1 掌握二次函數(shù)的概念，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題。
2 掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。
3 能夠利用二次函數(shù)解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力。
重點：
1 掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì)。
2 掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。
難點：
1 理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
2 利用二次函數(shù)解決實際問題。
二、學習過程
章節(jié)介紹
二次函數(shù)是初中階段函數(shù)中的重要函數(shù)，它在解決各類數(shù)學問題和實際問題中有著廣泛的應用。掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是學習二次函數(shù)的基礎(chǔ)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線拋的開口方向，頂點坐標，對稱軸，與坐標軸交點坐標、確定二次函數(shù)的解析式為必須掌握內(nèi)容，理解二次函數(shù)與各系數(shù)之間的關(guān)系，靈活運用二次函數(shù)解決實際問題。二次函數(shù)是體現(xiàn)綜合性的重點內(nèi)容，在期中期末試卷中既有相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)題，也有新穎的試題來考查學生的分析，解決問題能力，實踐和創(chuàng)新能力，因此經(jīng)常與一次函數(shù)，三角形，四邊形知識結(jié)合在一起，成為試卷的壓軸題。
知識梳理
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如____________________(其中___________是常數(shù)，a__________0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中，_____________是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的__________、_____________和____________。
2.二次函數(shù)的特殊形式：
1)當___________________時， y＝ax2＋c（a≠0）
2)當___________________時， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)當___________________時， y＝ax2 （a≠0）
3.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：
一般方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的____________；
2）然后用題設(shè)的__________________表示這個等量關(guān)系；
3）列出相應二次函數(shù)的關(guān)系式。
4.二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)
5. 二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征和性質(zhì)
6. 二次函數(shù)y=a(x-h) 2的圖象特征和性質(zhì)
7. 二次函數(shù)y=a(x-h) 2+k的圖象特征和性質(zhì)
8. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征和性質(zhì)
9.求二次函數(shù)解析式的一般方法：
1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入____________的坐標列出關(guān)于____________的方程組，并求出a, b, c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.
2）頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標點____________，可設(shè)頂點式y(tǒng)=____________，再將____________代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.
3）交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與____________的兩個交點為____________時，可設(shè)y=____________，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.
10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象各項系數(shù)的關(guān)系：
1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中
①當a____________0時，拋物線開口向____________，a的值越____________，開口越____________；
②當a____________0時，拋物線開口向____________，a的值越____________，開口越____________；
【總結(jié)】a的____________決定開口方向，a的____________決定開口的大小(|a|越____________，拋物線的開口____________)．
2）在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置。
即對稱軸x= - b2a 在y軸____________則____________>0，在y軸的____________則____________0）的圖象經(jīng)過點P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．
(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．
(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．
4．已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.
(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點.求二次函數(shù)的表達式，并寫出當時x的取值范圍.
(2)請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由.
查題型八 二次函數(shù)與實際問題
1．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？
(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
2．某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．
(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
(2)當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．
3．根據(jù)以下素材，探索完成任務．
4．如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系．軸是拋物線的對稱軸，最高點到地面距離為4米．
(1)求出拋物線的解析式．
(2)在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？
(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結(jié)論．
5．某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達式為．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．
第二十二章 二次函數(shù)（知識清單）
一、學習目標
1）掌握二次函數(shù)的概念，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題。
2）掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。
3)能夠利用二次函數(shù)解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力。
重點：
1）掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì)。
2) 掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。
難點：
1) 理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
2) 利用二次函數(shù)解決實際問題。
二、學習過程
章節(jié)介紹
二次函數(shù)是初中階段函數(shù)中的重要函數(shù)，它在解決各類數(shù)學問題和實際問題中有著廣泛的應用。掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是學習二次函數(shù)的基礎(chǔ)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線拋的開口方向，頂點坐標，對稱軸，與坐標軸交點坐標、確定二次函數(shù)的解析式為必須掌握內(nèi)容，理解二次函數(shù)與各系數(shù)之間的關(guān)系，靈活運用二次函數(shù)解決實際問題。二次函數(shù)是體現(xiàn)綜合性的重點內(nèi)容，在期中期末試卷中即有相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)題，也有新穎的試題來考查學生的分析，解決問題能力，實踐和創(chuàng)新能力，因此經(jīng)常與一次函數(shù)，三角形，四邊形知識結(jié)合在一起，成為試卷的壓軸題。
知識梳理
1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+ bx +c (其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
2. 二次函數(shù)的特殊形式：
1)當b＝0時， y＝ax2＋c（a≠0）
2)當c＝0時， y＝ax2＋bx （a≠0）
3)當b＝0，c＝0時， y＝ax2 （a≠0）
3.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：
一般方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的等量關(guān)系；
2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個等量關(guān)系；
3）列出相應二次函數(shù)的關(guān)系式。
4.二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)
5. 二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征和性質(zhì)
6. 二次函數(shù)y=a(x-h) 2的圖象特征和性質(zhì)
7. 二次函數(shù)y=a(x-h) 2+k的圖象特征和性質(zhì)
8. 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征和性質(zhì)
9.求二次函數(shù)解析式的一般方法：
1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個點的坐標列出關(guān)于a, b, c的方程組，并求出a, b, c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.
