1．若函數(shù)y＝ax2﹣x+1（a為常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，那么a滿足( )
A．a(chǎn)＝B．a(chǎn)≤C．a(chǎn)＝0或a＝﹣D．a(chǎn)＝0或a＝
2．拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
3．若二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．D．
4．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：
判斷關(guān)于x的方程的一個解的范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
6．小穎用計算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如圖所示二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，并求得一個近似根為x＝﹣4.3，則方程的另一個近似根為（ ）（精確到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
7．二次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（ ）
A． B．C．D．或
8．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是（ ）
A．B．C．且D．x＜－1或x＞5
9．如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，則下列判斷中，錯誤的是（ ）
A．圖象的對稱軸是直線
B．當(dāng)時，y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時，
D．一元二次方程的兩個根是和3
10．如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
11．若一元二次方程（b，c為常數(shù)）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為 ．
12．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為 ．
13．已知拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，則 ．
14．若拋物線y＝（a－1）x2－2x＋3與x軸有交點(diǎn)，則整數(shù)a的最大值是 ．
15．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．
能力提升
1．若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個不同的交點(diǎn)，則m的值為 ．
2．如圖，過點(diǎn)D（1，3）的拋物線y=－x2+k的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
3．已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在該函數(shù)圖象上，且，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)共有 個．
拔高拓展
1．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是線段上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．求線段的最大值．
2．已知關(guān)于的二次函數(shù)．
(1)求證：不論為何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與軸總有兩個公共點(diǎn)；
(2)若，兩點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與的大小關(guān)系；
(3)若將拋物線沿軸翻折得到新拋物線，當(dāng)時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求的值．
22.2 二次函數(shù)與一元二次方程 分層作業(yè)
基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．若函數(shù)y＝ax2﹣x+1（a為常數(shù)）的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，那么a滿足( )
A．a(chǎn)＝B．a(chǎn)≤C．a(chǎn)＝0或a＝﹣D．a(chǎn)＝0或a＝
【詳解】解：①函數(shù)為二次函數(shù)，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函數(shù)為一次函數(shù)，
∴a=0，
∴a的值為或0；
故選：D．
2．拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【詳解】解：在中，
令y=0，則，
∵△=22－4×（－3）3=15＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∵x=0時，y=－3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，－3），
∴拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)為3．
故選：D．
3．若二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）
A．且B．且C．D．
【詳解】解：∵拋物線y=x2+2x－m與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，
∴Δ=4+4m＞0， 解得m＞－1，
∵拋物線不經(jīng)過原點(diǎn)，
∴m≠0，
故選：A．
4．根據(jù)下列表格對應(yīng)值：
判斷關(guān)于x的方程的一個解的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【詳解】解：由表可以看出，當(dāng)取與之間的某個數(shù)時，，即這個數(shù)是的一個根，
∴的一個解的取值范圍為．
故選：C．
5．如圖，拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
【詳解】解：由函數(shù)圖象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集為：x4；故A、B、C不符合題意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解為或，故D符合題意；
故選：D．
6．小穎用計算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如圖所示二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，并求得一個近似根為x＝﹣4.3，則方程的另一個近似根為（ ）（精確到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為（﹣4.3，0），又拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，
∴另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2.3，0），
則方程的另一個近似根為x＝2.3，
故選：C．
7．二次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)值時，x的取值范圍是（ ）
A． B．C．D．或
詳解】解：由圖可知，當(dāng)或時，．
故選：D．
8．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是（ ）
A．B．C．且D．x＜－1或x＞5
【詳解】利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出的解集：
由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），
∴圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）．
由圖象可知：的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5．故選D．
9．如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，則下列判斷中，錯誤的是（ ）
A．圖象的對稱軸是直線
B．當(dāng)時，y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時，
