滬科版（2024）九年級上冊第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)21.1 二次函數(shù)同步測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc1441" 【題型1 利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc1441 \h 1
\l "_Tc10308" 【題型2 利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc10308 \h 2
\l "_Tc30807" 【題型3 利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc30807 \h 3
\l "_Tc5145" 【題型4 利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc5145 \h 4
\l "_Tc16659" 【題型5 利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc16659 \h 6
\l "_Tc3290" 【題型6 二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 PAGEREF _Tc3290 \h 7
【知識點1】
當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.
【題型1 利用一般式確定二次函數(shù)解析式】
【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐標(biāo)系畫出這條拋物線；
（3）直接寫出，當(dāng)x取什么值時，y＞0？
【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．
【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．
【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求這個二次函數(shù)解析式；
（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．
【知識點2】
若已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點式．這頂點坐標(biāo)為（ h，k ），對稱軸直線x = h，最值為當(dāng)x = h時，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).
【題型2 利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】
【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求該圖象的頂點坐標(biāo)；
（3）觀察圖象，當(dāng)y＞0時，求自變量x的取值范圍．
【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標(biāo)是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．
【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，當(dāng)﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為 .（直接寫出答案）
【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△ABC的面積．
【知識點3】
已知圖像與 x軸交于不同的兩點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．
【題型3 利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】
【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經(jīng)過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．
【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）求點D的坐標(biāo)及△ABD的面積．
【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo)M的坐標(biāo)．
（2）求直線CM的解析式．
【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．
【知識點4】
將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng) = a( x – h)2 + k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個單位時，就在x – h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．
【題型4 利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】
【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點
（1）求該拋物線和直線AB的解析式；
（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：
①平移后拋物線的頂點在直線AB上；
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．
【變式4-1】（（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)，對稱軸；
（2）當(dāng)x＝時，y隨x的增大而減??；
（3）若將拋物線進(jìn)行平移，使它經(jīng)過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．
【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．
（1）求平移后的拋物線C的解析式；
（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，y2的大?。?br>【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應(yīng)的拋物線解析式．
【知識點5】
根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．
【題型5 利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】
【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線W1的表達(dá)式；
（2）將拋物線W1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標(biāo)．
【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關(guān)于原點成中心對稱的拋物線的解析式．
【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象，當(dāng)﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為；
（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達(dá)式為．
【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關(guān)于y軸對稱．
（1）求拋物線L的表達(dá)式；
（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【知識點6】
此類題目只給出一些條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【題型6 二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】
【例6】（2022?林州市一模）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經(jīng)過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式．
【變式6-1】（2022?虹口區(qū)二模）請寫出一個圖象的對稱軸為y軸，開口向下，且經(jīng)過點（1，﹣2）的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是．
【變式6-2】（2022秋?二道江區(qū)校級月考）老師給出一個二次函數(shù)，甲，乙，丙三位同學(xué)各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：
甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
乙：當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大；
丙：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點；
已知這三位同學(xué)敘述都正確，請構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù) ．
【變式6-3】（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：．x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3.5
1
﹣0.5
﹣1
﹣0.5
1
3.5
…
專題21.10 二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】
【滬科版】
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\l "_Tc1441" 【題型1 利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc1441 \h 1
\l "_Tc10308" 【題型2 利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc10308 \h 5
\l "_Tc30807" 【題型3 利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc30807 \h 8
\l "_Tc5145" 【題型4 利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc5145 \h 10
\l "_Tc16659" 【題型5 利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 PAGEREF _Tc16659 \h 14
\l "_Tc3290" 【題型6 二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 PAGEREF _Tc3290 \h 18
【知識點1】
當(dāng)題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設(shè)為一般式（，，為常數(shù)，），轉(zhuǎn)化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.
