1．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于( )
A．3 B．6 C．－9 D．9
答案 C
解析 由題意可得u⊥v，
∴u·v＝3＋6＋z＝0，解得z＝－9.
2．已知直線l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直線l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，則m＋3n的值是( )
A．－6 B．6 C．14 D．－14
答案 A
解析 ∵l1∥l2，∴a∥b，
則eq \f(－1,2)＝eq \f(2,n)＝eq \f(m,－12)，
解得n＝－4，m＝6，
∴m＋3n＝6－12＝－6.
3．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a為平面ABC的法向量，則y2等于( )
A．2 B．0 C．1 D．3
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，－1，－2)，
由a為平面ABC的法向量知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·\(AB,\s\up6(→)) ＝0，,a·\(AC,\s\up6(→)) ＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,－x－y－2z＝0，))
令x＝－1，則y＝1，∴y2＝1.
4．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2,1)，點A(－1,3,0)在α內(nèi)，則P(－2,1,4)到α的距離為( )
A．10 B．3 C.eq \f(8,3) D. eq \f(10,3)
答案 D
解析 eq \(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，
又平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，
所以P到α的距離為eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|－2－4－4|,3)＝eq \f(10,3).
5．若點A(2,3,2)關(guān)于Ozx平面的對稱點為A′，點B(－2,1,4)關(guān)于y軸的對稱點為B′，點M為線段A′B′的中點，則|MA|等于( )
A.eq \r(30) B．3eq \r(6) C．5 D.eq \r(21)
答案 C
解析 ∵點A(2,3,2)關(guān)于Ozx平面的對稱點為A′，
∴A′(2，－3,2)，
∵點B(－2,1,4)關(guān)于y軸的對稱點為B′，∴B′(2,1，－4)，
∵點M為線段A′B′的中點，
∴M(2，－1，－1)，
∴|MA|＝eq \r(?2－2?2＋?－1－3?2＋?－1－2?2)＝5.
6．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是( )
A.eq \f(\r(6)a,6) B.eq \f(\r(3)a,6)
C.eq \f(\r(3)a,4) D.eq \f(\r(6)a,3)
答案 A
解析 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0,0,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，
∴eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，0，\f(a,2)))，eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a,0)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(a,0，a)．
設(shè)平面MBD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DM,\s\up6(→))＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋\f(a,2)z＝0，,ax＋ay＝0，))
令x＝1，則y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)．
∴點A1到平面MBD的距離d＝eq \f(|\(DA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|a－2a|,\r(6))＝eq \f(\r(6),6)a.
二、多項選擇題
7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1和C1D1的中點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD,\s\up6(→))1－eq \(DC,\s\up6(→))
D．點D與點B1到平面CEF的距離相等
答案 AC
解析 對A，因為E，F(xiàn)分別是A1D1和C1D1的中點，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．
對B，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1邊長為2，則eq \(B1D,\s\up6(→))＝(－2，－2，－2)，eq \(FC,\s\up6(→))＝(0,1，－2)．故eq \(B1D,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝0－2＋4＝2≠0.故eq \(B1D,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))不互相垂直．又CF?平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．
對C，eq \(CE,\s\up6(→))＝(1，－2,2)，eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD,\s\up6(→))1－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(2,0,0)＋(0,0,2)－(0,2,0)＝(1，－2,2)．故eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD,\s\up6(→))1－eq \(DC,\s\up6(→))成立．
對D，點D與點B1到平面CEF的距離相等，則點D與點B1中點O在平面CEF上．連接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又點D與點B1中點O在A1ACC1上，故點O不在平面CEF上．故D不成立．
8.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為CC1，BC，CD，BB1的中點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．B1G⊥BC
B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1
C．A1H∥平面AEF
D．平面EAF與平面AFC的夾角為eq \f(π,4)
答案 BC
解析 由題意可知，B1G在底面上的射影為BG，而BC不垂直BG，則B1G不垂直于BC，則選項A不正確；
連接AD1和BC1，由E，F(xiàn)，G，H分別為CC1，BC，CD，BB1的中點，可知EF∥BC1∥AD1，則平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以選項B正確；
由題知，可設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，則各點坐標如下：A(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，F(xiàn)(1,2,0)，eq \(A1H,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AF,\s\up6(→))＝0，,n·\(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＝0，,x－z＝0，))令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的法向量為n＝(2,1,2)，所以eq \(A1H,\s\up6(→))·n＝0，所以A1H∥平面AEF，則C選項正確；
由圖可知，AA1⊥平面AFC，所以eq \(AA1,\s\up6(→))是平面AFC的法向量，則cs〈eq \(AA1,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\(AA1,\s\up6(→))·n,|\(AA1,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(2,3).平面EAF與平面AFC的夾角的大小不是eq \f(π,4)，所以D不正確.
三、填空題
9．已知空間三點A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直線AB上一點M滿足CM⊥AB，則點M的坐標為________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))
解析 設(shè)M(x，y，z)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq \(CM,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z＋3)，
由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＋y－2＝0，,x＝－y，,z－1＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝1，))
∴點M的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).
