專題5.1 平面向量的概念及線性運算（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

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\l "_Tc21936" 【題型1 平面向量的基本概念】 PAGEREF _Tc21936 \h 2
\l "_Tc28387" 【題型2 向量加、減法的幾何意義】 PAGEREF _Tc28387 \h 4
\l "_Tc8966" 【題型3 向量的線性運算】 PAGEREF _Tc8966 \h 6
\l "_Tc28569" 【題型4 根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】 PAGEREF _Tc28569 \h 7
\l "_Tc22109" 【題型5 向量共線定理及其應用】 PAGEREF _Tc22109 \h 9
1、平面向量的概念及線性運算
【知識點1 平行向量有關概念的歸納】
1．平行向量有關概念的四個關注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
(4)非零向量與的關系：是與同方向的單位向量.
【知識點2 平面向量線性運算問題的解題策略】
1．平面向量線性運算問題的求解思路：
(1)解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；
(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.
2．向量線性運算的含參問題的解題策略：
與向量的線性運算有關的參數(shù)問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數(shù)的值.
3．利用共線向量定理解題的策略：
(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.
(3)若與不共線且，則.
(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
【方法技巧與總結(jié)】
1．中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則.
2．(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.
3．解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
【題型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全國·模擬預測）已知向量a，b為非零向量，則“向量a，b的夾角為180°”是“a//b”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】判斷命題“若向量a，b的夾角為180°，則a//b”和命題“若a//b，則向量a，b的夾角為180°”的真假即可得解.
【解答過程】因向量a，b為非零向量，則當向量a，b的夾角為180°時，a與b方向相反，即a//b成立，
當a//b時，a與b方向相同或者方向相反，即向量a，b的夾角為0°或者180°，可以不為180°，
所以“向量a，b的夾角為180°”是“a//b”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-1】（2024·北京·三模）若a,b為非零向量，則“aa=bb”是“a,b共線”的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】aa=bb表示與a,b同向的單位向量，a,b共線可能同向共線、也可能反向共線，再由充分性、必要性的定義可求出答案.
【解答過程】依題意a,b為非零向量， aa表示與a同向的單位向量，bb表示與b同向的單位向量，
則aa=bb表示與a,b同向的單位向量，所以能推出a,b共線，所以充分性成立；
a,b共線可能同向共線、也可能反向共線，所以a,b共線得不出aa=bb，所以必要性不成立.
故選：B.
【變式1-2】（2023·江蘇鹽城·三模）已知ABCD是平面四邊形，設p：AB=2DC，q：ABCD是梯形，則p是q的條件（）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【解題思路】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.
【解答過程】在四邊形ABCD中，
若AB=2DC，
則AB∥DC，且AB=2DC，
即四邊形ABCD為梯形，充分性成立；
若當AD，BC為上底和下底時，
滿足四邊形ABCD為梯形，
但AB=2DC不一定成立，即必要性不成立；
故p是q的充分不必要條件.
故選：A.
【變式1-3】（2024·云南昆明·模擬預測）下列有關四邊形ABCD的形狀判斷錯誤的是（）
A．若AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形
B．若AD=13BC，則四邊形ABCD為梯形
C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，則四邊形ABCD為菱形
D．若AB=DC，且AC⊥BD，則四邊形ABCD為正方形
【解題思路】根據(jù)向量共線、相等的知識確定正確答案.
【解答過程】A選項，AD=BC，則AD//BC,AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，A正確.
B選項，AD=13BC，則AD//BC,AD=13BC，所以四邊形ABCD為梯形，B正確.
C選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，四邊形ABCD是平行四邊形；由于|AB|=|AD|，所以四邊形ABCD是菱形，C正確.
D選項，AB=DC，則AB//DC,AB=DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形；由于AC⊥BD，所以四邊形ABCD為菱形，D選項錯誤.
故選：D.
【題型2 向量加、減法的幾何意義】
【例2】（2024·河南開封·三模）在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則下列向量與AB+DC不相等的是（）
A．2EFB．AC+DBC．EB+ECD．FA+FD
【解題思路】根據(jù)向量的加減法法則結(jié)合已知條件逐個分析判斷即可
【解答過程】因為在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，
所以AE=ED=12AD,BF=FC=12BC，
因為EF=EA+AB+BF，EF=ED+DC+CF
所以2EF=ED+DC+CF+EA+AB+BF=AB+DC,
所以A正確，
因為DC=DA+AC,AB=AD+DB，
所以DC+AB=DA+AC+AD+DB=AC+DB，所以B正確，
因為DC=DE+EC,AB=AE+EB，
所以DC+AB=DE+EC+AE+EB=EC+EB，所以C正確，
因為FA+FD=FB+BA+FC+CD=BA+CD=?(AB+DC)，
所以D錯誤，
故選：D.
