知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
基本不等式: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,（當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取“ SKIPIF 1 < 0 ”號(hào)）其中 SKIPIF 1 < 0 叫做正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的幾何平均數(shù)； SKIPIF 1 < 0 叫做正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的算數(shù)平均數(shù)．
如果 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取“ SKIPIF 1 < 0 ”號(hào)）
特別的，如果 SKIPIF 1 < 0 ,用 SKIPIF 1 < 0 分別代替 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，“ SKIPIF 1 < 0 ”號(hào)成立.
知識(shí)點(diǎn)二：利用基本不等式求最值
①已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正數(shù)，如果積 SKIPIF 1 < 0 等于定值 SKIPIF 1 < 0 ，那么當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，和 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
②已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正數(shù)，如果和 SKIPIF 1 < 0 等于定值 SKIPIF 1 < 0 ，那么當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，積 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
知識(shí)點(diǎn)三：基本不等式鏈
SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取“ SKIPIF 1 < 0 ”號(hào)）
知識(shí)點(diǎn)四：三個(gè)正數(shù)的基本不等式
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取“ SKIPIF 1 < 0 ”號(hào)）
題型01對(duì)基本不等式的理解
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 成立的條件為 SKIPIF 1 < 0 ，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正確.故選：D
【典例2】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谀┮韵陆Y(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值是4
B．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為3
D．函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為0
【答案】BD
【詳解】A.對(duì)于函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B.由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.
C. SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 無(wú)解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D.由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD
【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列不等式中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】A. 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故錯(cuò)誤；B. SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取等號(hào)，故正確；C. 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故錯(cuò)誤；D.由重要不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，故錯(cuò)誤；
故選：B
題型02由基本不等式比較大小
【典例1】（多選）（2022秋·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰O(shè) SKIPIF 1 < 0 為正實(shí)數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的 SKIPIF 1 < 0 恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【詳解】A選項(xiàng)，由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，下列各式中最大的是_____.(填序號(hào))
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】④
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由上可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四個(gè)式子中 SKIPIF 1 < 0 最大．故答案為：④.
【變式1】（多選）（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市聿懷中學(xué)?？计谥校┤?SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即AB錯(cuò)誤，D正確.對(duì)于C選項(xiàng)， SKIPIF 1 < 0 ，C選項(xiàng)正確.故選：CD
題型03由基本不等式證明不等關(guān)系
【典例1】（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 是實(shí)數(shù).
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ，并指出等號(hào)成立的條件；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式等號(hào)成立(2)4
【詳解】（1）證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式中等號(hào)成立.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式中等號(hào)成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為4.
【典例2】（2023秋·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)9(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為9.
（2）證明：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.故 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 .
求證：（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，但 SKIPIF 1 < 0 ，因此不能取等號(hào)， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，但 SKIPIF 1 < 0 ，因此不能取等號(hào)， SKIPIF 1 < 0 .
題型04利用基本不等式求積的最大值
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，因此，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ,故選：C．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值為_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（2023春·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┰O(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．5B．3C．4D．9
【答案】A
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A.
【典例2】（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為__________．
【答案】3
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立．故答案為：3
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______
【答案】8
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為8．故答案為: SKIPIF 1 < 0
題型06利用基本不等式求二次與二次（一次）商式的最值
【典例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，所以 SKIPIF 1 < 0 的在最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值及此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求此函數(shù)的最小值及此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為5，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；（2）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為5，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為5，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為5，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為___________.
【答案】9
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，∴已知函數(shù)的最小值為9.故答案為：9.
題型07利用基本不等式求條件等式求最值
【典例1】（2023春·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．3B．1C．9D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，變形得 SKIPIF 1 < 0 .由題意 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.
【典例2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為______.
