【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】10
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義域和值域10
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性15
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的單調(diào)性22
【分層檢測(cè)】27
【基礎(chǔ)篇】27
【能力篇】34
【培優(yōu)篇】38
考試要求：
1.能畫出三角函數(shù)的圖象.
2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).
知識(shí)梳理
1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個(gè)周期.正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.
2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acs ωx＋b的形式.
3.對(duì)于y＝tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（ ）
A．1B．C．D．3
二、多選題
6．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對(duì)稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
8．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則 ．

9．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為 ．
10．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為 ．
參考答案：
1．C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點(diǎn)，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故選：C.
2．D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
3．C
【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以?br>要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．
故選：C．
4．A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
5．A
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，
又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故選：A
6．AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時(shí)，，故．
對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；
對(duì)D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
7．
【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>令，則有3個(gè)根，
令，則有3個(gè)根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
8．
【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．
【詳解】設(shè)，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因?yàn)?，所以，即，?br>所以，
所以或，
又因?yàn)?，所以，?br>故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
9．
【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；
【詳解】解： 因?yàn)?，（，?br>所以最小正周期，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
又為的零點(diǎn)，所以，解得，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；
故答案為：
10．2
【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.
【詳解】由圖可知，即，所以；
由五點(diǎn)法可得，即；
所以.
因?yàn)?，?br>所以由可得或；
因?yàn)?，所以?br>方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數(shù)為2.
方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義域和值域
一、單選題
1．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·北京朝陽·期末）函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)，且最小值為B．奇函數(shù)，且最大值為
C．偶函數(shù)，且最小值為D．偶函數(shù)，且最大值為
二、多選題
3．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為B．關(guān)于直線對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．的最小值為
4．（2024·貴州貴陽·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．在上的值域?yàn)?br>C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
三、填空題
5．（2024·遼寧·二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在線段上，且，則的最小值為 ．
6．（2021·河南鄭州·二模）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
參考答案：
1．A
【分析】首先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可得到單調(diào)增區(qū)間.
【詳解】令，可得．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
故在上單調(diào)遞增．
故選：A.
2．D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，判定A、B不正確；再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)的最大值和最小值，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得其定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以為的一個(gè)周期，
不妨設(shè)，
若時(shí)，可得，
因?yàn)?，可得?br>當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；
若，可得，
因?yàn)?，可得?br>當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，
綜上可得，函數(shù)的最大值為，最小值為.
故選：D.
3．ABD
【分析】將函數(shù)可變形為，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析計(jì)算即可得.
【詳解】，
由的最小正周期為，故的最小正周期為，故A正確；
，
且，
故關(guān)于直線，不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確，C錯(cuò)誤；
由，且，
故，故D正確.
故選：ABD.
4．CD
【分析】根據(jù)正切型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其最小正周期，從而得的值，再根據(jù)函數(shù)特殊點(diǎn)求得的值，從而可得解析式，再由正切型三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則有，即，
由函數(shù)的圖象可知：，即，
由圖象可知：，所以，因此不正確；
關(guān)于， 當(dāng)時(shí)，，故在處無定義，
故B錯(cuò)誤.
因?yàn)椋?br>所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，則有，故D正確.
故選：CD．
5．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，即可由數(shù)量積的定義求解，結(jié)合和差角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.
【詳解】設(shè)，則，
故，
故
，
當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，
此時(shí)取最小值.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，從而得解，
6．
【分析】由正弦定理可得，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得且、，可知存在最大值即，進(jìn)而可求的范圍.
【詳解】∵，，由正弦定理得：，
∴，其中，又，
∴存在最大值，即有解，即，
∴，解得，又，解得，故的范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系、輔助角公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和、三角函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.
反思提升：
1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京西城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象再關(guān)于軸對(duì)稱，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A．的對(duì)稱軸為
B．的最小正周期為
C．的最大值為1，最小值為
D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
5．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)滿足0，且在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．可以等于
C．可以等于5D．可以等于3
6．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的一個(gè)周期為2B．的定義域是
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，則的取值范圍是 ．
8．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) .
9．（2023·四川達(dá)州·一模）函數(shù)，且，則的值為 .
參考答案：
1．B
【分析】由三角函數(shù)的平移變化結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解方程即可得出答案.
【詳解】因?yàn)橄蛴移揭苽€(gè)單位后解析式為，
又圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
時(shí)，，
故選：B.
2．B
【分析】根據(jù)給定周期求得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.
