1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想。
2)通過(guò)根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。
3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。
重點(diǎn)：
1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3.利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。
難點(diǎn)：
1.理解用根的判別式判別根的情況。
2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
章節(jié)介紹
解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn)在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問(wèn)題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！
知識(shí)梳理
1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式為_(kāi)__________________________________。
3.一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：
4.一般地，對(duì)于方程x2＝p ①，
1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)____________的實(shí)數(shù)根______________________；
2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根_____________；
3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程① _______實(shí)數(shù)根。
5.將方程通過(guò)配成____________形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來(lái)解。
用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：
6.通過(guò)配方法解一元二次方程的步驟:
1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的_____________，常數(shù)項(xiàng)移到方程的______________；
2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以______________________；
3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；
4）將原方程變成_______________________的形式；
5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若p_________0，可以利用直接開(kāi)方法求解；
若p________0，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
【注意】配方的關(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來(lái)確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是_________ .
7.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；
2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；
3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。
8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。
判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________
9.當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為_(kāi)____________的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接________________，可以省略配方過(guò)程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
10. 公式法解一元二次方程的步驟:
1）將原方程化為_(kāi)______________，確定______________的值
【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為_(kāi)_______________，方便計(jì)算。
2）求出_______________的值，根據(jù)_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。
3）如果______________________, 將a、b、c的值代入求根公式。
【易錯(cuò)點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時(shí)易遺漏________________。
4）最后求出原方程的解。
11.先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為_(kāi)___________________的形式，從而實(shí)現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
12.通過(guò)因式分解法解一元二次方程的步驟:
1.移項(xiàng)：使一元二次方程等式右邊為_(kāi)______；
2.分解：把左邊運(yùn)用因式分解法化為_(kāi)________________的形式；
3.賦值：令每個(gè)因式等于0，得到_________________；
4.求解：_________________________，最后得到方程的解。
歸納：__________________________________________。
13.解一元二次方程的方法
解一元二次方程的基本思路是：
14.當(dāng)Δ ≥0時(shí)，兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，
兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數(shù)的關(guān)系為:
人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱(chēng)為“韋達(dá)定理”。
【易錯(cuò)點(diǎn)】使用韋達(dá)定理的前提條件：
15. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x2
1）平方和 x12+x22=
2）倒數(shù)和 1x1 + 1x2 =
3）差的絕對(duì)值 | x1 - x2 |=
4)x1x2+x2x1 =
5）(x1+1)(x2+1)=
16.利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題：
1）傳播問(wèn)題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．
2) 增長(zhǎng)率問(wèn)題：
①如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為_(kāi)___________，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為_(kāi)___________．
②如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為 __________，第二次下降后的數(shù)量為_(kāi)__________．
3）幾何問(wèn)題：
①常見(jiàn)幾何____________是等量關(guān)系。
②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。
4) 數(shù)字問(wèn)題：
①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為_(kāi)___________.百位數(shù)字表示_____________.
②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________.
5）利潤(rùn)問(wèn)題：?jiǎn)渭麧?rùn)=___________,總利潤(rùn)=________________
6) 表格問(wèn)題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。
7）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。
考點(diǎn)解讀
考查題型一 一元二次方程的定義
1．（2022秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值．
2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，求的值．
3．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
考查題型二 一元二次方程的解
1．（2022秋·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
2．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值．
考查題型三 選用合適的方法求解一元二次方程
1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程
(1)
(2)
(3)
2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?br>(1)；
(2)．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)
(2)
考查題型四 根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
1．（2022秋·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．
(1)是方程的根嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)當(dāng)取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？
2．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．
3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┮阎匠蹋?br>(1)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？
(2)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
(3)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？
4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．
考查題型五 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值．
2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，求的值及方程的另一個(gè)根．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值．
4．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)已知該方程的兩個(gè)根為，，且滿足，求的值．
5．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求實(shí)數(shù)k的值．
考查題型六 利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題
1．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種病毒傳播非?？欤绻粋€(gè)人被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有64個(gè)人被感染．
(1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人；
(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過(guò)500人．
2．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．
3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，要使用長(zhǎng)為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃．
(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長(zhǎng)為多少米？
