高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)3.2 雙曲線課時(shí)練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第三章　3.2　3.2.2A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．雙曲線－＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)A．(±，0) B．(0，±)C．(±7,0) D．(0，±7)【答案】C【解析】由題意可知c2＝16＋33＝49，所以c＝7．由雙曲線方程可知焦點(diǎn)在x軸上．故選C．2．與雙曲線x2－＝1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1【答案】A【解析】依題意設(shè)雙曲線的方程為x2－＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(2,2)代入求得λ＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1．3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于(　　)A．－ B．－4C．4 D．【答案】A【解析】雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y2－＝1，則有a2＝1，b2＝－，由題設(shè)條件知2＝，所以m＝－．4．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(　　)A．4 B．3C．2 D．1【答案】C【解析】雙曲線－＝1的漸近線方程為3x±ay＝0，對(duì)比3x±2y＝0得a＝2．5．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為(　　)A．－＝1 B．－＝1C．－y2＝1 D．x2－＝1【答案】D【解析】由雙曲線的漸近線bx±ay＝0與圓(x－2)2＋y2＝3相切可知＝，又因?yàn)?/span>c＝＝2，所以有a＝1，b＝，故雙曲線的方程為x2－＝1．6．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　)A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x【答案】C【解析】因?yàn)?/span>e＝＝，不妨設(shè)a＝4，c＝1，則b＝，所以對(duì)應(yīng)雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x．7．(多選)已知雙曲線9y2－4x2＝－36，則(　　)A．該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4C．該雙曲線的離心率為 D．該雙曲線的漸近線方程為±x【答案】ABCD【解析】將9y2－4x2＝－36化為標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，所以實(shí)軸長(zhǎng)2a＝6，虛軸長(zhǎng)2b＝4，離心率e＝＝，漸近線方程為y＝±x＝±x．故選ABCD．8．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則k的取值范圍是__________．【答案】(－12,0)【解析】雙曲線方程可變?yōu)?/span>－＝1，則a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因?yàn)?/span>e∈(1,2)，則1＜＜2，解得－12＜k＜0．9．雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為________．【答案】90°【解析】因?yàn)?/span>e＝＝，所以＝，即a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x．∴所以雙曲線兩條漸近線的夾角為90°．10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F(2,0)，離心率e＝2．(1)求雙曲線C的方程；(2)若斜率為1的直線與雙曲線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于4，求直線l的方程．解：(1)由已知得c＝2，e＝2，∴a＝1，b＝．∴雙曲線C方程為x2－＝1．(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，點(diǎn)M(x1y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立得2x2－2mx－m2－3＝0，①設(shè)MN中點(diǎn)為(x0，y0)，則x0＝＝，y0＝x0＋m＝m，∴線段MN的垂直平分線方程為y－m＝－，即x＋y－2m＝0，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為(0,2m)，(2m,0)，得|2m|·|2m|＝4，則m2＝2，即m＝±，代入①得Δ＞0，所以l的方程為y＝x±．B級(jí)——能力提升練11．(多選)下列說法正確的是(　　)A．以直線2x±3y＝0為漸近線，過點(diǎn)(1,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1B．與雙曲線－＝1具有相同的漸近線，且過點(diǎn)M(3，－2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1C．過點(diǎn)(2,0)，與雙曲線－＝1離心率相等的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1D．與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1【答案】ABC【解析】對(duì)于A，設(shè)所求雙曲線方程為4x2－9y2＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入方程，解得λ＝－32，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，A正確．對(duì)于B，設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，由點(diǎn)M(3，－2)在雙曲線上，得－＝λ，λ＝－2，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，B正確．對(duì)于C，當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)其方程為－＝λ(λ＞0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1；當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)其方程為－＝λ(λ＞0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝－＜0(舍去)，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1，C正確．對(duì)于D，由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)，因?yàn)?/span>e＝＝，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝5，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，D錯(cuò)誤．故選ABC．12．已知雙曲線－＝1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，則·＝(　　)A．0 B．1C． D．2【答案】A【解析】由漸近線方程為y＝x知，＝1，所以b＝．因?yàn)辄c(diǎn)P(，y0)在雙曲線上，所以y0＝±1．y0＝1時(shí)，P(，1)，F1(－2,0)，F2(2,0)，所以·＝0；y0＝－1時(shí)，P(，－1)，·＝0．13．具有某種共同性質(zhì)的所有曲線的集合，稱為一個(gè)曲線系．已知雙曲線C1：－＝1與雙曲線C2有共同的漸近線，雙曲線C2的漸近線方程是__________；若雙曲線C2還經(jīng)過點(diǎn)M(，4)，則雙曲線C2的離心率為__________．【答案】y＝±x　2【解析】C1：－＝1的漸近線方程為y＝±x，雙曲線C1，C2有共同的漸近線，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±x．設(shè)雙曲線C2的方程為－＝k(k≠0)，將點(diǎn)M(，4)代入得－＝k，解得k＝－5，所以雙曲線C2的方程為－＝1，離心率e＝＝2．14．如圖，已知F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．【答案】(1,2)【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB為銳角，所以∠AEF＜45°，所以＝AF＜FE＝a＋c，所以e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2．又因?yàn)?/span>e＞1，所以1＜e＜2，所以e∈(1,2)．15．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上，當(dāng)BF⊥AF時(shí)，|AF|＝|BF|．(1)求雙曲線C的離心率；(2)若點(diǎn)B在第一象限，求證：∠BFA＝2∠BAF．(1)解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則F(c,0)，B．∵|AF|＝|BF|，故＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0．∴e＝2．(2)證明：設(shè)B(x0，y0)，其中x0＞a，y0＞0．∵e＝2，故c＝2a，b＝a．故漸近線方程為y＝±x，∴∠BAF∈，∠BFA∈．又∵tan∠BFA＝－＝－，tan∠BAF＝，∴tan2∠BAF＝＝＝＝＝＝＝－＝tan∠BFA．而2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF．

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