【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，得，而，解得，
則，由，
得，又在上單調(diào)遞減，
因此，且，解得①，
由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得，即，
而在上存在零點(diǎn)，則，
于是②，又，聯(lián)立①②解得，
所以的取值范圍是.
故選：B
3．D
【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換即可得變換后的函數(shù)的解析式.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為，
則函數(shù)的圖象再關(guān)于軸對(duì)稱得函數(shù).
故選：D.
4．AD
【分析】作出函數(shù)的圖象，對(duì)于A，驗(yàn)算是否成立即可；對(duì)于B，由即可判斷；對(duì)于CD，借助函數(shù)單調(diào)性，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值驗(yàn)算即可判斷CD.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線所示．
對(duì)于，由圖可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
對(duì)任意的，
，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，A正確；
對(duì)于，對(duì)任意的，
結(jié)合圖象可知，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由選項(xiàng)可知，函數(shù)的對(duì)稱軸為，且該函數(shù)的最小正周期為，
要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，因此的最大值為，最小值為-1，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，正確，
故選：AD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是求出函數(shù)在上的最大值和最小值即可，由此即可順利得解.
5．ABD
【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由三角函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì)可得，從而判斷選項(xiàng)A、B；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出的值，從而判定選項(xiàng)C、D.
【詳解】由，則，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
又，且，
則，
即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，得，
根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，
可得，，
由于，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，由，得，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得，即，
又，所以，又，所以，
當(dāng)時(shí)，由，得，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
可得，即，
又，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，得，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，從而.
6．ACD
【分析】
利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，由可知其最小正周期，故A正確；
對(duì)于B，由可知，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由可知，
此時(shí)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，由可知，
又在上遞增，顯然，故D正確.
故選：ACD
7．
【分析】運(yùn)用正余弦二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，由已知條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)榈膱D象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，所以，
解得，所以的取值范圍是．
故答案為：.
8．
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可列關(guān)系式求解.
【詳解】定義域?yàn)椋?br>，
所以，
故，
故答案為：
9．0
【分析】
構(gòu)造，得到為奇函數(shù)，從而根據(jù)得到，由求出.
【詳解】令，
定義域?yàn)榛蚯遥P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則，
故為奇函數(shù)，
又，故，
解得.
故答案為：0
反思提升：
(1)三角函數(shù)周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函數(shù)時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.
(2)對(duì)于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱軸，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.
(3)對(duì)于可化為f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的單調(diào)性
一、單選題
1．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·湖北武漢·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．
B．的圖象過點(diǎn)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
三、填空題
5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，（，，）的大致圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3倍后，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為 .
6．（2022·上海閔行·模擬預(yù)測(cè)）已知，若，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
又有為上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.
由于我們有，
即，故.
而，，，故.
故選：C.
2．A
【分析】令，易得的對(duì)稱軸為，則，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】令，
由題意可得，則，
又因?yàn)?，所以?br>函數(shù)的對(duì)稱軸為，
則，
即，
即，結(jié)合，解得.
故選：A.
3．ABD
【分析】對(duì)AB，求導(dǎo)分析可得為增函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可判斷；
對(duì)C，根據(jù)AB得出的結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷；
對(duì)D，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，放縮判斷的正負(fù)判斷即可
【詳解】對(duì)AB，由題，故為增函數(shù).又，，故，故AB正確；
對(duì)C，因?yàn)?，所以，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，構(gòu)造函數(shù)，則，故為增函數(shù).故，因?yàn)?，故，故，即，故，故，D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問題，一般需要用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，同時(shí)在判斷區(qū)間端點(diǎn)正負(fù)時(shí)，需要適當(dāng)放縮，根據(jù)能夠確定取值大小的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷，屬于難題
4．BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象所經(jīng)過的點(diǎn)，結(jié)合正切型函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，
即，由函數(shù)的圖象可知：，又，所以，
即，由圖象可知：，所以，因此A不正確；
對(duì)于B：，所以B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br>，所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此C正確；
對(duì)于D：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，
，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，則有，D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用函數(shù)對(duì)稱性、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5．（答案不唯一）
【分析】先根據(jù)的部分圖象得到函數(shù)的周期、振幅、初相，進(jìn)而求出的解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換和平移變換得到的解析式，后可求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由圖可知， 得，所以，
，，
所以，
由圖，得，，
又，所以，
故，
由題意，
令，，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：（答案不唯一）
6．
【分析】根據(jù)角的范圍分區(qū)間討論，去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的三角不等式，求解即可.
【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，
當(dāng)時(shí)，由原不等式可得，解得，
綜上.
故答案為：
反思提升：
1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個(gè)整體代入y＝sin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).
