專題24 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義域和值域5
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性7
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的單調(diào)性8
【分層檢測】10
【基礎(chǔ)篇】10
【能力篇】12
【培優(yōu)篇】13
考試要求：
1.能畫出三角函數(shù)的圖象.
2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).
知識梳理
1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個(gè)周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期.
2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acs ωx＋b的形式.
3.對于y＝tan x不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
5．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）
A．1B．C．D．3
二、多選題
6．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）
A．在區(qū)間單調(diào)遞減
B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．
8．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

9．（2022·全國·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．
10．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)的定義域和值域
一、單選題
1．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·北京朝陽·期末）函數(shù)是（）
A．奇函數(shù)，且最小值為B．奇函數(shù)，且最大值為
C．偶函數(shù)，且最小值為D．偶函數(shù)，且最大值為
二、多選題
3．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（）
A．的最小正周期為B．關(guān)于直線對稱
C．關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．的最小值為
4．（2024·貴州貴陽·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．
B．在上的值域?yàn)?br>C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
三、填空題
5．（2024·遼寧·二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別在線段上，且，則的最小值為．
6．（2021·河南鄭州·二模）在△中，角，，的對邊分別為，，，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
反思提升：
1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.
2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sin x±cs x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性
一、單選題
1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則的值可以為（）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2024·北京西城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象再關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（）
A．的對稱軸為
B．的最小正周期為
C．的最大值為1，最小值為
D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
5．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)滿足0，且在上單調(diào)遞減，則（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．可以等于
C．可以等于5D．可以等于3
6．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知函數(shù)，則（）
A．的一個(gè)周期為2B．的定義域是
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
三、填空題
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，則的取值范圍是．
8．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) .
9．（2023·四川達(dá)州·一模）函數(shù)，且，則的值為 .
反思提升：
(1)三角函數(shù)周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函數(shù)時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.
(2)對于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.
(3)對于可化為f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.
(4)三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的單調(diào)性
一、單選題
1．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若，，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．B．
C．D．
2．（2024·陜西榆林·三模）已知，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2022·湖北武漢·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南長沙·一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）

A．
B．的圖象過點(diǎn)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
三、填空題
5．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（，，）的大致圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3倍后，再向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為 .
6．（2022·上海閔行·模擬預(yù)測）已知，若，則的取值范圍是 .
反思提升：
1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個(gè)整體代入y＝sin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).
2.對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·福建·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則整數(shù)A的值是（）
A．3B．4C．5D．6
2．（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則的值可以是（）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽·三模）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（22-23高一下·湖北武漢·期中）若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對稱軸，則ω的取值范圍為（）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，如圖，圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則（）
A．
B．
C．是函數(shù)的一條對稱軸
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
6．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（）
A．B．C．D．
7．（23-24高一上·廣東肇慶·期末）關(guān)于函數(shù)，下列說法中正確的有（）
A．是奇函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．為其圖象的一個(gè)對稱中心D．最小正周期為
三、填空題
8．（2022·江西·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若，則的最小值是．
9．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）若函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
10．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的值可能為 .
四、解答題
11．（2022·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．
(1)從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；
條件②：是的對稱中心；
條件③：是的對稱中心.
(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．
12．（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）若對任意的，方程（其中）始終有兩個(gè)不同的根，．
①求實(shí)數(shù)的值；
②求的值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增的是（）

A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則（）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞減
B．在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
三、填空題
3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測）若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．
四、解答題
4．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．是周期為的偶函數(shù)
B．函數(shù)的圖象有無數(shù)條對稱軸
C．函數(shù)的最大值為，最小值為，則
D．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)
二、多選題
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐PO的軸截面PAB是等腰直角三角形，，M是圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到圓錐底面的距離為1，則（）
A．點(diǎn)M的軌跡是半徑為1的圓B．存在點(diǎn)M，使得
C．三棱錐體積的最大值為D．的最小值為
三、填空題
3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
遞減區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
無
對稱中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
對稱軸方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
無

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