單元素養(yǎng)強化(一)　空間向量與立體幾何[對應(yīng)學(xué)生用書P130]1．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　)A．＝－＋　　 B．＝－C．＝＋     D．＝－A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.]2．A，B，C不共線，對空間任意一點O，若＝＋＋，則P，A，B，C四點(　　)A．不共面     B．共面C．不一定共面     D．無法判斷B　[∵＋＋＝1，∴點P，A，B，C四點共面．]3．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．|b|＝1     B．a⊥bC．a·b＝1     D．(4a＋b)⊥D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.]4．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，∴cos 〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，∴a與b的夾角為.]5．(多選題)(2019·江蘇徐州高二期末)下列命題中正確的是(　　)A．A，B，M，N是空間中的四點，若，，不能構(gòu)成空間基底，則A，B，M，N四點共面B．已知{a，b，c}為空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的基底C．若直線l的方向向量為e＝(1，0，3)，平面α的法向量為n＝(－2，0，)，則直線l∥αD．若直線l的方向向量為e＝(1，0，3)，平面α的法向量為n＝(－2，0，2)，則直線l與平面α所成角的正弦值為ABD　[對于A，A，B，M，N是空間中的四點，若，，不能構(gòu)成空間基底，則，，共面，則A，B，M，N四點共面，故A對；對于B，已知為空間的一個基底，則a，b，c不共面，若m＝a＋c，則a，b，m也不共面，則也是空間的基底，故B對；對于C，因為e·n＝1×(－2)＋0×0＋3×＝0，則e⊥n，若l?α，則l∥α，但選項中沒有條件l?α，有可能會出現(xiàn)l?α，故C錯；對于D，∵cos 〈e，n〉＝＝＝，則直線l與平面α所成角的正弦值為，故D對．故選A、B、D.]6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為(　　 )A．      B．      C．      D．A　[∵AB＝1，AC＝2，BC＝，AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC.∵三棱柱為直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.以B為原點，BC，BA，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A(0，1，0)，C(，0，0).設(shè)B1(0，0，a)，則C1(，0，a)，∴D，E，∴＝，平面BB1C1C的法向量＝(0，1，0).設(shè)直線DE與平面BB1C1C所成的角為α，則sin α＝|cos 〈，〉|＝，∴α＝.]7．(多選題)(2020·福建福州高二期末)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是A1D1和C1D1的中點，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．A1C1∥平面CEFB．B1D⊥平面CEFD．點D與點B1到平面CEF的距離相等AC　[對A，因為E，F分別是A1D1和C1D1的中點，故EF∥A1C1，又A1C1?平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立．對B，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1邊長為2＝0－1＋4＝3≠0.又CF?平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).對D，點D與點B1到平面CEF的距離相等則點D與點B1中點O在平面CEF上．連接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又點D與點B1中點O在平面A1ACC1上，故點O不在平面CEF上．故D不成立．故選A、C.]8．在直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和點Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為________．或　[由OP⊥OQ，得·＝0.即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.∴cos x＝0或cos x＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.]9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為BB1，CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為________．　[取AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)，F(，1，0)，D1(0，1，1).所以點F到平面A1D1E的距離10．(2020·浙江瑞安高一期末)如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BC、C1D1的中點，則異面直線A1E、CF所成角的大小為________；平面A1EF與平面A1B1C1D1所成銳二面角的余弦值為________． 　　[(1)以D為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)，設(shè)異面直線A1E、CF所成角的大小為θ，所以cos θ＝因為θ∈，所以θ＝.(2) 設(shè)平面A1EF的一個法向量為m＝(x，y，z)，令x＝1，則m＝(1，2，3)，平面A1B1C1D1一個法向量為n＝(0，0，1)，設(shè)平面A1EF與平面A1B1C1D1所成銳二面角為α，所以cos α＝＝＝.] 11．如圖所示，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在BB1上，EB1＝1，D，F，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點，EF與B1D相交于點H.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD. 證明　(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A1(a，0，0)，則B1(0，0，0)，C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G.∴＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2).0＋4－4＝0.∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，AB，BD?平面ABD，∴B1D⊥平面ABD.(2)∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，＝，＝(0，1，－1)，∴＝，＝.∴GF∥AB，EF∥BD.又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.12．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為A1D1，CC1的中點．(1)求證：EF∥平面ACD1；(2)求異面直線EF與AB所成角的余弦值；(3)在棱BB1上是否存在一點P，使得平面ACP與平面ABC的夾角的大小為30°？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由． (1)證明　如圖，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，2，1).取AD1的中點G，則G(1，0，1)，＝(1，－2，1).又＝(－1，2，－1)，∴＝－，∴與共線．從而EF∥CG.∵CG?平面ACD1，EF?平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.(2)解　∵＝(0，2，0)，cos 〈，〉＝＝＝，∴異面直線EF與AB所成角的余弦值為.(3)解　假設(shè)滿足條件的點P存在，可設(shè)點P(2，2，t)(0＜t≤2)，平面ACP的一個法向量為n＝(x，y，z)，則∵＝(0，2，t)，＝(－2，2，0)，∴取n＝(1，1，－).易知平面ABC的一個法向量BB1＝(0，0，2).∴|cos 〈BB1，n〉|＝＝.即＝(2＋)，解得t＝.∵∈(0，2]，∴在棱BB1上存在一點P，當(dāng)BP的長為時，平面ACP與平面ABC的夾角的大小為30°.
 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

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