?第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　雙曲線的定義及其應(yīng)用
1.(2023黑龍江大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A.一條射線　　　　B.雙曲線的右支
C.雙曲線　　　　D.雙曲線的左支
2.如圖所示,平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)O1(-1,0)和O2(1,0).以O(shè)1為圓心,正整數(shù)i為半徑的圓記為Ai.以O(shè)2為圓心,正整數(shù)j為半徑的圓記為Bj.對(duì)于正整數(shù)k,點(diǎn)Pk是圓Ak與圓Bk+1的交點(diǎn),若點(diǎn)P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限,則這五個(gè)點(diǎn)都位于(　　)

A.直線上　　　　B.橢圓上
C.射線上　　　　D.雙曲線上
3.(2023廣東潮州高級(jí)中學(xué)月考)若點(diǎn)P是雙曲線C:x24?y212=1上一點(diǎn),F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn),則“|PF2|=5”是“|PF1|=9”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.(2023河南信陽(yáng)月考)設(shè)P為雙曲線C:x29?y216=1的右支上一點(diǎn),F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn),|PF1|=4|PF2|,則(　　)
A.P,F1,F2是一個(gè)銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
B.P,F1,F2是一個(gè)鈍角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
C.P,F1,F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
D.P,F1,F2不是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)
5.已知雙曲線x24?y25=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為10,則PF1的中點(diǎn)N到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為(　　)
A.3或7　　B.6或14　　C.3　　D.7
6.(2022甘肅慶陽(yáng)期末)已知雙曲線x24?y212=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為右支上一動(dòng)點(diǎn),Q(1,4),則|PQ|+|PF1|的最小值為　　　　.?
題組二　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
7.(2023吉林長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0,4),F2(0,-4),P是雙曲線上一點(diǎn)且||PF1|-|PF2||=6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.x27?y29=1　　　　B.x29?y27=1
C.y29?x27=1　　　　D.y27?x29=1
8.(2023湖南懷化期中)直線y=x和y=-x上各有一點(diǎn)P,Q,其中點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)分別為yP,yQ且滿足yPyQ0,b>0)的左、右焦點(diǎn),且F1(-7,0),過(guò)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)A,B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的方程為(　　)

A.5x27?5y228=1　　　　B.x26-y2=1
C.x2-y26=1　　　　D.5x228?5y27=1
10.(2023北京科技大學(xué)附屬中學(xué)期中)設(shè)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,-2),(0,2),且過(guò)點(diǎn)(0,1),則C的方程為　　　　　　.?
11.在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),則滿足sin C-sin B=12sin A時(shí)頂點(diǎn)A的軌跡方程為　　　　　　　.?
12.(2023天津一中月考)根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)與雙曲線x216?y24=1有相同的焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(32,2);
(2)過(guò)點(diǎn)P3,154,Q?163,5且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.



題組三　雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
13.(2023上海交大附中開(kāi)學(xué)考試)已知方程x2m2+n?y23m2?n=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-1,3)
C.(0,3)　　　　D.(0,3)
14.已知雙曲線C:x29?y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為C右支上的一點(diǎn),且|PF2|=|F1F2|,則△PF1F2的面積等于(　　)
A.24　　B.36　　C.48　　D.96
15.(2023江蘇無(wú)錫期中聯(lián)考)已知F1,F2分別是雙曲線C:x22-y2=1的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),則△AF1B的周長(zhǎng)的最小值為(　　)
A.42　　B.52　　C.62　　D.72
16.已知某雙曲線與橢圓x227+y236=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
能力提升練
題組一　雙曲線的方程及其應(yīng)用
1.(2023上海市西中學(xué)月考)在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),點(diǎn)C在雙曲線x216?y29=1上,則sinCsinB?sinA=(　　)
A.53　　B.±53　　C.±54　　D.?54
2.(2023安徽宣城期中聯(lián)考)已知F1,F2分別是雙曲線x24-y2=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)(不在x軸上),若△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為I,則圓心I到圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)的距離的最小值為(　　)
A.2　　B.5?1　　C.1　　D.5-2
3.黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值為5?12,5?12稱為黃金分割數(shù).已知雙曲線x2(5?1)2?y2m=1與x軸的兩交點(diǎn)間的距離與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù),則m的值為(　　)
A.25?2　　B.5+1　　C.2　　D.25
4.(2023河南開(kāi)封期中)已知雙曲線x29?4y29=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,Q是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)F1作∠F1QF2的平分線的垂線,則垂足M的軌跡方程為　　　　　　　.?
5.(2023湖南邵陽(yáng)二中期中)過(guò)雙曲線x2-y215=1的右支上一點(diǎn)P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點(diǎn)分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為　　　　.?
6.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2的直線交雙曲線右支于A,B兩點(diǎn),若BF1·BF2=0,且cos∠F1AF2=45,則ab=　　　　.?
題組二　雙曲線的實(shí)際應(yīng)用
7.A,B,C是我方三個(gè)炮兵陣地,A在B正東6 km處,C在B北偏西30°方向,相距4 km處,P為敵炮陣地.某時(shí)刻,在A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào),由于B,C兩地比A地距P地遠(yuǎn),因此經(jīng)過(guò)4 s后,B,C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào),此信號(hào)的傳播速度為1 km/s,若A地需炮擊P地,則炮擊的方向角為北偏東　　　　.?
8.如圖所示,B地在A地的正東方向4 km處,C地在B地的北偏東30°方向2 km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點(diǎn)到A的距離比其到B的距離遠(yuǎn)2 km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B,C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物.經(jīng)測(cè)算,從M到B,C兩地修建公路的費(fèi)用都是m萬(wàn)元/km,求修建這兩條公路的最低總費(fèi)用.

答案與分層梯度式解析
第三章　圓錐曲線的方程
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.B
2.D
3.A
4.D
5.A
7.C
8.B
9.C
13.A
14.C
15.C





1.B　因?yàn)閨PM|-|PN|=30,b>0),又雙曲線過(guò)點(diǎn)(0,1),故1a2=1,所以a=1,又c=2,故b2=c2-a2=1,所以雙曲線C的方程為y2-x2=1.
11.答案　x214?y234=1x>12
解析　在△ABC中,由正弦定理得|AB|sinC=|BC|sinA=|AC|sinB,∵sin C-sin B=12sin A,∴|AB|-|AC|=12|BC|=10,b>0),
由已知得2a=1,c=1,∴a=12,∴b2=c2-a2=34,
∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為x214?y234=1x>12.
易錯(cuò)警示　注意△ABC構(gòu)成的前提條件為A,B,C三點(diǎn)不共線,求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)要根據(jù)去除的點(diǎn)來(lái)限定變量的范圍.
12.解析　(1)解法一:由題可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),
則c2=16+4=20,即a2+b2=20①,
∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(32,2),∴18a2?4b2=1②.
由①②得a2=12,b2=8,
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212?y28=1.
解法二:設(shè)所求雙曲線的方程為x216?λ?y24+λ=1(-40).
∵點(diǎn)P,Q在雙曲線上,∴9a2?22516b2=1,2569a2?25b2=1,此方程組無(wú)解.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2?x2b2=1(a>0,b>0).
∵點(diǎn)P,Q在雙曲線上,∴22516a2?9b2=1,25a2?2569b2=1,解得a2=9,b2=16.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29?x216=1.
解法二:設(shè)雙曲線的方程為x2m+y2n=1,mn0,解得-m2

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3.2 雙曲線

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