【真題自測】2
【考點(diǎn)突破】7
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)式的化簡7
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)求值問題11
【考點(diǎn)3】三角恒等變換的應(yīng)用14
【分層檢測】19
【基礎(chǔ)篇】19
【能力篇】26
【培優(yōu)篇】30
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
3．（2021·全國·高考真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
二、解答題
4．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．
(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；
條件②：；
條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
5．（2021·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)在上的最大值.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.
【詳解】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法
（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．
（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．
2．B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因為，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因為
且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

3．C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．
4．(1).
(2)條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．
【詳解】（1）因為
所以，
因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以,所以,,
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，因為，所以.
所以，；
若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.
以下與條件②相同．
5．（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數(shù)的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當(dāng)即時，函數(shù)取最大值.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】三角函數(shù)式的化簡
一、單選題
1．（2024·河北承德·二模）函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小值為1的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．的值域為B．為奇函數(shù)
C．在上單調(diào)遞減D．在上有2個零點(diǎn)
三、填空題
5．（2024·上海嘉定·二模）已知，，則函數(shù)的最小值為 ．
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則 .
參考答案：
1．C
【分析】利用三角恒等變換得，再根據(jù)正弦型函數(shù)對稱性得到方程，解出即可.
【詳解】，
所以，，解得，
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)y軸右邊第二個對稱中心在內(nèi)，第三個對稱中心不在內(nèi)可求得，結(jié)合可得，再利用平移變換求出，根據(jù)三角變換化簡可得，然后由二倍角公式可解.
【詳解】由得，
因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，所以，解得，
又，所以，即，所以，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，
即，
因為
，
所以.
故選：A
3．BD
【分析】對于A選項，把原式轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)來求最值；
對于B選項，需要用到不等式證明中的代換1法即可；
對于C選項，需要把原式中的換成，這樣又轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)來求最值；
對于D選項，遇到絕對值問題用平方思想，把原式化為即可判斷.
【詳解】對于A，，其最小值為，故錯誤；
對于B，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故B正確；
對于C．設(shè)，，則，
所以，
當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D，，又，
所以當(dāng)，即，時，，故D正確．
故選：BD．
4．ACD
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的振幅判斷函數(shù)的最值，并求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)，即可判斷選項.
【詳解】．
A．因為，所以，故A正確．
B．因為，所以，是偶函數(shù)，故B錯誤．
C．由選項可得，由余弦函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞減，故C正確．
D．令，則，所以．
令，可得，又，所以或，
所以在上有2個零點(diǎn)，故D正確．
故選：ACD
5．
【分析】令，可求t的范圍，利用同角的基本關(guān)系對已知函數(shù)化簡計算，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意知，，
令，由，得，
所以，則.
由，得，
所以，則原函數(shù)可化為，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得最大值，此時取得最小值.
故答案為：
6．
【分析】將已知條件切化弦，然后結(jié)合兩角和的正弦公式、正余弦定理，將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為，，間的關(guān)系，則問題可解.
【詳解】，
由余弦定理有：，
又，所以原式.
故答案為：
反思提升：
1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).
【考點(diǎn)2】三角函數(shù)求值問題
一、單選題
1．（2023·重慶·模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川眉山·三模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列代數(shù)式的值為的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·江蘇南通·一模）下列命題中是真命題的有（ ）
A．存在，，使
B．在中，若，則是等腰三角形
C．在中，“”是“”的充要條件
D．在中，若，則的值為或
三、填空題
5．（2023·福建三明·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，、、，當(dāng)時.寫出的一個值為 .
6．（21-22高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知，且，求的值為 ．
參考答案：
1．B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡所求代數(shù)式.
【詳解】原式
.
故選：B.
2．A
【分析】先根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【詳解】因為，所以，有，
所以
.
故選；A.
3．BCD
【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷B選項；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項.
【詳解】對于A選項，；
對于B選項，；
對于C選項，；
對于D選項，
.
故選：BCD.
4．AC
【分析】賦值法可以判斷A選項；在中根據(jù)正弦值相等，可得兩角相等或者互補(bǔ)可判斷B選項；根據(jù)正弦定理可判斷選項C；先由，求得，再由，結(jié)合大角對大邊求得，最后根據(jù)求值即可判斷選項D.
