第一章 空間向量與立體幾何 章節(jié)復(fù)習(xí) 夯實(shí)、拓展、感悟與提升 一、夯實(shí)雙基，逐層認(rèn)知 本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 重點(diǎn)1 空間向量的運(yùn)算 【空間向量的數(shù)乘運(yùn)算】 例1（1） 在三棱錐中，若是正三角形，為其中心，則化簡的結(jié)果為______.? 【解析】延長交邊于點(diǎn),則， ， 所以 【答案】 【空間向量的數(shù)量積運(yùn)算】 例1（2）已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長都等于1，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)， 則的值為_________. 【解析】根據(jù)題意為正四面體， 兩兩成角， 所以， ， 所以 . 【答案】 【投影向量】 例1（3）設(shè)平面向量滿足，，，則在方向上的投影向量為（????） A． B． C． D． 【解析】因?yàn)?，?所以在方向上的投影向量為. 故選A. 重點(diǎn)2 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 例2（多選）以下結(jié)論中，正確的是（ ） A.已知向量,則正實(shí)數(shù) B. 已知, 為原點(diǎn)，則與的夾角大小為 C. 從點(diǎn)沿向量的方向取線段，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 D. 已知向量若，則 【解析】對(duì)于A，由已知，，所以，解得，正確； 對(duì)于B，，所以，正確； 對(duì)于C，設(shè)，則,即. 因?yàn)閨，所以，解得，所以， 所以，正確； 對(duì)于D，，因?yàn)椋?所以，解得，故D錯(cuò)，故選ABC 重點(diǎn)3 空間中異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角或其夾角 例3 （多選）已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，下列結(jié)論中正確的是（ ） A. 異面直線與所成角的余弦值為 B. 與側(cè)面所成角的正弦值等于 C. 二面角的夾角的余弦值為 D. 平面與平面所成角的正切值為2 【解析】如圖,以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 ， ， 對(duì)于A，，正確； 對(duì)于B，設(shè)與平面所成的角為,易知為平面的一個(gè)法向量.則 ，正確； 對(duì)于C，設(shè)是平面的法向量，則 由，令，則， 又知是平面的一個(gè)法向量，所以二面角的夾角的余弦值為 ，正確； 對(duì)于D，是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量， 設(shè)平面與平面所成角為，則 ，所以，故選ABCD 重點(diǎn)4 空間中的距離問題 例4 如圖，三棱柱中，所有棱長都為2，且，平面平面， 點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求點(diǎn)到直線的距離． （3）求直線到平面的距離； （4）點(diǎn)到平面的距離. 【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)為，連接， 因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)， 所以，所以， 四邊形是平行四邊形，所以 又平面，平面 所以平面 （2）取中點(diǎn)，連接、，則， ∵，，， 由余弦定理， ∴， 又平面平面，平面平面， ∴平面， ∵是等邊三角形，∴， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 ∴， ∴， ∴點(diǎn)到直線的距離為 . （3）設(shè)是平面的法向量， 由， 令，則，所以是平面的一個(gè)法向量 點(diǎn)到平面的距離為 因?yàn)槠矫妫灾本€到平面的距離為. （4）設(shè)是平面的法向量， 由， 令，則，所以是平面的一個(gè)法向量 點(diǎn)到平面的距離為 二、拓展思維，熟知方法 重點(diǎn)5 空間向量的應(yīng)用 例5（定位問題、二面角問題）如圖，四棱錐中，底面， ，為的中點(diǎn)，． （1）求的長； （2）求二面角的正弦值． 【解析】（1）如圖，連接交于，因?yàn)?，即為等腰三角形?又平分，故． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，而，得，又， 故． 因平面，可設(shè)，由為邊中點(diǎn)，. 又＝，， 因?yàn)?，所以·，即?舍去)， 所以||＝. （2）由（1）知，，， 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為， 由，得，可取為平面的一個(gè)法向量 由，得 可取為平面的一個(gè)法向量． 所以，所以 所以二面角的正弦值為. 三、感悟問題，提升能力 1. （線線垂直，線面角、存在性問題）如圖所示，已知四棱錐的底面是直角梯形， 側(cè)面底面，點(diǎn)在線段上，且滿足. （1）求證： （2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成角為. 【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接 因?yàn)闉榈冗吶切危裕?又側(cè)面底面， 所以平面， 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)與平行的直線為軸，直線為軸， 建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，， 所以, 即 （2）因?yàn)?，，所以? 又，所以， 又平面的一個(gè)法向量， 直線與平面所成角為,， 所以， 化簡得，解得或（舍）. 所以，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角為. 2. （折疊問題、線面垂直、二面角）已知直角梯形，是邊上的中點(diǎn)，，，將沿折到的位置，使，點(diǎn)在上，且. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值. 【解析】（1）由已知，，為正方形， 所以，，四邊形是邊長為2的正方形， 因?yàn)?，且?所以平面， 又平面， 所以,又，且， 所以⊥平面. （2）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， 易知是平面的一個(gè)法向量， 設(shè)平面的法向量為， 由，令，則， 所以是平面的一個(gè)法向量 所以 所以二面角的余弦值為． 3. （線面平行、二面角、定位問題）如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形， 平面，，，是的中點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)． （1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面； （2）要使二面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置． 【解析】（1）方法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接． 由已知得且， 又是的中點(diǎn)，則且， 所以是平行四邊形 ∴，又平面，平面 平面 方法二：由已知，兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，則，所以，，， 設(shè)是平面的法向量 由，令，則， 所以平面的一個(gè)法向量 由，得 又平面， 所以平面 （2）由已知可得平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)，設(shè)是平面的法向量 由，令，則， 所以是平面的一個(gè)法向量 由已知，， 解得 所以，要使二面角的大小為，只需. 4. （數(shù)學(xué)文化、二面角問題）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接. （1）證明：⊥平面，試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由. （2）若面與面所成二面角的大小為，求 QUOTE DCBC 的值. 【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 ， 于是，所以 又已知，而， 所以⊥平面. 因?yàn)?，所以，?所以平面 由平面，⊥平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為. （2）由平面，所以是平面的一個(gè)法向量; 由（1）知⊥平面.，所以 QUOTE BP→ 是平面的一個(gè)法向量. 若面與面所成二面角的大小為，則 解得，所以 所以當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.

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