D．一元二次方程的兩個根是和3
【詳解】解：A、對稱軸為直線x==1，正確，故本選項不符合題意；
B、對稱軸是直線x=1，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，正確，故本選項不符合題意；
C、應(yīng)為當(dāng)－1＜x＜1時，y＞0，故本選項符合題意；
D、一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是－1和3，正確，故本選項不符合題意．
故選：C．
10．如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【詳解】與關(guān)于y軸對稱
拋物線的對稱軸為y軸，
因此拋物線與直線的交點(diǎn)和與直線的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對稱
設(shè)與交點(diǎn)為，則，
即在點(diǎn)之間的函數(shù)圖像滿足題意
的解集為：
故選D．
11．若一元二次方程（b，c為常數(shù)）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為 ．
【詳解】設(shè)與交點(diǎn)為，
根據(jù)題意
則
的對稱軸為
故設(shè)
則方程為：
故答案為：
12．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為 ．
【詳解】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0），
對稱軸為，
由拋物線的對稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為：
拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的根，即：；
故答案為：．
13．已知拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，則 ．
【詳解】解：∵拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)是，
令y=0，則，
解得：，
∴．
故答案為：6．
14．若拋物線y＝（a－1）x2－2x＋3與x軸有交點(diǎn)，則整數(shù)a的最大值是 ．
【詳解】解：∵拋物線與x軸有交點(diǎn)
∴，
解得：，
∵a≠1
故答案為0
15．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y= x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2?3，
即m2+2m?3=0，
解得：m1=1，m2=?3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，
∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，
∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)．
能力提升
1．若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個不同的交點(diǎn)，則m的值為 ．
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，則m+1=0 即m=－1，
此時y=－2x－，與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)；
②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時m+1≠0，即m≠－1，分兩種情況：
當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時，y==0，即m=0，
此時=x(x－2)，
則一個交點(diǎn)在原點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為(2，0)；
當(dāng)拋物線不經(jīng)過原點(diǎn)時，△=（－2）2－4×(m+1)×m=0，
解得：m=－2或1．
綜上，m=－1或0或－2或1時，函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)，
故答案為：－2或－1或0或1．
2．如圖，過點(diǎn)D（1，3）的拋物線y=－x2+k的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則PC+PD的最小值為 ．
【詳解】解：連接PB，
對于拋物線y=－x2+k，
對稱軸是y軸，
∴PC=PB，
∴當(dāng)D、P、B在同一直線上時，PC+PD的值最小，最小值為BD的長，
∵拋物線y=－x2+k過點(diǎn)D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=－x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=－x2+4，解得：x=2或x=－2，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－2，0），
所以BD=，
故答案為：．
3．已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在該函數(shù)圖象上，且，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)共有 個．
【詳解】∵拋物線的對稱軸為：，且拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，
∴拋物線與x軸的另一個坐標(biāo)為(1,0)，
∴代入(－2,0)、(1,0)得：，
解得：，故③正確；
∵拋物線開口朝下，
∴，
∴，，
∴，故①錯誤；
∵拋物線與x軸兩個交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴方程的判別式，故②正確；
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
即，故④正確；
∵拋物線的對稱軸為：，且拋物線開口朝下，
∴可知二次函數(shù)，在時，y隨x的增大而減小，
∵，
∴，故⑤錯誤，
故正確的有：②③④，
故答案為：3．
拔高拓展
1．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是線段上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．求線段的最大值．
【詳解】解：與軸交于、兩點(diǎn)，
令，即．
解得，．
點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
、．
與軸交于點(diǎn)，
．
易得直線的解析式為．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
，
當(dāng)時，長取得最大值，最大值為．
2．已知關(guān)于的二次函數(shù)．
(1)求證：不論為何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與軸總有兩個公共點(diǎn)；
(2)若，兩點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，直接寫出與的大小關(guān)系；
(3)若將拋物線沿軸翻折得到新拋物線，當(dāng)時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求的值．
【詳解】（1）證明：令，則
∴
∴不論為何實(shí)數(shù)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
∴無論為何實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與軸總有兩個公共點(diǎn)
（2）解：二次函數(shù)的對稱軸為：直線
∵，拋物線開口向上
∴拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)對應(yīng)的函數(shù)值越大
∵
∴Ｍ點(diǎn)到對稱軸的距離為：1
Ｎ點(diǎn)到對稱軸的距離為：2
∴
（3）解：∵拋物線
∴沿軸翻折后的函數(shù)解析式為
∴該拋物線的對稱軸為直線
①若，即，則當(dāng)時，有最小值
∴
解得，
∵
∴
②若，即，則當(dāng)時，有最小值－1
不合題意，舍去
③若，，則當(dāng)時，有最小值
∴
解得，
∵
∴
綜上，的值為1或－5

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22.2 二次函數(shù)與一元二次方程

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