2.對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則整數(shù)A的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽·三模）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（22-23高一下·湖北武漢·期中）若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，如圖，圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則（ ）
A．
B．
C．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
6．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·廣東肇慶·期末）關(guān)于函數(shù)，下列說法中正確的有（ ）
A．是奇函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．最小正周期為
三、填空題
8．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若，則的最小值是 ．
9．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
10．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值可能為 .
四、解答題
11．（2022·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)，是函數(shù)的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．
(1)從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；
條件②：是的對(duì)稱中心；
條件③：是的對(duì)稱中心.
(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．
12．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）若對(duì)任意的，方程（其中）始終有兩個(gè)不同的根，．
①求實(shí)數(shù)的值；
②求的值．
參考答案：
1．C
【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與在上的交點(diǎn)問題，求出的值域即可.
【詳解】由于函數(shù)在上有零點(diǎn)，
所以方程在上有實(shí)數(shù)根，
即與在上有交點(diǎn)，
令，則，當(dāng)，單調(diào)遞減，
故在區(qū)間上最多只有1個(gè)零點(diǎn)，
又，即，
解得，由于A是整數(shù)，所以.
故選：C.
2．B
【分析】由題意可知：為函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合余弦函數(shù)對(duì)稱性分析求解.
【詳解】由題意可知：為函數(shù)的對(duì)稱軸，
則，則，
對(duì)于選項(xiàng)A：令，解得，不合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，解得，符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)C：令，解得，不合題意；
對(duì)于選項(xiàng)D：令，解得，不合題意；
故選：B.
3．A
【分析】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性可得，再根據(jù)充分、必要條件結(jié)合包含關(guān)系分析求解.
【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
則，解得，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”的充分不必要條件.
故選：A.
4．D
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，再求出，結(jié)合對(duì)稱軸條數(shù)得到不等式，求出答案.
【詳解】，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)閰^(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，故，
解得.
故選：D
5．AD
【分析】由得周期，進(jìn)而得；將點(diǎn)代入可得的值；由來可判斷不是對(duì)稱軸；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由及過，得，即，
所以，又，解得，故A正確；
又點(diǎn)代入，得，
所以，又，于是，故B不正確；
由，則，故C不正確；
由，得
于是的單調(diào)遞增區(qū)間為，令可知D正確.
故選：AD.
6．AC
【分析】利用奇偶性的定義容易判斷四個(gè)選項(xiàng)均是偶函數(shù)，對(duì)于A和C選項(xiàng)，舉例可知，，使，對(duì)于B和D選項(xiàng)，易知恒成立．
【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，又，故A正確；
對(duì)于B，恒成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，又，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以恒成立，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
7．BCD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】A中，由正切函數(shù)的性質(zhì)，可得為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；
B中，令，可得，
即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，可得，所以B正確；
C中，令，可得，
令，可得，故為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以C正確；
D中，函數(shù)的最小正周期為，所以D正確.
故選：BCD.
8．
【分析】根據(jù)題意得，又，即，所以，再分析求解即可.
【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，
又，所以，所以．
又，故可解得，當(dāng)時(shí)，得．
故答案為：.
9．或
【分析】由余弦型函數(shù)性質(zhì)及最小正周期的公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】∵函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
設(shè)則函數(shù)的最小正周期的為，則，即.
解得：或.
故答案為：或
10．3（形式的數(shù)均可）
【分析】由題意可得為奇函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，所有為奇函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)時(shí)，，則可以為，
故答案為：3（形式的數(shù)均可）.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到和，
再根據(jù)選擇的條件得到第三個(gè)方程，分析方程組即可求解；
（2）先求出所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，
因?yàn)?，且，解得；又因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱軸，
所以；
若選條件①：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?所以，即，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故.
若選條件②：因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，所以，
所以，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.
若條件③：因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，所以，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以等價(jià)于，，
所以，所以，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?
12．（1）；（2）①，②或．
【分析】（1）利用相關(guān)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)處理即可．
（2）①結(jié)合正弦函數(shù)的圖象分析即可得解；②結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解即可．
【詳解】（1）
，
則的最小正周期為,
令，則，
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，（）．
（2）①當(dāng)時(shí)，，則，得．
②根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可得或，
解得或．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增的是（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對(duì)稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）若的面積為，且為鈍角，則 ；的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
參考答案：
1．C
【分析】由的圖象，棱臺(tái)三角函數(shù)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得到，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，解得，所以，
所以，又由，即，
可得，即，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.
故選：C.
