專(zhuān)題4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc16109" 【題型1 三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc16109 \h 3
\l "_Tc13318" 【題型2 三角函數(shù)的定義域、值域與最值】 PAGEREF _Tc13318 \h 5
\l "_Tc19279" 【題型3 三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc19279 \h 7
\l "_Tc8418" 【題型4 三角函數(shù)的周期性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc8418 \h 9
\l "_Tc4175" 【題型5 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 11
\l "_Tc27205" 【題型6 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 PAGEREF _Tc27205 \h 13
\l "_Tc14750" 【題型7 三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性與奇偶性的靈活運(yùn)用】 PAGEREF _Tc14750 \h 16
\l "_Tc29205" 【題型8 三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc29205 \h 19
\l "_Tc23192" 【題型9 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc23192 \h 21
1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【知識(shí)點(diǎn)1 三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】
1．三角函數(shù)的定義域的求解思路
求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類(lèi)型：
(1)形如y=asinx+bcsx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcsx+b(sinx±csx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±csx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
【知識(shí)點(diǎn)2 三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性的求解思路】
1．三角函數(shù)周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.
2．三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心的求解策略
(1)對(duì)于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acs(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)對(duì)于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法
三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).
若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【知識(shí)點(diǎn)3 三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】
1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法
求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).
2．已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路
對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問(wèn)題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.
【方法技巧與總結(jié)】
1．對(duì)稱(chēng)性與周期性
(1)正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是個(gè)周期.
(2)正切曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是個(gè)周期.
2．與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
(1)若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acs(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).
【題型1 三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】
【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=csx?ln2x+2?x在區(qū)間?3π,3π上的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)f0>0判斷即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)閒x的定義域?yàn)镽，且
f?x=cs?x?ln2?x+2x=csx?ln2?x+2x=fx，
所以fx為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故排除A，C．
因?yàn)閒0=ln2>0，故排除B．
故選：D．
【變式1-1】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=csx與y=lgx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）
A．2B．3C．4D．6
【解題思路】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答過(guò)程】函數(shù)y=csx與y=lgx都是偶函數(shù)，其中cs2π=cs4π=1，lg4π>lg10=1>lg2π，
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=csx與y=lgx的圖象，如下圖，
由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
故選：D.
【變式1-2】（2024·山東·一模）函數(shù)fx=ex?1sinxex+1，則y=fx的部分圖象大致形狀是（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及x∈0,π2時(shí)函數(shù)值的正負(fù)，通過(guò)排除法得答案.
【解答過(guò)程】函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，
f?x=e?x?1sin?xe?x+1=ex?1sinxex+1=fx，
即函數(shù)y=fx為偶函數(shù)，排除BD；
當(dāng)x∈0,π2時(shí)，fx=ex?1sinxex+1>0，排除C.
故選：A.
【變式1-3】（2023·河南鄭州·一模）已知函數(shù)fx=ex+e?x，gx=sinx，下圖可能是下列哪個(gè)函數(shù)的圖像（）
A．fx+gx?2B．fx?gx+2
C．fx?gxD．gxfx
【解題思路】利用奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷.
【解答過(guò)程】對(duì)于fx=ex+e?x，但定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足f?x=e?x+ex=fx，為偶函數(shù).
同理可得：gx=sinx為奇函數(shù).
記?x=fx+gx?2，則??x=f?x+g?x?2=fx?gx?2
所以??x≠?x且??x≠??x，所以fx+gx?2為非奇非偶函數(shù)；
同理可證：fx?gx+2為非奇非偶函數(shù)；fx?gx和gxfx為奇函數(shù).
由圖可知，圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且0e+1e×22>e×22>e2>1，故錯(cuò)誤；
對(duì)D， y=gxfx=sinxex+e?x，為奇函數(shù).
當(dāng)x=1時(shí)， sin1e+1e0)在0,π2上的值域?yàn)?1,2，則ω的取值范圍為（）
A．43,2B．43,83C．23,43D．23,83
【解題思路】根據(jù)題意可得ωx?π6∈?π6,π2ω?π6，再利用值域可限定π2≤π2ω?π6≤π+π6，解得ω的取值范圍為43,83.
【解答過(guò)程】由x∈0,π2及ω>0可得ωx?π6∈?π6,π2ω?π6，
根據(jù)其值域?yàn)?1,2，且2sin?π6=?1，
由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得π2≤π2ω?π6≤π+π6，
即可得23≤ω2≤86，解得43≤ω≤83.
故選：B.
【變式2-2】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)f(x)=2cs2ωx+sin2ωx?1(ω>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)π4,0對(duì)稱(chēng)，且f(x)在0,π3上沒(méi)有最小值，則ω的值為（）
A．12B．32C．52D．72
【解題思路】先化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得ω=2k?12,k∈Z，再結(jié)合最小值點(diǎn)即可求解.
【解答過(guò)程】f(x)=2cs2ωx+sin2ωx?1=cs2ωx+sin2ωx=2sin2ωx+π4，
因?yàn)閒x的圖象關(guān)于點(diǎn)π4,0對(duì)稱(chēng)，
所以fπ4=2sinωπ2+π4=0，
故ωπ2+π4=kπ,k∈Z，即ω=2k?12,k∈Z，
當(dāng)2ωx+π4=?π2+2kπ，即x=?3π8ω+kπω,k∈Z時(shí)，函數(shù)fx取得最小值，
因?yàn)閒x在0,π3上沒(méi)有最小值，
所以5π8ω≥π3，即ω≤158，
由ω=2k?12≤158解得k≤1918，故k=1，得ω=32.
故選：B.
【變式2-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ

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