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）等邊三角形ABC的垂心為O，點D是線段BC上靠近B的三等分點，則AD=（）
A．OB+23ACB．12OB+23AC
C．OB+34ACD．12OB+32AC
【解題思路】首先延長BO交AC于點E，根據(jù)題意得到E為AC的中點，再利用向量的線性運算計算AD即可.
【解答過程】如圖所示：
延長BO交AC于點E，
因為O為等邊三角形ABC的垂心，所以E為AC的中點，
所以AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23EB?EC
=AC+2332OB?12AC=OB+23AC.
故選：A.
【變式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在△ABC中，AB=4,AC=6，點D，E分別在線段AB，AC上，且D為AB中點，AE=12EC，若AP=AD+AE，則直線AP經(jīng)過△ABC的（）
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
【解題思路】根據(jù)題意，可得四邊形ADPE為菱形，即可得到AP平分∠BAC，從而得到結(jié)果.
【解答過程】
因為AB=4,AC=6，且D為AB中點，AE=12EC，
則AD=AE=2，
又因為AP=AD+AE，則可得四邊形ADPE為菱形，
即AP為菱形ADPE的對角線，
所以AP平分∠BAC，即直線AP經(jīng)過△ABC的內(nèi)心
故選:A.
【變式2-3】（2024·廣東·模擬預測）等腰△ABC中，∠B=∠C=30°,AB=1，D為線段AB上的動點，過D作DE∥BC交AC于E．過D作DF⊥BC交BC于F，則|2BF+DE|=（）
A．3B．23C．33D．53
【解題思路】根據(jù)題意可得△BDF≌△CEG，得到BF=GC，結(jié)合|2BF+DE|=|BF+FG+GC|，即可求解.
【解答過程】如圖所示，根據(jù)題意可得△BDF≌△CEG，所以BF=GC，
所以2BF=BF+GC，所以|2BF+DE|=|BF+FG+GC|=|BC|=3.
故選：A.
【題型3 向量的線性運算】
【例3】（2023·湖南岳陽·模擬預測）下列向量關系式中，正確的是（）
A．MN=NMB．AB+AC=BC
C．AB+CA=BCD．MN+NP+PQ=MQ
【解題思路】由向量加減法的運算規(guī)則，驗證各選項的結(jié)果.
【解答過程】MN=?NM，A選項錯誤；
BC=AC?AB，B選項錯誤；
AB+CA=CA+AB=CB，C選項錯誤；
由向量加法的運算法則，有MN+NP+PQ=MQ，D選項正確.
故選：D.
【變式3-1】（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知向量a,b，則2a+b?a?b=（）
A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)?b
C．3a+bD．a(chǎn)+3b
【解題思路】
直接由向量的線性運算即可求解.
【解答過程】由題意2a+b?a?b=2a+2b?a+b=a+3b.
故選：D.
【變式3-2】（2024·全國·模擬預測）在△ABC中，NA+NC=0,BM=2MC，則（）
A．NM=?13AB?16ACB．NM=13AB?16AC
C．NM=?13AB+16ACD．NM=13AB+16AC
【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.
【解答過程】在△ABC中，因為NA+NC=0，所以N為AC的中點，
又因為BM=2MC，所以M為線段BC的靠近C的三等分點，
所以NM=CM?CN=13CB?12CA=13AB?AC+12AC=13AB+16AC．
故選：D．
【變式3-3】（2024·四川自貢·一模）如圖所示的△ABC中，點D是線段BC上靠近B的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=（）
A．?13AB?16ACB．?16AB?13AC
C．?56AB?13ACD．?56AB+13AC
【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.
【解答過程】DE=DB+BE=13CB?12AB
=13AB?AC?12AB=?16AB?13AC.
故選：B.
【題型4 根據(jù)向量線性運算求參數(shù)】
【例4】（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，已知△ABC中，D是AB邊上一點，若DB=12AD，3CD=CA+mCB，則m=（）

A．?2B．2C．?1D．3
【解題思路】根據(jù)平面向量加減法運算求解即可.
【解答過程】連接CD，如圖所示：

因為DB=12AD，
所以CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23CB?CA=13CA+23CB，
所以3CD=CA+2CB，所以m=2.