2．ABD
【分析】直接利用函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A；根據(jù)極值點(diǎn)的定義即可判斷B；根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.
【詳解】由題意得：，所以，
即，又，所以，
故，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
所以在上是單調(diào)遞減，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
由余弦函數(shù)的圖象知：有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
所以直線不是曲線的對(duì)稱軸，故C不正確；
對(duì)于D，，
令，得，
從而得：或，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為：，即，故D正確.
故選：ABD.
3．
【分析】由三角形面積公式可得，可求出；再根據(jù)為鈍角限定出，利用正弦定理可得，可得其范圍是.
【詳解】根據(jù)題意可得面積，
可得，即，
又易知為銳角，可得；
由正弦定理可得，
因?yàn)闉殁g角，可得，所以；
可得，因此；
故答案為：；；
4．(1)，
(2)答案見解析
【分析】（1）由周期求出，根據(jù)求出；
（2）首先求出的解析式，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由的取值范圍，求出的取值范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，，故，，故．
將代入，得，解得，
又，故．
（2）依題意，．
函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
且，，，
作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．是周期為的偶函數(shù)
B．函數(shù)的圖象有無數(shù)條對(duì)稱軸
C．函數(shù)的最大值為，最小值為，則
D．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)
二、多選題
2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐PO的軸截面PAB是等腰直角三角形，，M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，則（ ）
A．點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的圓B．存在點(diǎn)M，使得
C．三棱錐體積的最大值為D．的最小值為
三、填空題
3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可知為偶函數(shù)，根據(jù)周期函數(shù)的定義可知當(dāng)時(shí)，為周期函數(shù)，最小正周期為，化簡(jiǎn)函數(shù)在內(nèi)的解析式，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得解.
【詳解】由，得為偶函數(shù)．
化簡(jiǎn)函數(shù)在內(nèi)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，為周期函數(shù)，最小正周期為，
由函數(shù)為偶函數(shù)畫出其圖象如下．

由圖易知函數(shù)不是周期函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
函數(shù)的圖象有唯一一條對(duì)稱軸軸，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
最大值，最小值，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)圖象可知，若，則在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，故選D．
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求解是本題解題關(guān)鍵.
2．ACD
【分析】根據(jù)點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1易知其軌跡為到底面距離為1的圓；選項(xiàng)B、D的存在性及最值與點(diǎn)M的位置有關(guān)，用點(diǎn)M在圓錐底面的射影N與O、A形成的來刻畫點(diǎn)M的位置，把目標(biāo)角的余弦用表示，進(jìn)而分析運(yùn)算判斷即可．
【詳解】解：因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?br>所以P到圓錐底面的距離為2，
又M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，并且點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，
故點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的圓，故A正確；
設(shè)點(diǎn)M在圓錐底面上的射影為N，連接ON，AN，MN，，，如圖
設(shè)，，
則，
所以，
當(dāng)M為PA的中點(diǎn)時(shí)，AM最小，最小值為，
當(dāng)M為PB的中點(diǎn)時(shí)，AM最大，最大值為，
又易知，，
所以，
因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
，
，易得點(diǎn)M到平面PAB的距離的最大值為1，
，
所以三棱錐體積的最大值為，故C正確；
連接BN，，
，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是要有函數(shù)的思想即用來刻畫點(diǎn)M的位置，因?yàn)榕c
都與點(diǎn)M的位置有關(guān)；其次要利用圓錐的對(duì)稱性設(shè)，這樣研究問題更加簡(jiǎn)便．
3． 1
【分析】第一空：當(dāng)時(shí)、時(shí)可得答案；第二空：至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；分、、討論結(jié)合圖象可得答案.
【詳解】第一空：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)，
故此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；
第二空：顯然，至多有2個(gè)零點(diǎn)，故在上至少有2個(gè)零點(diǎn)，所以；
①
若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，
此時(shí)；
②
若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，
所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，符合要求；
③當(dāng)時(shí)，，所以恰有1個(gè)零點(diǎn)，
而至少有4個(gè)零點(diǎn)，
此時(shí)至少有5個(gè)零點(diǎn)，不符合要求，舍去.
綜上，或.
故答案為：1；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求零點(diǎn)的常用方法：①解方程；②數(shù)形結(jié)合；③零點(diǎn)存在定理；④單調(diào)+存在求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，復(fù)雜的函數(shù)求零點(diǎn)，先將復(fù)雜零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單函數(shù)零點(diǎn)問題
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函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
遞減區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
無
對(duì)稱中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
對(duì)稱軸方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
無

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