10．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中點，則平面EFD1B1和平面GHDB的距離是________．
答案 eq \f(2,3)
解析 因為平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，
所以平面EFD1B1和平面GHDB的距離，就是EF到平面GHDB的距離，也就是點F到平面GHDB的距離．
建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，
則eq \(DF,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(DH,\s\up6(→))＝(0,1,2)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．
設(shè)平面GHDB的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DH,\s\up6(→))＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))
不妨取y＝－2，則n＝(2，－2,1)，
所以點F到平面GHDB的距離d＝eq \f(|\(DF,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|1×2＋0×?－2?＋0×1|,\r(22＋?－2?2＋12))＝eq \f(2,3)，
即平面EFD1B1和平面GHDB的距離也是eq \f(2,3).
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1 ，則異面直線BA1與AC1所成的角的大小為________．
答案 60°
解析 ∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，且∠BAC＝90°，
∴以點A 為坐標原點，分別以AC，AB，AA1所在直線為x，y，z 軸建立空間直角坐標系，
設(shè)AB＝AC＝AA1＝1，
則A(0,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,0,1)，
∵eq \(BA1,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))1＝(1,0,1)，
∴cs〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))1〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))1,|\(BA1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))1|)＝eq \f(0×1－1×0＋1×1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2).
∴異面直線BA1與AC1所成的角等于60° .
12．已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．則△ABC的面積為________，△ABC中AB邊上的高為________．
答案 3eq \r(21) 3eq \r(6)
解析 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,0，－8)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋9＋4)＝eq \r(14)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(4＋0＋64)＝2eq \r(17)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|·|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－14,\r(14)×2\r(17))＝eq \f(－\r(14),2\r(17))，
sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－\f(14,68))＝eq \r(\f(27,34)).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)×eq \r(14)×2eq \r(17)×eq \r(\f(27,34))＝3eq \r(21)，
設(shè)AB邊上的高為CD，則CD＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \f(2S△ABC,|\(AB,\s\up6(→))|)＝3eq \r(6).
四、解答題
13.如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點，AC＝BC＝BB1.
求證：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.
證明 如圖，以C1為原點，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，
則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)，
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－2,2，－2)，
因此eq \(BC1,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0－4＋4＝0，
因此eq \(BC1,\s\up6(→))⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，
故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中點E，連接DE，由于E(1,0,1)，
所以eq \(ED,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
又eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－2，－2)，
所以eq \(ED,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC1,\s\up6(→))，
又ED和BC1不共線，所以ED∥BC1，
又DE?平面CA1D，BC1? 平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
14.如圖，在多面體ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)證明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．
(1)證明 如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.
由題意知各點坐標如下：
A(0，－eq \r(3)，0)，B(1,0,0)，
A1(0，－eq \r(3)，4)，B1(1,0,2)，C1(0，eq \r(3)，1)．
因此eq \(AB1,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，2)，eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝(1，eq \r(3)，－2)，
eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝(0,2eq \r(3)，－3)．
由eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝0得AB1⊥A1B1.
由eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝0得AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ.
由(1)可知eq \(AC1,\s\up6(→))＝(0,2eq \r(3)，1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)，0)，eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,2)．設(shè)平面ABB1的法向量為n＝(x，y，z)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(BB1,\s\up6(→))＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y＝0，,2z＝0，))
令y＝1，則x＝－eq \r(3)，z＝0，
可得平面ABB1的一個法向量n＝(－eq \r(3)，1,0)．
所以sin θ＝|cs〈eq \(AC1,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(AC1,\s\up6(→))·n|,|\(AC1,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(\r(39),13).
因此直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是eq \f(\r(39),13).
15.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．
(1)求證：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；
(3)若平面AB1E與平面A1B1E夾角的大小為30°，求AB的長．
(1)證明 以A為原點，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)．
設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，
D(0,1,0)，D1(0,1,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．
故eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
eq \(B1E,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，1，－1))，
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1，0)).
∵eq \(AD1,\s\up6(→))·eq \(B1E,\s\up6(—→))＝－eq \f(a,2)·0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B1E⊥AD1.
(2)解 假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此時eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)．
設(shè)平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)．
則n⊥eq \(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq \(AE,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0.))
取x＝1，得平面B1AE的一個法向量
n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(a,2)，－a)).
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥eq \(DP,\s\up6(→))，
即n·eq \(DP,\s\up6(→))＝0，eq \f(a,2)－az0＝0，
解得z0＝eq \f(1,2).
又DP?平面B1AE，
∴存在點P，使得DP∥平面B1AE，此時AP＝eq \f(1,2).
(3)連接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1為長方體及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，
∴AD1⊥B1C，
又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E?平面DCB1A1，
∴AD1⊥平面DCB1A1，
∴eq \(AD1,\s\up6(→))是平面DCB1A1即平面A1B1E的一個法向量，
且eq \(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)．
設(shè)eq \(AD1,\s\up6(→))與n所成的角為θ，
則cs θ＝eq \f(n·\(AD1,\s\up6(→)),|n|·|\(AD1,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(a,2)－a,\r(2)×\r(1＋\f(a2,4)＋a2)).
∵平面AB1E與平面A1B1E夾角的大小為30°，
∴|cs θ|＝cs 30°，
即eq \f(\f(3a,2),\r(2)×\r(1＋\f(5a2,4)))＝eq \f(\r(3),2).
解得a＝2，即AB的長為2.

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