2）頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標點（h,k)，可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點的坐標代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.
3）交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與x軸的兩個交點為(x1,0)、(x2,0)時，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.
10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象各項系數(shù)的關(guān)系：
1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小
2)當a0，在y軸的右側(cè)則ab 0時，拋物線與y軸的交點在y軸正半軸；
2）當c = 0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點；
3）當c < 0時，拋物線與y軸的交點在y軸負半軸。
【小結(jié)】c決定了拋物線與y軸交點的位置．
11.二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象和x軸交點的三種情況與一元二次方程根的關(guān)系：
12.利用二次函數(shù)解決實際問題的步驟：
1.分析題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，畫出圖形.
2.根據(jù)已知條件建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?
3.選用適當?shù)暮瘮?shù)解析式求解.
4.根據(jù)二次函數(shù)的解析式解決具體的實際問題.
13.利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：
①找好自變量；
②利用相關(guān)的圖象面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式；
③利用函數(shù)的最值解決面積最值問題。
【注意】自變量的取決范圍。
14.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：
1.審：仔細審題，理清題意；
2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；
3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；
4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；
5.檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.
15.利用二次函數(shù)解決銷售利潤最值的方法：
巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
16.利用二次函數(shù)解決拱橋問題的方法：
1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼怠?br>2）根據(jù)題意找出已知點的坐標。
3）求出拋物線解析式。
4）直接利用圖象解決實際問題。
考點解讀
考查題型一 根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)
1．一個二次函數(shù)．
（1）求k的值．
（2）求當x=3時，y的值？
【詳解】解：（1）依題意有，
解得：k=2，
∴k的值為2；
（2）把k=2代入函數(shù)解析式中得：，
當x=3時，y=14，
∴y的值為14．
2．已知函數(shù)．
（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求的值
（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．
【詳解】解：（1）由題意得，解得；
（2）由題意得，，解得且．
3．已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍．
(2)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值．
(3)這個函數(shù)可能是正比例函數(shù)嗎？為什么？
【詳解】
(1)∵這個函數(shù)是二次函數(shù)，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵這個函數(shù)是一次函數(shù)，
∴∴m＝0.
(3)不可能．∵當m＝0時，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函數(shù)．
考查題型二 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)
1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．求：
(1)該函數(shù)解析式及對稱軸；
(2)試判斷點是否在此函數(shù)的圖象上．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為，
∴二次函數(shù)對稱軸為y軸；
（2）解：在中，當時，，
∴點不在此函數(shù)的圖象上．
2．已知是關(guān)于x的二次函數(shù).
(1)求滿足條件的k的值；
(2)k為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點.當x為何值時，y的值隨x值的增大而增大？
(3)k為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y的值隨x值的增大而減小？
【詳解】(1) 根據(jù)二次函數(shù)的定義得 解得k=±2.
∴當k=±2時，原函數(shù)是二次函數(shù).
(2) 根據(jù)拋物線有最低點，可得拋物線的開口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根據(jù)第(1)問得：k=2.
∴該拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點為(0，0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大.
(3) 根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得拋物線的開口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根據(jù)第(1)問得：k=-2.
∴該拋物線的解析式為，頂點坐標為(0，0)，
∴當k=-2時，函數(shù)有最大值為0. 當x＞0時，y隨x的增大而減小.