【題型1 利用一般式確定二次函數(shù)解析式】
【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐標(biāo)系畫出這條拋物線；
（3）直接寫出，當(dāng)x取什么值時，y＞0？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
（2）描點、連線畫出圖象即可；
（3）令y＝0，解方程求得拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）由已知可得，
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（2，﹣1），（0，1），（4，1）則
4a+2b+c=?1c=116a+4a+c=1，
解得：a=12b=?2c=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=12x2﹣2x+1；
（2）用描點法畫出函數(shù)圖象，如圖所示：
（3）令y＝0，則12x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝2?2，x2＝2+2，
由圖象知，當(dāng)x＞2+2或x＜2?2時，y＞0，
【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．
【分析】先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進(jìn)而可得函數(shù)解析式．
【解答】解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
根據(jù)題意，得a?b+c=10a+b+c=4c=3，
解得a=4b=?3c=3，
∴所求二次函數(shù)解析式為y＝4x2﹣3x+3．
【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．
【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程組4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程組可得b=?5c=6，即可求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的公式x=?b2a，頂點坐標(biāo)公式(?b2a，4ac?b24a)，把a，b，c的值代入計算即可得出答案．
【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，
得4+2b+c=0①16+4b+c=2②，
②﹣①，
得2b＝﹣10，
解得：b＝﹣5，
把b＝5代入①中，
得4+2×（﹣5）+c＝0，
解得：c＝6，
∴b=?5c=6，
∴這個二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6對稱軸是直線x=?b2a=??52×1=52，
由二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式（?b2a，4ac?b24a）可得，
二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6頂點坐標(biāo)：x=?b2a=52，y=4ac?b24a=4×1×6?(?5)24×1=?14，
即（52，?14）．
【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求這個二次函數(shù)解析式；
（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．
【分析】（1）將（m，0）代入直線解析式求解．
（2）根據(jù)拋物線對稱軸為直線x＝﹣2可得a與b的關(guān)系，再將（﹣1，0），（1，﹣32）代入拋物線解析式求解．
（3）聯(lián)立兩方程，根據(jù)圖象交點橫坐標(biāo)求解．
【解答】解：（1）將（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，
解得m＝﹣1．
（2）由題意可得拋物線對稱軸為直線x=?b2a=?2，
∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，
把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得?32=a+4a+c0=a?4a+c，
解得a=?4c=?12，
∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．
（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，
解得x＝﹣1或x=?134，
∴拋物線與直線交點橫縱標(biāo)為﹣1和?134，
如圖，
∴?134＜x＜﹣1時，y1大于y2．
【知識點2】
若已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸、最值，則設(shè)為頂點式．這頂點坐標(biāo)為（ h，k ），對稱軸直線x = h，最值為當(dāng)x = h時，y最值=k來求出相應(yīng)的系數(shù).
【題型2 利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】
【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求該圖象的頂點坐標(biāo)；
（3）觀察圖象，當(dāng)y＞0時，求自變量x的取值范圍．
【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣1，可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，再通過待定系數(shù)法求解．
（2）由拋物線頂點式求解．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一交點坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，
將（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k，
解得a=?1k=4，
∴y＝﹣（x+1）2+4．
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）．
（3）∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線經(jīng)過（1，0），
∴﹣3＜x＜1時，y＞0．
【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標(biāo)是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．
【分析】由題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，拋物線與x軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣4，0）或（2，0），利用待定系數(shù)法即可解決問題．
【解答】解：由拋物線頂點知，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
又與x軸交點間的距離為6，
∴交點橫坐標(biāo)為﹣4與2，
∴兩個交點坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，
把點（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+9．
【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，當(dāng)﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為 ﹣4≤y≤0 .（直接寫出答案）
【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)設(shè)y＝a（x+1）2﹣4，直接把點（1，0）代入即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）把x＝﹣2和x＝1分別代入解析式，再根據(jù)頂點可得y的取值范圍．
【解答】解：（1）∵頂點為（﹣1，﹣4），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4；
（2）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣3，當(dāng)x＝1時，y＝0，
∵y的最小值是﹣4，
∴y的取值范圍是﹣4≤y≤0．
故答案為：﹣4≤y≤0．
【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求△ABC的面積．
【分析】（1）已知了頂點C坐標(biāo)，可用頂點式的二次函數(shù)通式設(shè)出這個二次函數(shù)，然后根據(jù)A點的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）先根據(jù)（1）中求出的二次函數(shù)的解析式，求出B點的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標(biāo)求出AB所在直線的解析式，求出對稱軸與直線AB的交點D的坐標(biāo)，求三角形CAB的面積轉(zhuǎn)化為三角形BCD和三角形ACD面積之和即可．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，
所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴B點的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得
3k+b=0b=3，
解得：k=?1b=3，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)對稱軸直線x＝1與直線AB相交與點D，
∴當(dāng)x＝1時，y＝2，
∴D點坐標(biāo)（1，2），
所以CD＝4﹣2＝2，
S△CAB＝S△BCD+S△ACD=12×（1+2）×2＝3，
∴△ABC的面積為3．
【知識點3】
已知圖像與 x軸交于不同的兩點，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．
【題型3 利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】
【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經(jīng)過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．
【分析】設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入解析式求解．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
將（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，
解得a＝1．
∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．
【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）求點D的坐標(biāo)及△ABD的面積．