【詳解】對于A，當(dāng)時，正確；
對于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，錯誤；
對于C，(其中是外接圓的半徑)，正確；
對于D，因為，，所以.
因為，所以由正弦定理得，從而.
又因為，所以，
從而，錯誤；
故選：AC.
【點(diǎn)睛】解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數(shù)的關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響．
5．（滿足或的其中一值）
【分析】利用平面向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合兩角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【詳解】由題意可得，，
所以，，同理可得，
則
，
所以，或，
解得或，
故答案為：（滿足或的其中一值）.
6．/
【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.
【詳解】，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計算可得：
，而，于是
.
故答案為：.
反思提升：
1.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.
2.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.
3.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，選正、余弦皆可；(2)若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦較好.
【考點(diǎn)3】三角恒等變換的應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·河北·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（ ）
A．0B．C．D．
二、多選題
2．（21-22高一下·福建廈門·期中）已知對任意角，均有公式.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足.面積S滿足.記a，b，c分別為A，B，C所對的邊，則下列式子一定成立的是( )
A．B．
C．D．
3．（20-21高三上·福建莆田·期中）對于三角形ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A．若sin2A＋sin2B＜sin2C，則三角形ABC是鈍角三角形
B．若A＞B，則sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的三角形ABC有兩個
D．若三角形ABC為斜三角形，則
三、填空題
4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)D，E分別在線段上，，°，則 ，的面積等于 ．
5．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）在中，已知，則 ， ．
6．（2022·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，，則 ， .
參考答案：
1．B
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化簡函數(shù)，由零點(diǎn)意義求得或，再借助正余弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解即得.
【詳解】依題意，
，
由，得或或（不符合題意，舍去），
函數(shù)是偶函數(shù)，在上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對稱，它們的和為0，
正弦函數(shù)的周期為，方程在的兩根和為，
在上的兩根和為，因此在上
的兩根和構(gòu)成首項為，末項為的等差數(shù)列，共有項，所有根的和為.
故選：B
2．CD
【分析】結(jié)合已知對進(jìn)行變形化簡即可得的值，從而判斷A；根據(jù)正弦定理和三角形面積，借助于△ABC外接圓半徑R可求的范圍，從而判斷B；根據(jù)的值，結(jié)合△ABC外接圓半徑R即可求abc的范圍，從而判斷C；利用三角形兩邊之和大于第三邊可得，從而判斷D﹒
【詳解】∵△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足，
∴，即，
∴，
由題可知，，
∴，
∴
∴，
∴有，故A錯誤；
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，
由正弦定理可知，，
∴，
∴，∴，故B錯誤；
，故C正確；
，故D正確．
故選：CD．
3．ABD
【解析】對于A，先利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，再利用余弦定理可判斷三角形的角的大?。粚τ贐，由三角形中大角對大邊，再結(jié)合正弦定理判斷；對于C，利用余弦定理求解即可；對于D，利用三角函數(shù)恒等變換公式判斷
【詳解】對于A，因為sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以為鈍角，所以三角形ABC是鈍角三角形，所以A正確；
對于B，因為A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正確；
對于C，由余弦定理得，，所以，所以符合條件的三角形ABC有一個，所以C錯誤；
對于D，因為，
所以
因為，
所以，
所以，所以D正確，
故選：ABD
4． ； .
【分析】在中，利用正弦定理求得和，再利用三角形面積公式直接求出的面積.
【詳解】在中，，點(diǎn)D，E分別在線段上，，
所以，.
因為，所以，所以，.
在中，,，,.
由正弦定理得：,即.
因為，
所以.
.
所以的面積為.
故答案為：；.
5．
【分析】先由正弦定理及三角公式求出；利用余弦定理求出.
【詳解】由正弦定理可知，，
整理化簡可得：.
因為所以為鈍角，為銳角.
因為，解得：.
由余弦定理得：，解得：或.
因為為鈍角，所以 ，所以.故（舍去）.
故答案為：
6．
【分析】由，利用三角公式求出；利用正弦定理直接求出BD.
