A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：選D 雙曲線x2－my2＝1的實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2 eq \r(\f(1,m))，由雙曲線x2－my2＝1的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，可得2＝4 eq \r(\f(1,m))，解得m＝4.
2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為 eq \r(2)，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為( )
A． eq \r(2) B．2
C． eq \f(3\r(2),2) D．2 eq \r(2)
解析：選D ∵e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝ eq \r(2)，∴ eq \f(b,a)＝1.
∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝0.
∴點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離d＝ eq \f(4,\r(2))＝2 eq \r(2).
3．已知雙曲線的實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，且過(guò)點(diǎn)(5，3)，則雙曲線方程為( )
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,25)＝1 B． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,9)＝1
C． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,16)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1
解析：選D 由題意知，所求雙曲線是等軸雙曲線，設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以雙曲線方程為x2－y2＝16，
即 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1.
4．斜率為 eq \r(2)的直線與雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1， eq \r(3)) D．( eq \r(3)，＋∞)
解析：選D 因?yàn)樾甭蕿?eq \r(2)的直線與雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以 eq \f(b,a)> eq \r(2)，
所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))> eq \r(3).
所以雙曲線離心率的取值范圍是( eq \r(3)，＋∞).
5．已知雙曲線 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,m)＝1的離心率e∈(1，2)，則m的取值范圍是( )
A．(－12，0) B．(－∞，0)
C．(－3，0) D．(－60，－12)
解析：選A 顯然m0)，離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為______________．
解析：∵e＝ eq \f(c,a)＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝ eq \r(3)a，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \r(3)x.
答案：y＝± eq \r(3)x
9．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6，離心率為 eq \f(5,3).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)，且|PF1|＝10，求|PF2|.
解：(1)由題意知，2a＝6， eq \f(c,a)＝ eq \f(5,3)，解得a＝3，c＝5，
故b＝ eq \r(c2－a2)＝4.
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1.
(2)因?yàn)閍＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以點(diǎn)P可能在雙曲線的左支上也可能在雙曲線的右支上．
①若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，
則|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16;
②若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.
綜上，|PF2|＝16或4.
10．雙曲線 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(02，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍．
解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為
eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由已知得a＝ eq \r(3)，c＝2.
又因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故雙曲線C的方程為 eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)將y＝kx＋ eq \r(2)代入 eq \f(x2,3)－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6 eq \r(2)kx－9＝0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝(－6\r(2)k)2＋36(1－3k2)>0，))
即k2≠ eq \f(1,3)且k22得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ eq \r(2))(kxB＋ eq \r(2))
＝(k2＋1)xAxB＋ eq \r(2)k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)· eq \f(－9,1－3k2)＋ eq \f(\r(2)k·6\r(2)k,1－3k2)＋2＝ eq \f(3k2＋7,3k2－1)，
于是 eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，解此不等式得 eq \f(1,3)

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3.2 雙曲線

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