故選：B.
【變式4-1】（2023·貴州·模擬預測）已知在△ABC中，點D為邊BC的中點，若AD+BC=λAB+μAC，則λ?μ=（）
A．1B．－1C．2D．－2
【解題思路】結(jié)合幾何關系，利用向量的線性運算法則即可將AD+BC用AB,AC來表示，從而得到答案.
【解答過程】因為點D為邊BC中點，
所以AD+BC=12AB+AC+AC?AB=?12AB+32AC，
所以λ=?12，μ=32，λ?μ=?2.
故選：D.
【變式4-2】（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，若AP=xAB+yAD，則xy=（）
A．23B．916C．34D．49
【解題思路】利用平行分線段成比例得到APPC=3，進而利用向量加法的平行四邊形法則即可得解.
【解答過程】因為平行四邊形ABCD中，M為BC的靠近點C的三等分點，AC與MD相交于點P，
所以APPC=ADCM=3，
所以AP=34AC=34AB+AD=34AB+34AD，又AP=xAB+yAD，
所以x=y=34，xy=916.
故選：B.
【變式4-3】（2023·浙江紹興·模擬預測）在△ABC中，D是線段BC上一點，滿足BD=2DC,M是線段AD的中點，設BM=xAB+yAC，則（）
A．x?y=?12B．x+y=?12
C．x?y=12D．x+y=12
【解題思路】利用向量的線性運算，求出BM=?56AB+13AC，得到x,y的值，再對各選項分析判斷即可求出結(jié)果.
【解答過程】因為D是線段BC上一點，滿足BD=2DC，所以AD=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13AB+23AC，
又M是線段AD的中點，所以AM=12AD=16AB+13AC，
所以BM=BA+AM=?AB+16AB+13AC=?56AB+13AC，
所以x=?56,y=13，故x+y=?12，
故選：B.
【題型5 向量共線定理及其應用】
【例5】（2024·全國·模擬預測）已知平面向量a，b，則“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λb”的（）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】利用向量共線的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【解答過程】當a≠0，b=0時，滿足a//b，但不存在λ，使得a=λb；
當a=λb時，可得a//b；
所以“a//b”是“存在λ∈R，使得a=λb”的必要不充分條件.
故選：A.
【變式5-1】（2024·上海崇明·一模）設O為△ABC所在平面上一點.若實數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0x2+y2+z2≠0，則“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件.
【解題思路】先由xyz=0得x,y,z中只能有一個為0，假設x=0可得點O在△ABC的邊BC所在直線上，滿足充分性；若點O在△ABC的邊所在直線上，假設在AB上，容易得z=0，必要性滿足，則可得答案.
【解答過程】∵ O為△ABC所在平面上一點，且實數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0x2+y2+z2≠0
∴xOA+yOB=?zOC
若“xyz=0”，則x,y,z中只能有一個為0，否則若x=y=0，得z=0，這與x2+y2+z2≠0矛盾；
假設x=0（y,z不為0），可得yOB=?zOC，∴OB=?zyOC，
∴向量OB和OC共線，∴點O在△ABC的邊BC所在直線上；
若點O在△ABC的邊所在直線上，假設在AB上，說明向量OB和OA共線，
∴z=0,∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的充分必要條件.
故選：C.
【變式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知a,b是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“a∥b”是“存在λ≠0，使得|a+λb|=|a|+|λb|”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量的模長關系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進行判斷.
【解答過程】若a∥b，則則存在唯一的實數(shù)μ≠0，使得 a=μb，
故 |a+λb|=|μb+λb|=|μ+λ||b|，
而 |a|+|λb|=|μb|+|λb|=|λ|+|μ||b|，
存在λ 使得|λ+μ|=|λ|+|μ|成立，
所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得 |a→+λb→|=|a→|+|λb→|”的充分條件，
若λ≠0且 |a+λb|=|a|+|λb|，則a與λb方向相同,故此時a∥b，
所以“a∥b”是“存在λ≠0，使得 |a→+λb→|=|a→|+|λb→|”的必要條件，
故a∥b”是“存在λ≠0，使得| |a+λb|=|a|+|λb|”的充分必要條件，
故選: C.
【變式5-3】（2023·甘肅武威·一模）已知正三角形ABC的邊長為6， AP=λAB+μAC，λ∈0,1，μ∈0,1且3λ+4μ=2，則點P到直線BC距離的最大值為（）
A．23B．3C．33D．332
【解題思路】由AP=32λAD+2μAE結(jié)合32λ+2μ=1得出點P在線段DE上運動，進而得出點P到直線BC距離的最大值.