【詳解】因為，所以，所以.
因為，所以，所以，
又為銳角，所以.
在中，，，，由正弦定理得：，即,解得：.
故答案為：；
反思提升：
三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·江西南昌·二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．5B．C．2D．4
4．（2023·陜西·一模）在中,如果,那么的形狀為（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不能確定
二、多選題
5．（2024·浙江·二模）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為B．關(guān)于點(diǎn)中心對稱
C．最大值為D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
6．（23-24高三下·廣西·開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D．在上單調(diào)遞增
7．（2023·河南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，且相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，，則（ ）
A．，
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱
D．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值
三、填空題
8．（2024·山西晉城·二模）已知，，則 ．
9．（2023·山西朔州·模擬預(yù)測）已知為銳角，且，則 .
10．（20-21高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）在中，角、、的對邊分別為、、，若，則的形狀為 .
四、解答題
11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，求的面積．
12．（2021·遼寧朝陽·二模）在①；②；③這三個條件中任選兩個，補(bǔ)充在下面問題中．
問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，______，______？若三角形存在，求的值；若不存在，說明理由．
參考答案：
1．D
【分析】利用余弦的和角公式化簡得，再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算即可.
【詳解】由已知知：，
化簡得
，
令，則，，
所以
.
故選：D
2．A
【分析】由倍角公式可得，根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.
【詳解】由題意可得：.
故選：A.
3．A
【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識求得正確答案.
【詳解】，
所以，則，
所以
故選：A
4．D
【分析】將寫為,將寫為,代入題中式子,展開化簡,即可得均為銳角,但無法確定大小,由此選出結(jié)果.
【詳解】解:由題知,因為中,
所以
,
故,即均為銳角,
但無法確定大小,故的形狀不能確定.
故選:D
5．BC
【分析】首先化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.
【詳解】，
，
函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；
，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；
，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；
由，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：BC
6．BCD
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，即可代入驗證求解對稱軸以及對稱中心，利用整體法即可判斷D，根據(jù)周期公式即可求解A.
【詳解】，
對于A，的最小正周期為，故A錯誤，
對于B, ,故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確，
對于C，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確，
對于D，時，，故在上單調(diào)遞增，D正確，
故選：BCD
7．CD
【分析】先把化成的形式，結(jié)合兩對稱軸之間的距離為，求出周期，進(jìn)而確定的值，在根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.
【詳解】因為，因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以其最小正周期為，所以；
又，所以，即，所以，故A錯誤；
對于B，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，顯然不是其子集，故B錯誤；
對于C，平移后得到圖象的函數(shù)解析式為，為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于軸對稱，故C正確；
對于D，因為，當(dāng)，即時取得最大值，故D正確.
故選:CD
8．
【分析】由切化弦可得，結(jié)合兩角和差公式分析求解.
【詳解】因為，即，可得，
又因為，可得，
所以.
故答案為：.
9．
【分析】利用兩角和的正弦公式化簡得到，利用輔助角公式得到，即可求出，從而得解.
【詳解】因為，
，
又，
所以，所以，即，
因為為銳角，所以，所以，所以，即.
故答案為：
10．直角三角形
【分析】利用正弦定理邊角互化思想求得的值，可求得角的值，進(jìn)而可判斷出的形狀.
【詳解】，由正弦定理得，
即，
，則，，，.
因此，為直角三角形.
故答案為：直角三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想判斷三角形的形狀，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
11．(1)
(2)或
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式得到，整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)求出，由誘導(dǎo)公式得到或，分兩種情況，結(jié)合三角形面積公式求出答案.
