知識(shí)點(diǎn)01 兩點(diǎn)間的距離
1.兩點(diǎn)間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=(x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2
2用向量表示 兩點(diǎn)間距離BA=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),|AB|=(x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2
【即學(xué)即練1】（2024高二下·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)A(1,2,-3),B(-1,0,1)，則AB=（ ）
A．32B．26C．23D．4
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，已知線段AB,BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB,AC⊥α，且AB=4,BD=3,AC=5，則CD= .

知識(shí)點(diǎn)02 點(diǎn)到直線的距離
定義：若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d==|PQ|=|AP|2-|AQ|2=|AP|2-|AP?e|e||2
設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP|sin
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量AB=0,1,0，AC=-1,1-1，則B點(diǎn)到直線AC的距離為（ ）
A．63B．33C．2D．3
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量OA=(0,1,1),OB=(-2,1,2)，則點(diǎn)A到直線OB的距離為 ．
知識(shí)點(diǎn)03 點(diǎn)到平面的距離
定義：若P是平面α外一點(diǎn)，PQ⊥α，垂足為Q，A 為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP?n||n|
【即學(xué)即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面α的一個(gè)法向量n=-2,-2,1，點(diǎn)A-1,3,0在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P-2,1,4到平面α的距離為（ ）
A．10B．3C．103D．83
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,0,0，且α的法向量n=1,1,1，則P2,2,0到平面α的距離為 .
知識(shí)點(diǎn)04 線面間的距離
1.定義：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，
2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為d＝eq \f(|\(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．
【即學(xué)即練7】（23-24高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，則直線BD到平面EFD1B1的距離為（ ）
A．36B．12C．24D．13
【即學(xué)即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．
(1)求直線EC與AC1所成角的余弦值；
(2)求直線FC到平面AEC1的距離．
知識(shí)點(diǎn)05 面面間的距離
1.定義：當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．
2.公垂線段：一般地，與兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，稱為這兩個(gè)平面的 公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個(gè)平面的公垂線段．顯然，兩個(gè)平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長(zhǎng).
3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為d＝eq \f(|\(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．
【即學(xué)即練9】（22-23高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)均為1．
(1)求B'到平面A'C'B的距離；
(2)求平面A'C'B與平面D'AC之間的距離．
【即學(xué)即練10】（2022高二·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，求：
(1)求直線B1C到平面A1BD的距離；
(2)求平面A1BD與平面B1CD1間的距離.
難點(diǎn)：建系有難度問(wèn)題
示例1：（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1ACC1為矩形，∠A1AB=2π3，三棱錐C1-ABC的體積為233．
(1)求側(cè)棱AA1的長(zhǎng)；
(2)側(cè)棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為55？若存在，求出線段C1E的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

難點(diǎn)：幾何的應(yīng)用
示例2：（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面ABCD⊥平面ABS，四邊形ABCD為矩形，△ABS為正三角形，SA=2BC，O為AB的中點(diǎn).