(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┮阎齻€(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為194，求這三個(gè)正整數(shù)．
5．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某服裝店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷(xiāo)售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，增加盈利．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求銷(xiāo)售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷(xiāo)售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2022秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)的面積能否等于？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程．
7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；
(2)若時(shí)，求x的值；
(3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形．
8．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．
(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）；
(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．
二十一章 一元二次方程（知識(shí)清單）
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想。
2)通過(guò)根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。
3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。
重點(diǎn)：
1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。
2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3.利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。
難點(diǎn)：
1.理解用根的判別式判別根的情況。
2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
章節(jié)介紹
解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn)在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問(wèn)題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！
知識(shí)梳理
1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式為_(kāi)__________________________________。
3.一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：
4.一般地，對(duì)于方程x2＝p ①，
1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)____________的實(shí)數(shù)根______________________；
2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根_____________；
3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程① _______實(shí)數(shù)根。
5.將方程通過(guò)配成____________形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來(lái)解。
用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：
6.通過(guò)配方法解一元二次方程的步驟:
1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的_____________，常數(shù)項(xiàng)移到方程的______________；
2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以______________________；
3）配方：方程兩邊都加上_____________________________；
4）將原方程變成_______________________的形式；
5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若p_________0，可以利用直接開(kāi)方法求解；
若p________0，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
【注意】配方的關(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來(lái)確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是_________ .
7.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；
2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；
3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。
8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。
判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________
9.當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為_(kāi)____________的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接________________，可以省略配方過(guò)程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
10. 公式法解一元二次方程的步驟:
1）將原方程化為_(kāi)______________，確定______________的值
【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為_(kāi)_______________，方便計(jì)算。
2）求出_______________的值，根據(jù)_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。
3）如果______________________, 將a、b、c的值代入求根公式。
【易錯(cuò)點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時(shí)易遺漏________________。
4）最后求出原方程的解。
11.先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為_(kāi)___________________的形式，從而實(shí)現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
12.通過(guò)因式分解法解一元二次方程的步驟:
1.移項(xiàng)：使一元二次方程等式右邊為_(kāi)______；
2.分解：把左邊運(yùn)用因式分解法化為_(kāi)________________的形式；
3.賦值：令每個(gè)因式等于0，得到_________________；
4.求解：_________________________，最后得到方程的解。
歸納：__________________________________________。
13.解一元二次方程的方法
解一元二次方程的基本思路是：
14.當(dāng)Δ ≥0時(shí)，兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，
兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________，
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數(shù)的關(guān)系為:
人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱(chēng)為“韋達(dá)定理”。
【易錯(cuò)點(diǎn)】使用韋達(dá)定理的前提條件：
15. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x2
1）平方和 x12+x22=
2）倒數(shù)和 1x1 + 1x2 =
3）差的絕對(duì)值 | x1 - x2 |=
4)x1x2+x2x1 =
5）(x1+1)(x2+1)=
16.利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題：
1）傳播問(wèn)題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．
2) 增長(zhǎng)率問(wèn)題：
①如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為_(kāi)___________，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為_(kāi)___________．
②如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為 __________，第二次下降后的數(shù)量為_(kāi)__________．
3）幾何問(wèn)題：
①常見(jiàn)幾何____________是等量關(guān)系。
②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。
4) 數(shù)字問(wèn)題：
①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為_(kāi)___________.百位數(shù)字表示_____________.
②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________.
5）利潤(rùn)問(wèn)題：?jiǎn)渭麧?rùn)=___________,總利潤(rùn)=________________
6) 表格問(wèn)題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。
7）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。
考點(diǎn)解讀
考查題型一 一元二次方程的定義
1．（2022秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值．
【詳解】解：由題意得，，
由①得，，
由②得，，
所以，m的值為．
2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，求的值．
【詳解】解：∵方程是關(guān)于的一元二次方程，
∴，
解得．
3．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)和平街第一中學(xué)校考期中）證明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
【詳解】解：由關(guān)于x的方程可知：
，
∵，
∴，
∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．
考查題型二 一元二次方程的解
1．（2022秋·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
【詳解】解：由m是方程的一個(gè)根可得，即，
將代入，可得原式
2．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
【詳解】解：
．
∵是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，
∴．
∴．
∴原式．
3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值．
【詳解】解：原式=
=
=
=
∵a是方程x2+4x﹣21＝0的根，
∴a2+4a=21，
即a（a+4）=21，
原式=．
考查題型三 選用合適的方法求解一元二次方程
1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程
(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：，
，
，
，
或，
∴，；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，
或，
∴，．
