數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章　平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.1 直線的傾斜角與斜率優(yōu)秀課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

2.2　直線及其方程2.2.1　直線的傾斜角與斜率學(xué) 習(xí) 任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(重點(diǎn))2．理解直線斜率的幾何意義，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式．(重點(diǎn))3．掌握直線的傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系在解題中的應(yīng)用．(難點(diǎn))4．掌握直線的方向向量和法向量．(重點(diǎn))1．通過直線的傾斜角與斜率的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助傾斜角與斜率的關(guān)系，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．我們知道，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有(確定)一條直線，那么，經(jīng)過一點(diǎn)P的直線l的位置能確定嗎？如圖所示，過一點(diǎn)P可以作無數(shù)多條直線a，b，c，…我們可以看出這些直線都過點(diǎn)P，但它們的“傾斜程度”不同，怎樣描述這種“傾斜程度”的不同呢？知識(shí)點(diǎn)1　直線的傾斜角(1)傾斜角的定義一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的傾斜角．(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定該直線的傾斜角為0°．(3)傾斜角α的取值范圍為0°～180°．1．如圖所示，直線l的傾斜角為(　　)A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．以上都不對(duì)C　[根據(jù)傾斜角的定義知，直線l的傾斜角為30°＋90°＝120°．]知識(shí)點(diǎn)2　直線的傾斜角與斜率一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線l的傾斜角為θ，則：(1)當(dāng)y1＝y2時(shí)(此時(shí)必有x1≠x2)，θ＝0°．(2)當(dāng)x1＝x2時(shí)(此時(shí)必有y1≠y2)，θ＝90°．(3)當(dāng)x1≠x2且y1≠y2時(shí)，tan θ＝．1．當(dāng)x1≠x2且y1＝y2時(shí)，(3)式中的式子成立嗎？[提示]　成立．(4)一般地，如果直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠90°時(shí)，稱k＝tan_θ為直線l的斜率，當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱直線l的斜率不存在．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線l的斜率為k＝．當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線l的斜率不存在．2．運(yùn)用(5)中公式計(jì)算直線AB的斜率時(shí)，需要考慮A，B的順序嗎？[提示]　kAB＝＝kBA＝，所以直線AB的斜率與A，B兩點(diǎn)的順序無關(guān)．3．直線的斜率與傾斜角是一一對(duì)應(yīng)的嗎？[提示]　不是，當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，直線的斜率不存在．2．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)傾斜角是描述直線的傾斜程度的唯一方法． (　　)(2)任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng)． (　　)(3)一個(gè)傾斜角α不能確定一條直線． (　　)(4)斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√[提示]　(1)×　除了傾斜角，還可以用斜率描述直線的傾斜程度．(2)×　傾斜角不是90°的直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng)．(3)√　確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線位置的幾何要素：一個(gè)點(diǎn)P和一個(gè)傾斜角α．(4)√　斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換．知識(shí)點(diǎn)3　直線的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個(gè)方向向量，記作a∥l．(2)如果a為直線l的一個(gè)方向向量，那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ≠0，向量λa都是l的一個(gè)方向向量，而且直線l的任意兩個(gè)方向向量一定共線．(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則＝(x2－x1，y2－y1)是直線l的一個(gè)方向向量．4．設(shè)l是平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，且傾斜角為45°，你能寫出該直線的一個(gè)方向向量嗎？[提示]　(1，1)．(4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直線l的一個(gè)方向向量，則：①當(dāng)u＝0時(shí)，顯然直線的斜率不存在，傾斜角為90°．②當(dāng)u≠0時(shí)，直線l的斜率存在，且(1，k)與a＝(u，v)都是直線l的一個(gè)方向向量，由直線的任意兩個(gè)方向向量共線可知1×v＝k×u，從而k＝，傾斜角θ滿足tan θ＝．3．直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)和B(－5，－2)，則直線l的一個(gè)方向向量為________．(－7，－3)　[＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]知識(shí)點(diǎn)4　直線的法向量一般地，如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個(gè)法向量，記作v⊥l．5．如果a＝(－1，2)是直線l的一個(gè)方向向量，你能寫出l的一個(gè)法向量嗎？[提示]　(2，1)．4．若直線的法向量a＝(－4，2)，則直線的方向向量不可能是(　　)A．(－2，4)　　　　 B．(1，2)C．(3，6) D．(－1，－2)A　[因?yàn)椋?/span>4×(－2)＋2×4＝16≠0，所以(－2，4)不可能是直線的方向向量；易知B，C，D都可以是直線的方向向量．] 類型1　直線的傾斜角【例1】　設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，傾斜角為α－135°D　[根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因?yàn)?/span>0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°．故選D．]求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°．②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知直線l1的傾斜角為α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向之間所成的角為120°，如圖所示，求直線l2的傾斜角．[解]　∵l1與l2向上的方向之間所成的角為120°，l2與x軸交于點(diǎn)B，∴傾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．