【解答過程】因為3λ+4μ=2，所以32λ+2μ=1，
所以AP=λAB+μAC=32λ?23AB+2μ?12AC．如圖，設AD=23AB，
AE=12AC，則AP=32λAD+2μAE．因為λ∈0,1，μ∈0,1，
所以點P在線段DE上運動，顯然，當點P與點E重合時，點P到直線BC的距離取得最大值332．
故選：D.
一、單選題
1．（2023·北京大興·三模）設a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.
【解答過程】由aa=bb表示單位向量相等，則a,b同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a=b，
由a=b表示a,b同向且模相等，則aa=bb，
所以“aa=bb”是“a=b”的必要而不充分條件.
故選：B.
2．（2023·福建南平·模擬預測）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足AB+BC=2AM，則MD=（）
A．12B．1C．22D．2
【解題思路】根據(jù)幾何關系求解.
【解答過程】如圖，
AB+BC=AC=2AM，所以M是AC的中點，MD=12BD=22；
故選：C.
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD的邊長為1，則AB+BC?CA=（）
A．0B．2C．22D．4
【解題思路】利用向量運算法則得到AB+BC?CA=2AC=22.
【解答過程】AB+BC?CA=AC?CA=2AC，
因為正方形ABCD的邊長為1，所以AC=1+1=2，
故AB+BC?CA=22.
故選：C.
4．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，點M是BC的中點，則AM=（）
A．23AB?12ADB．12AB+23AD
C．AB+12ADD．34AB+12AD
【解題思路】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.
【解答過程】依題意可得AM=12AB+12AC=12AB+12AD+DC
=12AD+14AB+12AB=34AB+12AD．
故選：D.
5．（2024·廣西·模擬預測）在△ABC中，AB=4AD，CE=2ED.若BC=λAE+μCD，則（）
A．λ+μ=5B．λ?μ=1C．λμ=6D．λμ=3
【解題思路】將向量AE，CD看作基底，利用向量的加減法法則以及數(shù)乘的運算法則，得到BC= ?3AE?2CD即可.
【解答過程】依題意，AB=4AD，
所以BC=DC?DB=?CD?3AD=?CD?3(AE+ED)，
又因為CE=2ED，
所以BC =?CD?3AE?3ED=?CD?3AE?CD=?3AE?2CD，
所以λ=?3，μ=?2，
所以λ+μ=?5，λ?μ=?1，λμ=6，λμ=32，只有選項C正確；
故選：C．
6．（2024·福建福州·模擬預測）已知e1?,e2?是兩個不共線的向量，若2e1→+λe2→與μe1→+e2→是共線向量，則（）
A．λμ=?2B．λμ=?2C．λμ=2D．λμ=2
【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結(jié)果.
【解答過程】依題意，設2e1→+λe2→=tμe1→+e2→，又e1→,e2→是兩個不共線的向量，
所以tμ=2,λ=t，所以λμ=2．
故選：D.
7．（2024·浙江·模擬預測）已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2e2，BC=?3e1+2e2，DA=3e1?6e2，則（）
A．A、B、C三點共線B．A、B、D三點共線
C．A、C、D三點共線D．B、C、D三點共線
【解題思路】根據(jù)向量a,b共線則a=λbλ∈R判斷即可.
【解答過程】對A，因為AB=e1+2e2，BC=?3e1+2e2，不存在實數(shù)λ使得AB=λBC，故A、B、C三點不共線，故A錯誤；
對B，因為AB=e1+2e2，DA=3e1?6e2，不存在實數(shù)λ使得AB=λDA，故A、B、D三點不共線，故B錯誤；
對C，因為AC=AB+BC=?2e1+4e2，DA=3e1?6e2，則AC=?23DA，故A、C、D三點共線，故C正確；
對D，因為BC=?3e1+2e2，BD=?DA?AB=DA=?3e1+6e2?e1?2e2=?4e1+4e2，不存在實數(shù)λ使得BC=λBD，故B、C、D三點不共線，故D錯誤.
故選：C.
8．（2024·全國·二模）點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線OP經(jīng)過△ABC的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【解題思路】根據(jù)向量的運算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.