【分析】（1）先設(shè)函數(shù)的交點式，然后將點A和點B代入函數(shù)解析式得到二次函數(shù)的一般式；
（2）將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，得到頂點D的坐標(biāo)，然后求得△ABD的面積．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴點D的坐標(biāo)為（1，﹣4），
∴點D到AB的距離為4，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABD=12×4×4＝8．
【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標(biāo)M的坐標(biāo)．
（2）求直線CM的解析式．
【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
將C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴頂點坐標(biāo)M（2，﹣1），
（2）設(shè)直線CM的解析式為y＝kx+b，
將C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：
b=32k+b=?1，
∴k=?2b=3．
∴y＝﹣2x+3．
【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．
【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點（﹣1，0），（3，0）可設(shè)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入求得a即可．
【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
將點（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，
解得：a＝2，
∴該二次函數(shù)解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
25．
二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，對稱軸是直線x=52，頂點坐標(biāo)是（52，?14）．
【知識點4】
將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應(yīng)先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng) = a( x – h)2 + k，當(dāng)圖像向左（右）平移n個單位時，就在x – h上加上（減去）n；當(dāng)圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負(fù)，右、左移；k值正負(fù)，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．
【題型4 利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】
【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點
（1）求該拋物線和直線AB的解析式；
（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：
①平移后拋物線的頂點在直線AB上；
②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線M和直線AB的解析式；
（2）先求出直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為（0，4），設(shè)平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，接著表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面積公式得到12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝4×12×4×（4+1），然后解絕對值方程求出得到平移后的拋物線解析式．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a?b+c=316a+4b+c=8c=0，解得a=1b=?2c=0，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x；
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，
把A（﹣1，3），B（4，8）代入得?m+n=34m+n=8，解得m＝1，n＝4，
∴直線AB的解析式為y＝x+4；
（2）當(dāng)x＝0時，y＝x+4＝4，則直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)平移后拋物線的頂點坐標(biāo)為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，
當(dāng)x＝0時，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，則C（0，t2+t+4），
∵S△ABC＝3S△ABO，
∴12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝3×12×4×（4+1），
即|t2+t|＝12，
方程t2+t＝﹣12沒有實數(shù)解，
解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．
【變式4-1】（（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求拋物線的頂點坐標(biāo)，對稱軸；
（2）當(dāng)x＝＞1 時，y隨x的增大而減??；
（3）若將拋物線進(jìn)行平移，使它經(jīng)過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．
【分析】（1）先把解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到物線的頂點坐標(biāo)，對稱軸；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）先設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出平移后的拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0）、（b2，0），利用兩交點間的距離可計算出b的值，從而得到平移后的拋物線解析式．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
所以拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，5），對稱軸為直線x＝1；
（2）當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減?。?br>故答案為＞1；
（3）因為平移后的拋物線過原點，
所以設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，
解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=b2
所以平移后的拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0）、（b2，0），
所以|b2|＝4，解得b＝8或﹣8，
所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．
【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．
（1）求平移后的拋物線C的解析式；
（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，y2的大?。?br>【分析】（1）求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+1與x軸交于點A，
∴A（﹣1，0），
∵拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合，
∴平移后的拋物線C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；
（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線開口向下，
故當(dāng)?12＜x1＜x2，y1＞y2．
【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應(yīng)的拋物線解析式．
【分析】（1）利用交點式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進(jìn)而得出a的值，再利用配方法求出頂點坐標(biāo)即可；
（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?12，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，
解得：a＝﹣1，
故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴頂點坐標(biāo)（2，1）；
（2）平移方法有：
①向下平移5個單位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，
把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，
∵頂點坐標(biāo)（2，1）；
∴向下平移5個單位，拋物線的頂點為（2，﹣4）；
②向左平移2.5個單位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，
把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?12，
∴向左平移2.5個單位，拋物線的頂點為（?12，1）．
【知識點5】
根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式．
【題型5 利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】
【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線W1的表達(dá)式；
（2）將拋物線W1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當(dāng)△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；
（2）由題意求得拋物線W2的頂點坐標(biāo)和解析式，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，過點M作MN∥x軸，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代數(shù)式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，
∴a+b?3=09a?3b?3=0，
解得：a=1b=2．
∴拋物線W1的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵將拋物線W1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，
