專題2.5 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc10486" 【題型1 對數(shù)的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc10486 \h 2
\l "_Tc960" 【題型2 指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc960 \h 3
\l "_Tc20083" 【題型3 對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 PAGEREF _Tc20083 \h 5
\l "_Tc11537" 【題型4 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 PAGEREF _Tc11537 \h 7
\l "_Tc9540" 【題型5 解對數(shù)不等式】 PAGEREF _Tc9540 \h 9
\l "_Tc20468" 【題型6 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc20468 \h 11
1、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
【知識點(diǎn)1 對數(shù)運(yùn)算的解題策略】
1．對數(shù)運(yùn)算的常用技巧
(1)在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.
(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
【知識點(diǎn)2 對數(shù)函數(shù)的常見問題及解題思路】
1．對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用
(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).
(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
2．對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略
利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.
【題型1 對數(shù)的運(yùn)算】
【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡2lg23+(a)2+b2的結(jié)果是（）
A．3+a+bB．3+a+b
C．2+a+bD．2+a+b
【解題思路】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則和對數(shù)運(yùn)算法則化簡求值即可.
【解答過程】由2lg23=3，a2=a，b2=b可知，
2lg23+(a)2+b2=3+a+b.
故選：B.
【變式1-1】（2024·青海·模擬預(yù)測）若a=lg35，5b=6，則ab?lg32=（）
A．1B．－1C．2D．－2
【解題思路】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.
【解答過程】由5b=6 ? b=lg56，
所以ab?lg32 =lg35?lg56?lg32 =lg35?lg36lg35?lg32 =lg36?lg32 =lg362 =lg33=1
故選：A.
【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6b=9c=t，那么（）．
A．1a+1b=1cB．1b+1c=1aC．1a+1b=2cD．1a+1c=2b
【解題思路】將指數(shù)式化為對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)換底公式、對數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)驗(yàn)證即可．
【解答過程】依題意設(shè)4a=6b=9c=t，則a=lg4t，b=lg6t，c=lg9t，
所以1a=1lg4t=lgt4,1b=1lg6t=lgt6,1c=1lg9t=lgt9，
則1a+1b=lgt4+lgt6=lgt24≠1c=lgt9，1a+1b=lgt24≠2c=2lgt9=lgt81故A，C錯誤；
則1b+1c=lgt6+lgt9=lgt54≠1a=lgt4，故B錯誤；
則1a+1c=lgt4+lgt9=lgt36=2lgt6=2b，故D正確.
故選：D.
【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5c=4，則lg4abc=（）
A．?2B．12C．22D．1
【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的互化公式，結(jié)合對數(shù)的換底公式，即可求解.
【解答過程】由2a=3，3b=5，5c=4，可得a=lg23,b=lg35,c=lg54，
所以abc=lg23×lg35×lg54=lg3lg2×lg5lg3×lg4lg5=2，則lg4abc=lg42=12.
故選：B.
【題型2 指數(shù)、對數(shù)問題的應(yīng)用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉3×1015個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．10117萬年B．10120萬年C．10123萬年D．10125萬年
【解題思路】利用取對數(shù)法進(jìn)行化簡求解即可．
【解答過程】∵1萬年用掉3×1015個二維碼，
∴大約能用24413×1015萬年，
設(shè)x=24413×1015，則lgx=lg24413×1015=lg2441?(lg3+lg1015)=441lg2?lg3?15≈441×0.301?0.477?15≈117，
即x≈10117萬年．
故選：A．
【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開始，經(jīng)過tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20t≥0來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（）
（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,lg3≈0.48）
A．2.5minB．4.5minC．6minD．8min
【解題思路】令60×0.9t+20=60，則0.9t=23，兩邊同時取對將lg2≈0.30,lg3≈0.48代入即可得出答案.
【解答過程】由題可知，函數(shù)y=60×0.9t+20t≥0，
令60×0.9t+20=60，則0.9t=23，
兩邊同時取對可得：lg0.9t=lg23，即tlg910=t2lg3?1=lg2?lg3，
即t=lg2?lg32lg3?1≈0.30?0.482×0.48?1= min.