類型2　直線的斜率【例2】　(對(duì)接教材人教B版P73例1)如圖所示，直線l1，l2，l3都經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，又l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn)Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)．(1)試計(jì)算直線l1，l2，l3的斜率；(2)若還存點(diǎn)Q4(a，3)，試求直線PQ4的斜率．[解]　(1)由已知得，直線l1，l2，l3的斜率都存在．設(shè)它們的斜率分別為k1，k2，k3．則由斜率公式得：k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0．(2)當(dāng)a＝3時(shí)，直線PQ4與x軸垂直，此時(shí)其斜率不存在．當(dāng)a≠3時(shí)，其斜率k＝＝．1．求斜率時(shí)要注意斜率公式的適用范圍，若給出直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，首先要觀察橫坐標(biāo)是否相同，若相同，則斜率不存在；若不相同，則可使用斜率公式．若給出兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩個(gè)橫坐標(biāo)是否相等”．2．由例題中圖可以看出：(1)當(dāng)直線的斜率為正時(shí)(l1)，直線從左下方向右上方傾斜；(2)當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)(l2)，直線從左上方向右下方傾斜；(3)當(dāng)直線的斜率為0時(shí)(l3)，直線與x軸平行或重合．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD斜率k的變化范圍．[解]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝．kAC＝＝．傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．又∵tan 0°＝0，∴AB的傾斜角為0°．tan 60°＝，∴BC的傾斜角為60°．tan 30°＝，∴AC的傾斜角為30°．(2)如圖，當(dāng)斜率k變化時(shí)，直線CD繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由CA逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，此時(shí)k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為．類型3　斜率公式的應(yīng)用【例3】　已知直線l過點(diǎn)M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時(shí)，直線l的傾斜角為90°？1．斜率公式k＝中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？[提示]　斜率公式中分子與分母的順序不可互換，但y1與y2和x1與x2可以同時(shí)互換順序，即斜率公式也可寫為k＝．2．任意一條直線都有傾斜角嗎？[提示]　是的．3．任意一條直線都有斜率嗎？[提示]　不是．與x軸垂直的直線不存在斜率，即傾斜角為90°的直線不存在斜率．[解]　(1)kMN＝＝1，解得m＝．(2)l的傾斜角為90°，即l平行于y軸，所以m＋1＝2m，得m＝1．1．本例條件不變，試求直線l的傾斜角為銳角時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]　由題意知解得1＜m＜2．2．若將本例中的“N(2m，1)”改為“N(3m，2m)”，其他條件不變，結(jié)果如何？[解]　(1)由題意知＝1，解得m＝2．(2)由題意知m＋1＝3m，得m＝．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k0k＞0不存在k＜0[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知三點(diǎn)A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為________．2或　[∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或a＝．] 類型4　求直線的方向向量或法向量【例4】　已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，B(4，5)，求直線l的一個(gè)方向向量和法向量，并確定直線l的斜率與傾斜角．[解]　＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直線l的一個(gè)方向向量．由法向量與方向向量垂直，∴法向量可以為(－1，1)．因此直線的斜率k＝1，直線的傾斜角θ滿足tan θ＝1，從而可知θ＝45°．求一條直線的方向向量和法向量的方法(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則直線l的方向向量為＝(x2－x1，y2－y1)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，方向向量可取為(1，k)，此時(shí)，可用斜率表示方向向量，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方向向量可取為(0，1)．(2)若直線l的方向向量為(1，k)，則(k，－1)或(－k，1)為直線l的兩個(gè)法向量，直線的任意兩個(gè)法向量可以同向，也可以反向．(3)直線的方向向量和法向量不唯一．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知直線l的斜率為10，則直線l的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為(　　)A．(10，－1)　　　 B．(－5，2)C．(－10，－2) D．(5，2)A　[由題意知，直線l的一個(gè)方向向量為(1，10)，所以直線l的法向量可以是(－10，1)或(10，－1)．故選A．]1．若已知直線l的一個(gè)方向向量為a＝(2，3)，則直線l的斜率為(　　)A．　　　　B．　　　　C．3　　　　D．－A　[由直線l的方向向量a＝(2，3)知l的斜率k＝．]2．斜率不存在的直線一定是(　　)A．過原點(diǎn)的直線 B．垂直于x軸的直線C．垂直于y軸的直線 D．垂直于坐標(biāo)軸的直線B　[只有直線垂直于x軸時(shí)，其傾斜角為90°，斜率不存在．]3．若過兩點(diǎn)M(3，y)，N(0，)的直線的傾斜角為150°，則y的值為(　　)A．　　B．0　　C．－　　D．3B　[由斜率公式知＝tan 150°，∴＝－，∴y＝0．]4．已知直線l的傾斜角為α，且0°≤α＜135°，則直線l的斜率的取值范圍是________．(－∞，－1)∪[0，＋∞)　[設(shè)直線的傾斜角為α，斜率為k，當(dāng)0°≤α＜90°時(shí)，k＝tan α≥0，當(dāng)α＝90°時(shí)無斜率，當(dāng)90°＜α＜135°時(shí)，k＝tan α＜－1，故直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]5．已知直線l的斜率k≥－1，則其傾斜角α的取值范圍為________．[0°，90°)∪[135°，180°)　[當(dāng)－1≤k＜0時(shí)，－1≤tan α＜0，又0°≤α＜180°，∴135°≤α＜180°；當(dāng)k≥0時(shí)，tan α≥0，又0°≤α＜180°，∴0°≤α＜90°．綜上可知，直線l的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α＜90°或135°≤α＜180°}．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：1．直線的斜率與傾斜角有何區(qū)別與聯(lián)系？[提示]　(1)直線的斜率和傾斜角都是刻畫直線傾斜程度的量，斜率側(cè)重于代數(shù)角度，傾斜角側(cè)重于幾何角度．(2)每條直線都有唯一的傾斜角，但不是所有直線都有斜率，傾斜角為直角的直線不存在斜率．(3)不同的傾斜角對(duì)應(yīng)不同的斜率，當(dāng)傾斜角不是直角時(shí)，傾斜角的正切值就是斜率，此時(shí)斜率和傾斜角可以相互轉(zhuǎn)化．2．如何用斜率公式解決三點(diǎn)共線問題？[提示]　

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