(1)證明：平面SOC⊥平面BDS；
(2)已知四棱錐S-AOCD的體積為62，求點(diǎn)D到平面SOC的距離.
【題型1：兩點(diǎn)間的距離】
例1．（22-23高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為23的正三角形，AA1=7，頂點(diǎn)A1在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線AC1,A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（ ）
A．72B．2C．6D．62
變式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2.動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A．13B．23
C．1D．43
變式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為π3，在直線a，b上分別取點(diǎn)A'，E和A，F(xiàn)，使A'A⊥a，且A'A⊥b已知A'E=3,AF=4,EF=7，則線段AA'的長(zhǎng)為 ．
變式3. （22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2,P,Q分別是異面直線AD1和BD上的任意一點(diǎn)，則P,Q間距離的最小值為 .
變式4. （21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知在邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M,N分別為線段A1D和BD1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D1ND1B= 時(shí)，線段MN取得最小值 .
變式5. （20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知A0,0,2，B1,1,0，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為 ．
變式6. （2021高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC,BF上移動(dòng)，若CM=BN，則MN長(zhǎng)度的最小值為 ．
變式7. （20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是 ．
變式8. （18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段B1D上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法
1.利用|a|2＝a·a，通過(guò)向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(\(|\(AB,\s\up7(→))|2))＝eq \r(\(\(AB,\s\up7(→))·\(AB,\s\up7(→))))求解．
2.用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．
【題型2：向量法求點(diǎn)線距】
例2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)A3,3,3，B0,6,0兩點(diǎn)，則點(diǎn)P0,0,6到直線l的距離是（ ）
A．62B．23C．26D．32
變式1．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，F(xiàn)是棱A1D1的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線BF的距離的最小值為（ ）
A．53B．253C．255D．455
變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線AG的距離為（ ）
A．67B．53C．21717D．22117
變式3．（2024·廣西來(lái)賓·一模）棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF?=2FB1?，則點(diǎn)E到直線FC1的距離為（ ）
A．3355B．2355
C．375D．275
變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD,ABEF都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分別是線段AE,BD的中點(diǎn)，則（ ）
A．PQ∥DF
B．異面直線AQ,PF所成角為π6
C．點(diǎn)P到直線DF的距離為62
D．△DFQ的面積是32
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段AD1上的點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CC1上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)E，使得A1E⊥平面AB1D1
B．當(dāng)點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B1到平面AED1的距離為2
C．點(diǎn)E到直線BD1的距離的最小值為22
D．當(dāng)點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，存在點(diǎn)P，使得平面PBD與平面EBD所成角為π4
變式6．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點(diǎn)C到直線AB的距離為 .
變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，點(diǎn)E在線段CC1上，且CC1=4CE，點(diǎn)F為BD中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)D1到直線EF的距離；
(2)求證：A1C⊥面BDE.
變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E是PB上一點(diǎn)，且BE=2EP，求點(diǎn)E到直線PD的距離.
【方法技巧與總結(jié)】
用向量法求點(diǎn)線距的一般步驟
建立空間直角坐標(biāo)系；
（2）求直線的方向向量；
（3）計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長(zhǎng)；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.
【題型3：用向量法求點(diǎn)面距】
例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線D1C和BC1所成的角為π4
B．四面體BDC1A1的體積是83
C．點(diǎn)A1到平面BDC1的距離為433
D．平面BDA1與平面BDC1所成二面角的正弦值為223
變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，G是線段B1C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為1010,66
B．點(diǎn)G到平面AEF的距離為255
C．四面體AEFG的體積為253
D．若線段AA1的中點(diǎn)為H，則GH一定平行于平面AEF
變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD和正方形CDD1C1的中心，則點(diǎn)A到平面A1EF的距離為 .
變式3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，H為棱AA1（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)H到平面B1CD1距離的取值范圍是 ．
變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，AB=BC=PC=PB=2，∠ABC=90°，E為AC的中點(diǎn)，PB⊥AC．