3．如圖，在正方形中，已知：點A，點B在拋物線上，點C，點D在x軸上．
(1)求點A的坐標；
(2)連接交拋物線于點P，求點P的坐標．
【詳解】（1）解：由題意可設(shè)，則，
∵點A在拋物線上，
∴，
∴或（舍去），
∴；
（2）解：設(shè)直線的解析式，
∵，，
∴，解得，
∴直線為，
由解得或，
∴P點的坐標為．
考查題型三 二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)
1．在同一個直角坐標系中作出y＝x2，y＝x2－1的圖象．
(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點坐標；
(2)拋物線y＝x2－1與拋物線y＝x2有什么關(guān)系？
【詳解】
解：如圖所示：
(1)拋物線y＝x2開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(0，0)；
拋物線y＝x2－1開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(0，－1)．
(2)拋物線y＝x2－1可由拋物線y＝x2向下平移1個單位長度得到．
2．已知二次函數(shù)．
求函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；
求這個函數(shù)圖象與軸的交點坐標．
【詳解】
（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，
對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2,4）
（2）當y=0時，-x2+4x=0，解得x=0或4，
∴圖象與x軸的交點坐標是（0，0）和（4，0）．
3．已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝﹣2x2+c．
（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖象的變與不變；
（2）若這兩個函數(shù)圖象的形狀相同，則a＝ ；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝ ；
（3）二次函數(shù)y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應值如表：
表中m、n、p的大小關(guān)系為 （用“＜”連接）．
【詳解】解：（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖象隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)y＝﹣2x2+c的圖象隨著c的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變；
（2）∵函數(shù)y＝ax2與函數(shù)y＝﹣2x2+c的形狀相同，
∴a＝±2，
∵拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位得到y(tǒng)＝ax2﹣2，與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案為：±2，﹣2．
（3）由函數(shù)y＝﹣2x2+c可知，拋物線開口向下，對稱軸為y軸，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案為：p＜m＜n．
考查題型四 二次函數(shù)y=a(x-h) 2的圖象和性質(zhì)
1．拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點A，與y軸交于點B，求△AOB的面積和周長．
【詳解】∵拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，
令，，
解得：，
令，，
，，
，，
由勾股定理得：
，
．
的面積為12，周長為．
2．已知函數(shù)，和．
(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；
(2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；
(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)和函數(shù)的圖象；
(4)分別說出各個函數(shù)的性質(zhì)．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，
開口向上，對稱軸為，頂點坐標為；
（3）解：由拋物線向左平移1個單位，由拋物線向右平移1個單位；
（4）解：當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，
當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，
當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大．
3．已知平面直角坐標系中，拋物線與直線，其中．
若拋物線的對稱軸為，
①m的值為_ ﹔
②當時，有 （填“”，“”或“”） ．
當時，若拋物線與直線有且只有一個公共點，請求出的取值范圍．
【詳解】解：（1）①由，
則對稱軸，
，
②把分別代入與得，
，，
；
（2）聯(lián)立、的解析式可得，，
整理得，，
則△，
，
，
即就是沒有直線與拋物線相切的情況．
當時，代入方程，
得，
（負值舍去），
，
當時，代入方程，
得，
，
又，
的取值為：．
考查題型五 二次函數(shù)y=a(x-h) 2+k的圖象和性質(zhì)
1．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.
（1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0，0)時，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如下圖，當m＝2時，該拋物線與軸交于點C，頂點為D，求C、D 兩點的坐標；
【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0，0)，
∴代入二次函數(shù)y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）當m＝2時，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又當x＝0時，y＝3，
∴C(0，3)
2．已知函數(shù).
（1）寫出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；
（2）求出圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；
（3）當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減小？
（4）當x取何值時，函數(shù)有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
【詳解】解：（1）由函數(shù)，
∵，，，
∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標是（-1,-8）.
（2）令，即，
解得，.
∴圖象與x軸交于（1,0），（-3,0）.
令，即，
∴圖象與y軸交于（0,-6）.
（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小.
（4）由頂點坐標，得：當時，y有最小值，最小值是-8.
3．已知拋物線C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若拋物線C的頂點在第二象限，求m的取值范圍；
（2）若m＝﹣2，求拋物線C與坐標軸的交點圍成的三角形的面積．
【詳解】解：（1）∵拋物線的解析式為，
∴拋物線的頂點坐標為（，），
∵拋物線的頂點坐標在第二象限，
∴，
∴；
（2）當時，拋物線解析式為，
令，即，
解得或，
令，，
∴如圖所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴拋物線C與坐標軸的交點圍成的三角形的面積是3．
考查題型六 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)
1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線方程為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；
(3)點是拋物線上一點，若，求點的坐標．
詳解】（1）解：對于直線BC解析式y(tǒng)=x-3，
令x=0時，y=-3，
則C(0,-3)，
令y=0時，x=3，
則B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分別代入，得
，解得：，
∴求拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3；
（2）解：對于拋物線y=-x2+4x-3，
令y=0，則-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
過點A作AN⊥BC于N，過點P作PM⊥BC于M，如圖，
∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
過點P作PEBC，交y軸于E，過點E作EF⊥BC于F，
則EF= PM=，
∴CE=1
∴點P是將直線BC向上或向下平移1個單位，與拋物線的交點，如圖P1，P2，P3，P4，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直線BC解析式為：y=x-3，
∴平移后的解析式為y=x-2或y=x-4,
聯(lián)立直線與拋物線解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P點的坐標為(,)或(,)或（,）或(,)．
（3）解：如圖，點Q在拋物線上，且∠ACQ=45°，過點Q作AD⊥CQ于D，過點D作DF⊥x軸于F，過點C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四邊形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
設(shè)DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
設(shè)直線CQ解析式為y=px-3，
把D(2,-2)代入，得p=,
∴直線CQ解析式為y=x-3，
聯(lián)立直線與拋物線解析式，得
解得：，（不符合題意，舍去），
∴點Q坐標為(,).