【解答過程】設BC的中點為點D，所以OB+OC=2OD，
則OP?OA=AP=2OD，
若A,P,O,D四點共線時，即點O,P都在中線AD上，所以OP經(jīng)過三角形的重心，
若A,P,O,D四點不共線時，AP//OD，且AP=2OD，連結(jié)AD,OP，交于點G，
如圖，
AGGD=APOD=2，即點G是三角形的重心，即OP經(jīng)過△ABC的重心，
綜上可知，OP經(jīng)過△ABC的重心.
故選：A.
二、多選題
9．（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）下列說法中正確的是（）
A．若a與b都是單位向量，則a=b
B．零向量的長度為零，方向是任意的
C．若a與b是平行向量，則a=b
D．若a+b=0或a?b=0，則a//b
【解題思路】根據(jù)單位向量、零向量、相等向量和共線向量的定義判斷.
【解答過程】單位向量a與b的方向不一定相同，故A錯；
零向量的長度為零，方向任意，故B正確；
若a∥b，a,b的模長不一定相等，故C錯；
若a+b=0或a?b=0，則a,b的方向相同或相反，所以a∥b，故D正確.
故選：BD.
10．（2024·遼寧·二模）△ABC的重心為點G，點O，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則（）
A．O,P,G三點共線B．OP=2OG
C．2OP=AP+BP+CPD．點P在△ABC的內(nèi)部
【解題思路】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．
【解答過程】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC
=3OG+GA+GB+GC，
因為點G為△ABC的重心，
所以GA+GB+GC=0，所以OP=3OG，
所以O,P,G三點共線，故A正確，B錯誤；
AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP
=(AO+BO+CO)+3OP，
因為OP=OA+OB+OC，
所以(AO+BO+CO)+3OP=?OP+3OP=2OP，即2OP=AP+BP+CP，故C正確；
因為OP=3OG，
所以點P的位置隨著點O位置的變化而變化，故點P不一定在△ABC的內(nèi)部，故D錯誤；
故選：AC．
11．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）數(shù)學與生活存在緊密聯(lián)系，很多生活中的模型多源于數(shù)學的靈感．已知某建筑物的底層玻璃采用正六邊形為主體，再以正六邊形的每條邊作為正方形的一條邊構造出六個正方形，如圖所示，則在該圖形中，下列說法正確的是（）

A．GH=233+1BDB．BE=BD+32CF
C．GB=33BD?12CFD．IC=3+36BD+3?14CF
【解題思路】由圖可得各向量關系與其模長間等量關系，即可得答案.
【解答過程】A選項，由題知BCBD=13，故GH=GA+AE+EH=2BC+BD=233+1BD，而GH∥BD，故A正確；
B選項，由題知CF=2DE，BE=BD+DE=BD+12CF，故B錯誤；
C選項，GB=GA+AB=33BD?12CF，故C正確；
D選項，因為IC=IB+BC，BC=12BD?14CF，IB=33BF=33BC+CF
=3312BD+34CF=36BD+34CF，
故IC=3+36BD+3?14CF，故D正確.
故選：ACD．
三、填空題
12．（2023·黑龍江·模擬預測）在平行四邊形ABCD中，3BE→=ED→，CE→=λAB→+μAD→λ,μ∈R，2λ+μ= ?54
．
【解題思路】利用平面向量的線性運算.
【解答過程】由平行四邊形ABCD,3BE→=ED→，
可知BD=4BE，則CD?CB=4CE?CB，
整理得CE=14CD+34CB=14BA?34BC，
則CE=?14AB?34AD，
所以2λ+μ=?54.
故答案為：?54.
13．（23-24高一下·上海浦東新·期中）下列關于向量的命題，序號正確的是 ①③ .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量a,b，若a//b，則a=± b；
③對于非零向量a,b，若a=± b，則a//b；
④對于非零向量a,b，若a//b，則a與b所在直線一定重合.
【解題思路】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.
【解答過程】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量a,b，若a//b，則a和b是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故a不一定等于±b，故②錯誤；
對于非零向量a,b，若a=±b，則a與b是相等向量或相反向量，故a//b，故③正確；
對于非零向量a,b，若a//b，則a和b是平行向量，也是共線向量，但a與b所在直線不一定重合.
故選：①③.
14．（2024·山西太原·三模）趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了 “勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖” (以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形). 類比 “趙爽弦圖”，構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且DF=AF，點P在AB上，BP=2AP，點Q在△DEF 內(nèi) (含邊界)一點，若PQ=λPD+PA，則λ的最大值為 32 .