(1)求證：平面PBE⊥平面ABC；
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．
變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，若M、N分別為棱PD、PC的中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)．
(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求點(diǎn)N到平面ACM的距離．
變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE且DE=2AF=4.
(1)求證：BF//平面DEC；
(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.
變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PB=5，PC=6，PD=2.
(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)求二面角B-PC-D的余弦值；
(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.
【方法技巧與總結(jié)】
用向量法求點(diǎn)面距的步驟
建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；
求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出（求出）相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)（AP，α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，平面α的法向量n）；
（4）求距離d=|AP?n||n|
【題型4：用向量法求線面距】
例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分別是A1B1,AD,CC1的中點(diǎn)，則直線AC與平面EMN之間的距離為（ ）
A．1B．33C．32D．3
變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CDD1C1上的動(dòng)點(diǎn)，且MP//截面AB1C，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．直線MP到截面AB1C的距離是定值
B．點(diǎn)M到截面AB1C的距離是33
C．MP的最大值是22
D．MP的最小值是2
變式2．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N分別為△ABC和△ABD的重心，則直線MN到平面ACD的距離為 ．
變式3．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在B1C1上，點(diǎn)Q在平面ABB1A1內(nèi)，設(shè)直線AA1與直線PQ所成角為θ.若直線PQ到平面ACD1的距離為32，則sinθ的最小值為 .
變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點(diǎn)H.
(1)證明：BD//GH；
(2)求直線BD與平面EFG的距離.
變式5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=26，PA=BC=2AD=2CD=4,E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在梭PB上（不包括端點(diǎn)）.
(1)證明：平面AEF⊥平面PAD；
(2)若點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)，求直線EF到平面PCD的距離.
變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=a(0cB．c>b>aC．c>a>bD．b>c>a
8．（23-24高二下·江西·開(kāi)學(xué)考試）在正三棱錐P-ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則nm=（ ）
A．3B．233C．3D．33
二、多選題
9．(多選)（22-23高二上·遼寧·期中）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，O為四邊形DCC1D1對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)O到側(cè)棱的距離相等B．正四棱柱外接球的體積為6π
C．若D1E=14D1D，則A1E⊥平面AOD1D．點(diǎn)B到平面AOD1的距離為23
10．（23-24高二下·甘肅·期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF//平面ABCD
B．D1E⊥CF
C．a(chǎn)=(1,0,2)是平面EFD1的一個(gè)法向量
D．點(diǎn)C到平面EFD1的距離為455
11．（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱ABF-DCE組合而成，AB⊥AF，AB=AD=AF=4，G是CD上的動(dòng)點(diǎn)．則（ ）
A．平面ADG⊥平面BCG
B．G為CD的中點(diǎn)時(shí)，BF//DG
C．存在點(diǎn)G，使得直線EF與AG的距離為25
D．存在點(diǎn)G，使得直線CF與平面BCG所成的角為60°
三、填空題
12．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面AB1E的距離為 .
13．（23-24高二上·天津·期末）已知空間中三點(diǎn)A0,3,-2，B1,2,-3，C2,0,-4，則點(diǎn)A到直線BC的距離為 .
14．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）在正三棱錐P-ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則nm= ．
四、解答題
15．（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1．
(1)取線段PA中點(diǎn)M連接BM，判斷直線BM與平面PCD是否平行并說(shuō)明理由；
(2)求B到平面PCD的距離；
(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為105？若存在，求出PEPD的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=2，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1．求：
(1)平面PCD與平面PBA所成的二面角的正弦值；
(2)點(diǎn)A到平面PCD的距離．
17．（23-24高一下·廣西·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，E,F分別是BC,A1C1的中點(diǎn)，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA1=2AB．
(1)證明：BC⊥A1E；
(2)求點(diǎn)C到平面AEF的距離．
18．（23-24高二下·江蘇連云港·期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC ∥ AD,PA⊥AB，平面PAC⊥平面ABCD,AD=2,PA=AB=BC=1.
(1)證明：PA⊥AD；
(2)若點(diǎn)T是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PT上的點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ABM的距離是31313.求：
①直線CD與平面ABM所成角的正弦值；
②三棱錐P-ABM外接球的表面積.
19．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖1所示△PAB中，AP⊥AB,AB=AP=12．D,C分別為PA,PB中點(diǎn)．將△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至圖2所示的位置，使得PA=62．連接PA,PB,PC得到四棱錐P-ABCD，記PB的中點(diǎn)為N，連接CN，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CN上．

(1)證明：CN⊥平面PAB；
(2)若QC=2QN，連接AQ,PQ，求平面PAQ與平面ABCD的夾角的余弦值；
(3)求動(dòng)點(diǎn)Q到線段AP的距離的取值范圍．
20．（23-24高二上·全國(guó)·期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角．
(1)若H為AB的中點(diǎn)，M在線段AH上，且直線DE與平面EMC所成的角為60°，求此時(shí)平面MEC與平面ECF的夾角的余弦值．
(2)在（1）的條件下，設(shè)EG=λEA(λ∈(0,1))，DN=NC，CP=PF，且四面體GNHP的體積為32，求λ的值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解圖形與圖形之間的距離的概念.，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
2．理解并掌握兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離的概念及它們之間的相互轉(zhuǎn)化,會(huì)用法向量求距離:提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)、
1.能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的計(jì)算
2.能用向量方法求點(diǎn)到面的距離

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2.5 空間中的距離

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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