2．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求點A，點B和點C的坐標；
（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標．
【詳解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，
∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，
∴C（0，-2）．
（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．
設(shè)直線 AC 為 y＝kx+b，
則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
對稱軸為 x＝，
當 x＝時，
y＝-2＝，
∴P（，）．
3．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）求二次函數(shù)圖象的對稱軸．
【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2－2mx＋5m的圖象經(jīng)過點(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x－5．
（2）二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線；
故二次函數(shù)的對稱軸為：直線；
考查題型七 二次函數(shù)與一元二次方程
1．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y= x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過點P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2?3，
即m2+2m?3=0，
解得：m1=1，m2=?3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，
∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，
∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個交點．
2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)求的面積；
(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，
∴，
解得，
即，
；
（2）存在，或或，
理由如下，
由，令，
即，
解得，
，
；
（3）設(shè)，邊上的高為，
與的面積相等，
，
是上的點，
則，
或，
解得或.，
或或．
3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．
(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．
(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．
【詳解】（1）解：由題意得：x1+x2=-1，x1?x2=-m，
∴-1=-m．
∴m=1．
當m=1時，x2+x-1=0，
此時Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合題意．
∴m=1；
（2）解：圖象可知：過點（1，0），
當x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
4．已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.
(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點.求二次函數(shù)的表達式，并寫出當時x的取值范圍.
(2)請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由.
【詳解】（1）將（3，m）代入得m=6-2=4，
將（n,-6）代入得-6=2n-2，
解得n=-2，
∴拋物線經(jīng)過點（3，4），（-2，-6），
將（3，4），（-2，-6）代入得
，
解得，
∴，
由圖象可得-2＜x＜3時，拋物線在直線上方，
∴時x的取值范圍是-2＜x＜3．
（2）令，整理得，
當時，兩函數(shù)圖象只有一個公共點，
∴b=2，c=-2，滿足題意．
考查題型八 二次函數(shù)與實際問題
1．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；
(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？
(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
把點（25，50）和點（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是元，則
，
解得：，，
∴當天玩具的銷售單價是40元或20元；
（3）解：根據(jù)題意，則
，
整理得：；
∵，
∴當時，有最大值，最大值為800；
∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．
2．某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．
(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
(2)當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．
【詳解】（1）解：設(shè)，把，和，代入可得
，
解得，
則；
（2）解：每月獲得利潤


．
∵，
∴當時，P有最大值，最大值為3630．
答：當價格為21元時，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為3630元．
3．根據(jù)以下素材，探索完成任務．
【詳解】任務一：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，
則頂點為，且經(jīng)過點．
設(shè)該拋物線函數(shù)表達式為，
則，
∴，
∴該拋物線的函數(shù)表達式是．
任務二：∵水位再上漲達到最高，燈籠底部距離水面至少，燈籠長，
∴懸掛點的縱坐標，
∴懸掛點的縱坐標的最小值是．
當時，，解得或，
∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是．
任務三：有兩種設(shè)計方案
方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠．
∵，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為，
∴若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則，
若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則，
∴頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠．
∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，
∴共可掛7盞燈籠．
∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是．
方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為，
∵若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則，
若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則，
∴頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠．
∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，
∴共可掛8盞燈籠．
∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是．
4．如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系．軸是拋物線的對稱軸，最高點到地面距離為4米．
(1)求出拋物線的解析式．
(2)在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？
(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結(jié)論．
【詳解】（1）解：最高點到地面距離為4米，
米，點E為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為y軸，
設(shè)拋物線的解析式為，
四邊形ABCD是矩形，
，
又，
四邊形BCOF是矩形，
米，
(米)，
點E的縱坐標為1，
，
，
又米，
點C的坐標為(2,0)，
把點C的坐標代入解析式，得，
解得，
故拋物線的解析式為；
（2）解：把代入解析式，
得，
解得，，
故在距離地面米高處，隧道的寬度是(米)；
（3）解：這輛貨運卡車能通過該隧道；
當x=1.2時，，
，
這輛貨運卡車能通過該隧道．
5．某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達式為．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．
【詳解】解：（1）由題意得，A點在圖象上．
當時，
．
（2）由題意得，D點在圖象上．
令，得．
解得：（不合題意，舍去）．
（3）當時，，
，
∴不會碰到水柱．
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？
素材1
圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達到最高．
素材2
為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．
問題解決
任務1
確定橋拱形狀
在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．
任務2
探究懸掛范圍
在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．
任務3
擬定設(shè)計方案
給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．
x
﹣2
1
5
y
m
n
p
如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？
素材1
圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達到最高．
素材2
為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．
問題解決
任務1
確定橋拱形狀
在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．
任務2
探究懸掛范圍
在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．
任務3
擬定設(shè)計方案
給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．

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