∴D′（﹣1，4），
∴拋物線W2的解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
如圖，在坐標(biāo)系中畫出拋物線W2的圖象，
當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC=12×4×3=6，
過點M作MN∥x軸，交DD′于N，
∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），
∴直線DD′為y＝﹣4x，
設(shè)點M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m2+2m?34，﹣m2﹣2m+3），
∴MN=m2+2m?34?m=m2?2m?34，
∴S△DD′M=12×m2?2m?34×（4+4）＝m2﹣2m﹣3，
∵△D'DM的面積等于△ABC的面積，
∴m2﹣2m﹣3＝6．
解得：m＝1±10．
當(dāng)m＝1+10時，﹣m2﹣2m+3＝﹣410?10，
當(dāng)m＝1?10時，﹣m2﹣2m+3＝410?10，
∴M（1+10，﹣410?10）或（1?10，410?10）．
【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關(guān)于原點成中心對稱的拋物線的解析式．
【分析】求出頂點坐標(biāo)關(guān)于原點對稱的坐標(biāo)，然后利用頂點式解析式寫出，再整理成一般形式即可．
【解答】解：拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．
所以其頂點（﹣1，﹣2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（1，2），
所以，拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．
【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）觀察圖象，當(dāng)﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為 ﹣4≤y＜0 ；
（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達(dá)式為 y＝﹣（x+1）2+4 ．
【分析】（1）設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；
（2）計算自變量為﹣3、0對應(yīng)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)圖象寫出對應(yīng)的函數(shù)值的范圍；
（3）利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，
所以拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4；
（2）當(dāng)x＝﹣3時，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；
當(dāng)x＝0時，y＝﹣3；
所以當(dāng)﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為﹣4≤y＜0，
故答案為﹣4≤y＜0；
（3）∵函數(shù)y＝（x+1）2﹣4圖象的頂點為（﹣1，﹣4），a＝1
∴該函數(shù)的圖象沿x軸翻折后得到的函數(shù)圖象頂點為（﹣1，4），a＝﹣1
∴翻折后得到的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x+1）2+4，
故答案為y＝﹣（x+1）2+4．
【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關(guān)于y軸對稱．
（1）求拋物線L的表達(dá)式；
（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把A點坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，從而得到拋物線L的表達(dá)式；
（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配方得y＝（x﹣1）2﹣4，則D（1，﹣4），利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征和頂點式得到拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，設(shè)P（t，t2+2t﹣3），易得直線BC的解析式為y＝x﹣3，接著計算出四邊形OCDB的面積為152，所以12×3×|t2+t|=152，然后解關(guān)于t的方程，從而得到P點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，
解得a＝1，
∴拋物線L的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，
y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∴點D關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），
∴拋物線L關(guān)于y軸對稱的拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，
設(shè)P（t，t2+2t﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
∵四邊形OCDB的面積＝S△OCD+S△ODB=12×3×1+12×3×4=152，
而PQ＝|t2+2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2+t|，
∴S△PBC=12×3×|t2+t|=152，
∴t2+t＝5或t2+t＝﹣5，
解方程t2+t＝5得t1=?1+212，t2=?1?212，
方程t2+t＝5無實數(shù)解，
∴P（?1+212，3+212）或（?1?212，3?212）．
【知識點6】
此類題目只給出一些條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【題型6 二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】
【例6】（2022?林州市一模）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經(jīng)過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式 y＝﹣x2+1 ．
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)小于零，圖象開口向下，一次項系數(shù)等于零，圖象的對稱軸為y軸，常數(shù)項不等于零，圖象不過原點，可得答案．
【解答】解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經(jīng)過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+1，
故答案為：y＝﹣x2+1．
【變式6-1】（2022?虹口區(qū)二模）請寫出一個圖象的對稱軸為y軸，開口向下，且經(jīng)過點（1，﹣2）的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．
【分析】設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2+c，將（1，﹣2）代入解析式，得到關(guān)于a、c的關(guān)系式，從而推知a、c的值．
【解答】解：∵對稱軸為y軸，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝ax2+c，
將（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，
不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式為y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．
故答案為：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．
【變式6-2】（2022秋?二道江區(qū)校級月考）老師給出一個二次函數(shù)，甲，乙，丙三位同學(xué)各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：
甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；
乙：當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而增大；
丙：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點；
已知這三位同學(xué)敘述都正確，請構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù) y＝（x﹣2）2﹣3 ．
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷拋物線開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，于是可設(shè)a＝1，c＝1，再利用二次函數(shù)的確定拋物線的對稱軸為直線x＝2，然后利用函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），再設(shè)頂點式求拋物線解析式．
【解答】解：由函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限可判斷拋物線開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，可設(shè)a＝1，c＝1，
因為當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減大，則拋物線的對稱軸為直線x＝2，
由函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個交點，則拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，0），
所以拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+m，
把（0，1）代入得1＝4+m，解得m＝﹣3，
即拋物線解析式為y＝（x﹣2）2﹣3．
故答案為y＝（x﹣2）2﹣3．
【變式6-3】（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數(shù)解析式： y＝x2﹣2x+4 ．
【分析】拋物線y＝（x﹣1）2+1向上或向下平移2個單位求解．
【解答】解：將拋物線y＝（x﹣1）2+1向上平移2個單位可得拋物線y＝（x﹣1）2+1y＝（x﹣1）2+3＝x2﹣2x+4，
故答案為：y＝x2﹣2x+4．x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3.5
1
﹣0.5
﹣1
﹣0.5
1
3.5
…

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