TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28884" 【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】 PAGEREF _Tc28884 \h 3
\l "_Tc1738" 【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】 PAGEREF _Tc1738 \h 4
\l "_Tc29145" 【題型3 輔助角公式的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc29145 \h 6
\l "_Tc18438" 【題型4 角的變換問題】 PAGEREF _Tc18438 \h 8
\l "_Tc25825" 【題型5 三角函數(shù)式的化簡】 PAGEREF _Tc25825 \h 10
\l "_Tc16349" 【題型6 給角求值】 PAGEREF _Tc16349 \h 11
\l "_Tc11051" 【題型7 給值求值】 PAGEREF _Tc11051 \h 13
\l "_Tc431" 【題型8 給值求角】 PAGEREF _Tc431 \h 15
\l "_Tc19792" 【題型9 三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19792 \h 18
1、三角恒等變換
【知識點1 三角恒等變換思想】
1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式
(1)角的代換
代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用
尤為突出.
常用的角的代換形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代換
用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其
中要特別注意的是“1”的代換.
(3)輔助角公式
通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?br> (a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù) [或].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個
三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.
【知識點2 三角恒等變換的應(yīng)用技巧】
1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧
(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.
(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.
2．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形
運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
3．輔助角公式的運(yùn)用技巧
對asinx+bcsx化簡時，輔助角的值如何求要清楚.
4．角的變換問題的解題策略：
(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個"已知角"的和或差的形式；
(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.
(3)常見的角變換：，，，，等.
【知識點3 三角恒等變換幾類問題的解題策略】
1．給值求值問題的解題思路
給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求
出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.
2．給角求值問題的解題思路
給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角
之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.
3．給值求角問題的解題思路
給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.
4．三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略
三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化
為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．降冪公式：，.
3．，，.
【題型1 兩角和與差的三角函數(shù)公式】
【例1】（2024·江西九江·三模）若2sinα+π3=csα?π3，則tanα?π6=（ ）
A．?4?3B．?4+3C．4?3D．4+3
【解題思路】設(shè)β=α?π6，則原等式可化為2sinβ+π2=csβ?π6，化簡后求出tanβ即可.
【解答過程】令β=α?π6，則α=β+π6，
所以由2sinα+π3=csα?π3，
得2sinβ+π2=csβ?π6，
即2csβ=32csβ+12sinβ，
即sinβ=4?3csβ，得tanβ=4?3，
所以tanα?π6=tanβ=4?3，
故選：C.
【變式1-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知α∈π2,π，tan3π4?α=13，則sinα=（ ）
A．255B．55C．223D．23
【解題思路】根據(jù)差角公式可得tanα=?12，即可利用同角關(guān)系求解.`
【解答過程】由tan3π4?α=13得tan3π4?α=tan3π4?tanα1+tan3π4tanα=13，解得tanα=?2，
故sinα=?2csα，結(jié)合sin2α+cs2α=1，故sin2α=45
由于α∈π2,π，故sinα= 255，
故選：A.
【變式1-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知cs10°?α=cs50°?α+cs50°+α，則tanα=（ ）
A．33B．?33C．3D．?3
【解題思路】根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡，再根據(jù)50°=60°?10°結(jié)合兩角差的余弦公式化簡即可得解.
【解答過程】由cs10°?α=cs50°?α+cs50°+α，
得cs10°csα+sin10°sinα=2cs50°csα，
故sin10°sinα=2cs50°csα?cs10°csα
所以tanα=2cs50°?cs10°sin10°
=2cs60°?10°?cs10°sin10°
=cs10°+3sin10°?cs10°sin10°=3.
故選：C.
【變式1-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知sinαsinα+π6=csαsinπ3?α，則tan2α+π4=（ ）
A．2?3B．?2?3C．2+3D．?2+3
【解題思路】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2α=3，進(jìn)一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.
【解答過程】由題意32sin2α+12sinαcsα=32cs2α?12sinαcsα，即32cs2α=12sin2α，
即tan2α=3，所以tan2α+π4=tan2α+tanπ41?tan2αtanπ4=3+11?3=3+12?2=?2?3.
故選：B.
【題型2 兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】
【例2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知α，β，γ∈0,π2，若sinα+sinγ=sinβ，csβ+csγ=csα，則α?β=（ ）
A．?π3B．π3C．?π6D．π6
【解題思路】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解.
【解答過程】由sinα+sinγ=sinβ，csβ+csγ=csα，得sinα?sinβ=?sinγ，csα?csβ=csγ，
∴sinα?sinβ2+csα?csβ2=?sinγ2+cs2γ=1，即2?2sinαsinβ?2csαcsβ=1，
∴2?2csα?β=1，解得csα?β=12.
又α，β，γ∈0,π2，
∴sinα?sinβ=?sinγ

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