故選：B.
【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=lgbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=4kP10n=ln6?ln2ln2+ln5（k∈N?，k>4），則k的值為（）
A．11B．15C．19D．21
【解題思路】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對數(shù)運(yùn)算，即可求解.
【解答過程】n=4kP10n=lg54+lg65+lg76+...+lgk+1k=ln6?ln2ln2+ln5，
即lgk+14=ln3ln10=lg3，則k+14=3，得k=11.
故選：A.
【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）萬有引力定律是英國偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來的，即任意兩個質(zhì)點(diǎn)通過連心線方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個物體的質(zhì)量，r表示兩個物體間的距離.若地球與月球的近地點(diǎn)間的距離為r1，與月球的遠(yuǎn)地點(diǎn)間的距離為r2，地球與月球近地點(diǎn)間的引力大小為F1，與月球遠(yuǎn)地點(diǎn)間的引力大小為F2，則（）
A．lnF1+lnr1=lnF2+lnr2B．lnF1+lnr2=lnF2+lnr1
C．lnF1?lnr1=lnF2?lnr2D．lnF1?lnr2=lnF2?lnr1
【解題思路】根據(jù)題意，由對數(shù)的運(yùn)算代入計算，即可得到結(jié)果.
【解答過程】由題意知，F(xiàn)1F2=r22r12，兩邊同時取對數(shù)得lnF1F2=lnr22r12，∴l(xiāng)nF1?lnF2=lnr22?lnr12=2lnr2?lnr1，即lnF1+lnr1=lnF2+lnr2.
故選：A.
【題型3 對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】
【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=ex?e1x?lnx2的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)x0，lnx2>0，所以fx>0，當(dāng)0a>cC．c>a>bD．a(chǎn)>c>b
【解題思路】判斷a，b，c與0和1的大小關(guān)系即可得到答案．
【解答過程】a=2lg20.4=0.4，
b=lg0.4?2b.
故選：C.
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=lg0.90.3，c=lg1312，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．cc
【解題思路】由f(x)=f(2?x)，得到對稱軸為x=1，然后求解a=f(?ln1.1)=f(2+ln1.1)，進(jìn)而利用fx在[1,+∞)上單調(diào)遞減，比較大小，判斷選項(xiàng).
【解答過程】由f(x)=f(2?x)，得到對稱軸為x=1，則a=f(?ln1.1)=f(2+ln1.1)，
而1c.
故選：D.
【題型5 解對數(shù)不等式】
【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx，若fa≤fa+1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．5?12,1B．0,5?12C．5?12,+∞D(zhuǎn)．1,+∞
【解題思路】結(jié)合函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=fx+1的圖象，由?lna1=lna1+1，找到交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得解.
【解答過程】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=fx的圖象和函數(shù)y=fx+1的圖象，
設(shè)兩圖象交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a1.
由圖象可得滿足fa≤fa+1的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a1,+∞.
對于a1，由?lna1=lna1+1，得1a1=a1+1，
所以a12+a1?1=0，解得a1=?1+52或a1=?1?52（舍去），
故選：C.
【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=3x+2x?1，則不等式flg2x?32b”是“l(fā)na2+e>lnb2+e”的既不充分也不必要條件，
故選：D．
【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且a≠1）是偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式flgkx>a2+1a的解集是（）
A．2,+∞B．0,12∪2,+∞
C．12,2D．以上答案都不對
【解題思路】根據(jù)fx是偶函數(shù)求得k=2，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性不等式等價于lg2x>1，解不等式即可.
【解答過程】∵fx是偶函數(shù)
∴f?x=fx，即a?x+k?1ax=ax+k?1a?x
化簡得k?2ax?a?x=0
∴k=2，fx=ax+a?x（a>0，a≠1）
f'x=lnaax?a?x,
a>1,0

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