【詳解】（1）因為
令，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）由（1）可得，所以，
因為，所以，
所以，故，
因為，且，
所以，解得或，經(jīng)檢驗，均符合要求，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
12．答案不唯一，具體見解析
【分析】①根據(jù)平方差公式將其進(jìn)行化簡，并結(jié)合余弦定理，可得；
③結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、二倍角公式，可得;
選擇①②，結(jié)合，與兩角和差公式化簡條件②，推出，再由正弦定理，得解;
選擇①③，根據(jù)特殊直角三角形的邊長比例關(guān)系，得解；
選擇②③，結(jié)合、三角形的內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式，推出，從而得解．
【詳解】①∵，即，
∴，
由余弦定理知，，
∵，∴．
③∵，
∴，即，
∵，∴，∴，即．
選擇①②：由上知，
∵，
∴，即，
∴，
∵，∴，
由正弦定理知，，
∴，∴．
選擇①③：，
∵，∴．
選擇②③：由上知，
∵，
∴，即，
∴．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則直線與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多選題
2．（2020高三下·山東·學(xué)業(yè)考試）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．“，”的否定是“，”
D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
三、填空題
3．（2021·北京海淀·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，滿足方程組，則的一個值是 .
四、解答題
4．（2024·河北·模擬預(yù)測）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并解答．
問題：設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，______.
(1)求；
(2)求的周長.
注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.
參考答案：
1．C
【分析】先將函數(shù)化簡得，再結(jié)合以及的任意性求出的值，從而求出的解析式，再數(shù)形結(jié)合探究即可得出結(jié)果.
【詳解】由題，
由知，
所以，解得，
所以.
對于，令，得；令，得，
故直線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).
易知的圖象也過點(diǎn)與點(diǎn)，
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象與直線，如圖所示：
結(jié)合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點(diǎn)，
故選：C.
2．BC
【解析】根據(jù)齊次式計算，錯誤，，正確，特稱命題的否定是全稱命題，正確，平移后得到偶函數(shù)，錯誤，得到答案.
【詳解】，則，故錯誤；
，則，正確；
根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題：“，”的否定是“，”，故正確；
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到為偶函數(shù)，故錯誤.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了齊次式求值，函數(shù)取值范圍，命題的否定，函數(shù)平移和奇偶性，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
3．（滿足或的值均可）
【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】解：實(shí)數(shù)，滿足方程組，
則，
由于，
所以，則；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取時，．
故答案為：（滿足或的值均可）
4．(1)
(2)
【分析】（1）由三角形中，代入已知化簡得出，即可計算得出答案；
（2）若選①：由余弦定理結(jié)合（1）與已知得出，再由①角化邊得出，兩式聯(lián)立解出與，即可得出答案；
若選②：由②結(jié)合余弦定理得出，即可結(jié)合已知與（1）化解得出的值，再由余弦定理求出的值，即可得出答案.
【詳解】（1）在中，，
，
，
，
則，
化簡得.
在中，，
.
又，
.
（2）由余弦定理，得，即.
若選①，
，即，且，
，，
此時的周長為.
若選②，
，
，即，
又，
，
此時的周長為．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·三模）若函數(shù)在內(nèi)恰好存在8個，使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值是
B．若，則在上單調(diào)遞減
C．若在上恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍為
D．函數(shù)的值域為
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，是邊上一點(diǎn)，且，，若為鈍角，則當(dāng)最小時， ．
參考答案：
1．D
【分析】化簡函數(shù)式為，題意說明，得，由正弦函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)得的范圍．
【詳解】由題意可得：
，
由可得，
因為，，則，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．
2．AC
【分析】化簡，根據(jù)的值域可判斷A；求出的范圍，根據(jù)的單調(diào)性可判斷B；在上恰有3個零點(diǎn)得，求出的范圍可判斷C；求出，利用三角函數(shù)的值域可判斷D．
【詳解】
，
選項A：因為，所以，的最小值為，故A正確；
選項B：當(dāng)時，，由得，
所以在上單調(diào)遞增，故B錯誤；
選項C：由得，若在上恰有3個零點(diǎn)，
則，得，故C正確；
選項D：因為，所以，
所以，解得，故D錯誤．
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于化簡，再將正弦型函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.
3．
【分析】利用正弦定理可得，進(jìn)而中得，，進(jìn)而可得，可求的最小值，此時可求，進(jìn)而求得，利用余弦定理可求得.
【詳解】在中，由，得，
又，，，
所以，．
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．此時，，，．
在中，由余弦定理得，，
即，解得或，因為中，是鈍角，
所以，（提示：在鈍角三角形中，鈍角所對的邊為最長邊）所以．
故答案為：
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