【解題思路】先利用向量線性運算得到AQ=λPD，作出輔助線，得到DP//AH，且DPAH=23，從而得到答案.
【解答過程】PQ=λPD+PA?PQ?PA=λPD?AQ=λPD，
取DE的中點H，連接AH，
因為BD=DE，故BD=2HD，
又BP=2AP，所以BPAB=BDBH=23，故DP//AH，且DPAH=23，
所以λ的最大值為32，此時點Q與點H重合.
故答案為：32.
四、解答題
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化簡下列各式：
(1)(AB+MB)+(?OB?MO)；
(2)AB?AD?DC；
(3)OA?OD+AD；
【解題思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、減法法則計算即得.
【解答過程】（1）(AB+MB)+(?OB?MO) =(AB+BO)+(MB?MO) =AO+OB=AB；
（2）AB?AD?DC =DB?DC=CB；
（3）OA?OD+AD=DA+AD=0.
16．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，E、F、G依次是正三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點.
(1)在以A、B、C、E、F、G為起點或終點的向量中，找出與向量EF共線的向量；
(2)在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，找出與向量GF模相等的向量；
(3)在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，找出與向量EG相等的向量.
【解題思路】（1）由EF是△ABC的中位線，結(jié)合向量共線的概念得到與向量EF共線的向量；
（2）由向量模相等的概念得到與向量GF模相等的向量；
（3）由向量相等的概念得到與向量EG相等的向量．
【解答過程】（1）
∵E,F分別為AB,BC的中點，EF//AC，且EF=12AC，∴與向量EF共線的向量是AG,AC,GA,GC,CG,CA,FE.
（2）因為△ABC是正三角形，所以AB=AC=BC，
因為E、F、G依次是正△ABC的邊AB、BC、AC的中點，
所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG，
所以在以A、B、C為起點，以E、F、G為終點的向量中，
與向量GF模相等的向量為AE,AG,BE,BF,CG,CF；
（3）在以E、F、G為起點，以A、B、C為終點的向量中，與向量EG相等的向量為FC.
17．（23-24高一下·河南周口·階段練習）如圖，點D是△ABC中BC邊的中點，AB=a,AC=b.
(1)若點O是△ABC的重心，試用a,b表示AO;
(2)若點O是△ABC的重心，求OA+OB+OC.
【解題思路】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和重心的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)結(jié)合題意求解即可》
【解答過程】（1）因為點D是△ABC中BC邊的中點，點O是△ABC的重心，
所以AO=23AD=2312a+12b=13a+13b.
（2）因為點O是△ABC的重心且D是BC邊的中點，所以OB+OC=2OD，
又AO=23AD=2OD，所以OB+OC=AO=?OA，
所以OA+OB+OC=0.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）設a,b是不共線的兩個非零向量．
(1)若OA=4a?2b,OB=6a+2b,OC=2a?6b，求證：A,B,C三點共線；
(2)若4a+12kb與12ka+b共線，求實數(shù)k的值．
【解題思路】（1）要證明三點共線，即證明三點組成的兩個向量共線即可.
（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.
【解答過程】（1）由OA=4a?2b,OB=6a+2b,OC=2a?6b，
得AB=OB?OA=6a+2b?4a?2b=2a+4b,
BC=OC?OB=2a?6b?6a+2b=?4a?8b=?22a+4b=?2AB,
所以AB∥BC，且有公共點B，
所以A,B,C三點共線.
（2）由4a+12kb與12ka+b共線，
則存在實數(shù)λ，使得4a+12kb=λ12ka+b，
即4?12λka+12k?λb=0，又a,b是不共線的兩個非零向量，
因此4?12λk=012k?λ=0，解得λ=2k=4，或λ=?2k=?4，
實數(shù)k的值是±4.
19．（23-24高一上·遼寧大連·期末）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與邊AB、AC交于M、N兩點（點M、N與點B、C不重合），設AB=xAM，AC=yAN．
(1)求x+y的值；
(2)求1x?1+2y?1的最小值，并求此時x，y的值．
【解題思路】（1）由三角形重心性質(zhì)可得AG=13AB+13AC，結(jié)合三點共線性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（2）運用“1”的代換及基本不等式求解即可.
【解答過程】（1）如圖所示，
因為G為△ABC重心，所以AG=23?12AB+AC=13AB+13AC，
所以AG=x3AM+y3AN，
因為M，G，N三點共線，所以13x+13y=1，即x+y=3．
（2）由題意可知x>1y>1x+y=3?1

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