=-x+1被圓C截得的弦長(zhǎng)為 .
【即學(xué)即練8】（22-23高二上·河北保定·期末）直線l:x-y+1=0與圓C:x2+y2-2x-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則△AOB的面積為（ ）
A．3B．2C．22D．32
難點(diǎn)：最值問題
示例1：（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知曲線1-x=4-y2，則x2+y-42的最大值，最小值分別為（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【題型1：直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系】
例1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線mx-y+1=0m∈R與圓x2+y2=2的位置不可能為（ ）
A．B．
C．D．
變式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圓C:(x-2)2+y2=16，直線l:mx+y-3m-1=0，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．直線l恒過定點(diǎn)2,1B．直線l與圓C相切
C．直線l與圓C相交D．直線l與圓C相離
變式2．（24-25高二上·上?！卧獪y(cè)試）直線x-3y=0繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后所得的直線l與圓x-22+y2=3的位置關(guān)系是（ ）
A．直線l過圓心B．直線l與圓相交，但不過圓心
C．直線l與圓相切D．直線l與圓無公共點(diǎn)
變式3.（23-24高三下·浙江金華·階段練習(xí)）設(shè)直線l:x-2y-a2=0，圓C:x-12+y-22=1，則l與圓C（ ）
A．相交B．相切C．相離D．以上都有可能
變式4．（2007高二·全國(guó)·競(jìng)賽）直線y=33x繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，所得直線與圓x-22+y2=3的位置關(guān)系為（ ）
A．直線過圓心B．直線與圓相交，但不過圓心
C．直線與圓相切D．直線與圓沒有公共點(diǎn)
變式5.（10-11高二上·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）如果直線ax+by-1=0與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)Pa,b與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．P在圓外B．P在圓上
C．P在圓內(nèi)D．P與圓的位置不確定
變式6.(多選)（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:mx+ny-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點(diǎn)Pm,n，則下列命題中是假命題的是（ ）.
A．若點(diǎn)P在圓C外，則直線l與圓C相離B．若點(diǎn)P在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交
C．若點(diǎn)P在圓C上，則直線l與圓C相切D．若點(diǎn)P在直線l上，則直線l與圓C相切
變式7．（2024·四川瀘州·三模）動(dòng)直線l：mx+y-2m-1=0被圓C：x2+y2+2x-25=0截得弦長(zhǎng)的最小值為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
一.直線與圓相交的性質(zhì)，
如圖，直線l與圓C相交與A,B，半徑為r，弦AB的中點(diǎn)為D，則
點(diǎn)C到直線l的距離d=|CD，稱為弦心距；
CD⊥l;
||AD|2+d2=r2,|AB|=2r2-d2
二.直線與圓相切的性質(zhì)
如圖，直線l與圓C相切，切點(diǎn)為P，半徑為r.則
（1）CP⊥l；
（2）點(diǎn)C到直線l的距離d=|CP|=r；
（3）切點(diǎn)P在直線l上，也在圓上.
【題型2：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)】
例2．（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線l：xa+ya=1及圓C：x2+y2-6x-2y+2=0，則“a=8”是“直線l與圓C相切”的 （ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
變式1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）直線y=x+b與曲線x=1-y2恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）
A．-10相切，則圓M的半徑為（ ）
A．2B．4C．22D．8
4．（2024·遼寧丹東·二模）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C:x2+y2-4x-4y+4=0的兩條切線OA，OB，切點(diǎn)分別為A，B，則AB=（ ）
A．2B．2C．22D．4
5．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若圓C:(x-a)2+(y-4a)2=4被直線l:3x-y+2=0平分，則a=（ ）
A．12B．1C．32D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉興·期末）已知直線l:3x+y-1=0與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則∠AOB=（ ）
A．π2B．2π3C．3π4D．5π6
7．（23-24高二上·廣東深圳·期末）若直線l:mx+ny-1=0圓x2+y2+2x=0相切，則原點(diǎn)O到直線l距離的最大值為（ ）
A．3B．2C．22D．1
8．（23-24高二上·上?！て谀┮阎獔AC: x2+y2-2x-1=0，當(dāng)圓心C到直線l: y=kx+3的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)k的值是（ ）
A．-13B．13C．－3D．3
二、多選題
9．（24-25高二上·廣西·開學(xué)考試）對(duì)于直線l:m-2x+y-2m+1=0與圓C:x2+y2-6x-4y+4=0，下列說法不正確的是（ ）
A．l過定點(diǎn)(2,3)
B．C的半徑為9
C．l與C可能相切
D．l被C截得的弦長(zhǎng)最小值為27
10．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知直線x+y-4=0與圓O：x2+y2=r2有公共點(diǎn)，則半徑r可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）已知直線l:y=kx-k，圓C:x2+y2=4，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．直線l過定點(diǎn)1,0
B．直線l與圓C恒相交
C．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短為4
D．若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為14，則k=±1
三、填空題
12．（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知圓C與直線y=-x及x+y-4=0相切，圓心在直線y=x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期末）已知點(diǎn)Px,y在圓x2+y2-2x+4y+4=0上運(yùn)動(dòng)，則xy的最小值是
14．（23-24高二上·浙江寧波·期末）若直線l與單位圓和曲線x24-y23=1均相切，則直線l的方程可以是 .（寫出符合條件的一個(gè)方程即可）
四、解答題
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知關(guān)于x,y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程C表示圓；
(2)若圓C與直線l:x+2y-4=0相交于M,N兩點(diǎn)，且|MN|=45，求m的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圓C的圓心在直線2x-y=0上，且與x軸相切于點(diǎn)1,0.
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C直線l:x-y+m=0交于A，B兩點(diǎn)，____，求m的值.
從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：
條件①：圓C被直線l分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)比為2:1；
條件②：|AB|=22；
條件③：∠ACB=90°.
17．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知半徑為 83 的圓C的圓心在 y 軸的正半軸上，且直線12x-9y-1=0與圓C相切．
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若 Mx,y是圓C上任意一點(diǎn)，求（x+3）2+（y-13）2的取值范圍
(3)已知A0,-1，P為圓C上任意一點(diǎn)，試問在y 軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得PBPA為定值？若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
18．（24-25高二上·江蘇南通·開學(xué)考試）根據(jù)下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：
(1)已知以點(diǎn)A-1，2為圓心的圓與直線l1:x+2y+7＝0相切，過點(diǎn)B-2,0的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N，當(dāng)MN=219時(shí)，求直線l的方程；
(2)以C4,-3為圓心的圓與圓x2+y2=4相切，求圓C的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圓C：x2+y2-2y-4=0，直線l：mx-y+1-m=0.
(1)設(shè)l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若定點(diǎn)P1,1分弦AB為APPB=12，求此時(shí)直線l的方程.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解直線與圓的三種位置關(guān)系:
2.能根據(jù)方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;
3.掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。
1.重點(diǎn):①能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系、
②能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題。
2.難點(diǎn):數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活應(yīng)用直線和圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)與判定的應(yīng)用。
位置關(guān)系
相交
相切
相離
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
2個(gè)
1個(gè)
0個(gè)
判定方法
幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代數(shù)法：由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判別式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
圖形
幾何法
如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代數(shù)法
若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?xA＋xB?2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA－xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA－yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用

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2.3.3 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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