2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?br>(1)；
(2)．
【詳解】（1）解：
∴，．
（2）解：
∴，．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)
(2)
【詳解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2），
∴，，，
∴，
∴，
解得：，．
考查題型四 根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)
1．（2022秋·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程．
(1)是方程的根嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)當(dāng)取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？
【詳解】（1）解：將代入方程，得：，
化簡(jiǎn)得：等式不成立，
故不是方程的根.
（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根.
，
解得，
當(dāng)時(shí)，可得，
綜上可得：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；
2．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．
【詳解】（1）解：證明：
．
，
方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解方程，
可得，
解得，，
若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，則，
故，
正整數(shù)．
3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┮阎匠蹋?br>(1)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？
(2)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？
(3)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？
【詳解】（1）解：當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：
，
解得：；
∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)：
，
解得：；
又∵，
∴當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，由（1）（2）可知：
當(dāng)且是，方程有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)椋海獾?，方程有?shí)數(shù)根；
綜上，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．
4．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍．
【詳解】（1）解：依題意，得
∵
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：方程
由（1）得
∴，∴，，
∵方程的一根大于2，一根小于1，
∴
∴．
∴m的取值范圍是．
考查題型五 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，
，
，
，
，
把代入得：，
解得：．
2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，求的值及方程的另一個(gè)根．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，
∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，
∴，，
則，，
故，方程的另一根為．
3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值．
【詳解】（1）解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，即，
解得；
（2）當(dāng)時(shí)，方程為，
，，
．
4．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)已知該方程的兩個(gè)根為，，且滿足，求的值．
【詳解】（1）解：由題意知，
，
不論取何值，，
方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）由題意知，，
又，
，
解得．
5．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求實(shí)數(shù)k的值．
【詳解】（1）由題意得：，
解得；
（2）根據(jù)題意得，，
∵，
∴，即，
則，
整理得，
解得，，
又，故
考查題型六 利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題
1．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種病毒傳播非?？?，如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有64個(gè)人被感染．
(1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人；
(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過(guò)500人．
【詳解】（1）解：設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，
依題意，得：1+x+x（1+x）=64，
解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．
答：每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染7個(gè)人．
（2）64×（1+7）=512（人），512＞500．
答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過(guò)500人．
2．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%．
（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；
（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．
【詳解】解：(1)第七天的營(yíng)業(yè)額是450×12%=54(萬(wàn)元)，
故這七天的總營(yíng)業(yè)額是450+450×12%=504(萬(wàn)元)．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額為504萬(wàn)元．
(2)設(shè)該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．
答：該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%．
3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，要使用長(zhǎng)為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃．
(1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長(zhǎng)為多少米？
(2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，則，根據(jù)題意，得，
整理，得，
解得，，
∵墻的最大可用長(zhǎng)度為米，
∴，
∴，
∴，即的長(zhǎng)為米；
（2）不能?chē)擅娣e為平方米的花圃．
理由如下：
根據(jù)題意，得，整理，得．
∵，
∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴不能?chē)擅娣e為平方米的花圃．
4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谀┮阎齻€(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為194，求這三個(gè)正整數(shù)．
【詳解】解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)正整數(shù)依次為，，，其中為自然數(shù)，則，
依題意列方程得：
，
化簡(jiǎn)得：
解得：，（舍去），
，．
答：這三個(gè)正整數(shù)為7，8，9．
5．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某服裝店在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷(xiāo)售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷(xiāo)售量，增加盈利．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求銷(xiāo)售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷(xiāo)售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】（1）解：設(shè)每件服裝降價(jià)x元．
由題意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
為使顧客得到較多的實(shí)惠，應(yīng)取x=20；
答：每件降價(jià)20元時(shí)，平均每天銷(xiāo)售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依題意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
則原方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
則不可能每天盈利2000元．
6．（2022秋·廣東江門(mén)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)的面積能否等于？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫(xiě)出過(guò)程．
【詳解】（1）解：的面積不能等于，理由如下：
s，s，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的取值范圍為：，
根據(jù)題意可得：cm， cm，cm，
假設(shè)的面積等于，
則，
整理得：，
，
所列方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
的面積不能等于；
（2）解：由（1）得：cm， cm，cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的取值范圍為：，
四邊形的面積等于，
，
整理得：，
解得，，
當(dāng)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合，不符合題意，舍去，
，
答：1s后，四邊形的面積等于．
7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；
(2)若時(shí)，求x的值；
(3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形．
【詳解】（1）由題可得：，，
∴，，
故答案為：，；
（2）在中，，即，
解得：或；
（3），，，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
解得：或，
∴當(dāng)為或時(shí)，是以為斜邊的直角三角形．
8．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)．
(1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）；
(2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．
【詳解】（1）解：設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為
故答案為：
（2）設(shè)四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)為，根據(jù)題意，得.
解得（不符合題意負(fù)值舍去）
答：這個(gè)最小值為9.

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數(shù)學(xué)人教版16.1 二次根式課時(shí)練習(xí)

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人教版九年級(jí)上冊(cè)21.1 一元二次方程課時(shí)練習(xí)

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本

21.1 一元二次方程

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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