【答案】3
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取到等號(hào)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最小值3.故答案為：3
【變式1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若正數(shù)x，y滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 故選：B
題型08基本不等式中的恒成立問(wèn)題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)椴坏仁?SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，故實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D．
【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x>0，y>0，且 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m≤－2 SKIPIF 1 < 0 或m≥2 SKIPIF 1 < 0 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2 SKIPIF 1 < 0 ＜m＜2 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】∵x>0，y>0且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即x＝4，y＝2時(shí)取等號(hào)，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得 SKIPIF 1 < 0 .故選：D
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)），
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)任意的正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 當(dāng)且僅當(dāng)“ SKIPIF 1 < 0 ”，即“ SKIPIF 1 < 0 ”時(shí)等號(hào)成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
題型09基本不等式的應(yīng)用
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 (單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 (單位：年)的關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 年的年平均利潤(rùn)為 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)最大，最大值為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元.故答案為： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一校聯(lián)考期末）黨的二十大報(bào)告指出：我們要推進(jìn)美麗中國(guó)建設(shè)，堅(jiān)持山水林田湖草沙一體化保護(hù)和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護(hù)、應(yīng)對(duì)氣候變化，協(xié)同推進(jìn)降碳、減污、擴(kuò)綠、增長(zhǎng)，推進(jìn)生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來(lái)越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)．若鄉(xiāng)財(cái)政下?lián)芤豁?xiàng)?？?00百萬(wàn)元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金 SKIPIF 1 < 0 （單位：百萬(wàn)元）的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （單位：百萬(wàn)元）： SKIPIF 1 < 0 ；處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金 SKIPIF 1 < 0 （單位：百萬(wàn)元）的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （單位：百萬(wàn)元）： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為 SKIPIF 1 < 0 （百萬(wàn)元），則兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的收益總和為 SKIPIF 1 < 0 （百萬(wàn)元），寫出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式；
(2)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目的投資開始利潤(rùn)薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值，并求出此時(shí)對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的最大值為145（百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為60（百萬(wàn)元），340（百萬(wàn)元）．
【詳解】（1）解：由題意可得處理污染項(xiàng)目投放資金為 SKIPIF 1 < 0 百萬(wàn)元，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由（1）可得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 （百萬(wàn)元），分別投資給植綠護(hù)綠項(xiàng)目、污染處理項(xiàng)目的資金為 SKIPIF 1 < 0 （百萬(wàn)元）， SKIPIF 1 < 0 （百萬(wàn)元）．
【變式1】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形 SKIPIF 1 < 0 ，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【答案】C
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 米, SKIPIF 1 < 0 ，則種植花卉區(qū)域的面積 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，則 SKIPIF 1 < 0 ，即當(dāng) SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米時(shí)，種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米,故選：C
【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）為了豐富全校師生的課后學(xué)習(xí)生活，共建和諧美好的校園文化，重慶十一中計(jì)劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū) SKIPIF 1 < 0 ，該項(xiàng)目由圖書陳列區(qū) SKIPIF 1 < 0 （陰影部分）和四周休息區(qū)組成．圖書陳列區(qū) SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，休息區(qū)的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當(dāng)校園圖書館精品閱讀區(qū) SKIPIF 1 < 0 面積最小時(shí)，則圖書陳列區(qū) SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為（ ）
A．20mB．50mC． SKIPIF 1 < 0 mD．100m
【答案】B
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0
所以閱讀區(qū) SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，當(dāng)校園圖書館精品閱讀區(qū) SKIPIF 1 < 0 面積最小時(shí)，則圖書陳列區(qū) SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，故選：B.
題型10對(duì)鉤函數(shù)
【典例1】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二北票市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】解：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的最小值大于4，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C．
【典例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省萬(wàn)安中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值4B． SKIPIF 1 < 0 有最大值4C． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 .故選：D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取得的最小值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值為___________．
【答案】4
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 .當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為6.故答案為：4
題型11重點(diǎn)方法之湊配法
【典例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．4D．8
【答案】B
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 上式取等號(hào)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為0.故選：B.
【典例2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）若不等式 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是__________， SKIPIF 1 < 0 的最小值為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不等式 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 不恒成立，不符合題意（舍去）；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，要使得 SKIPIF 1 < 0 對(duì) SKIPIF 1 < 0 恒成立，
則滿足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的最小值為10，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2 SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】A
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故選:A.
【變式2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．－2B．0C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立．故選：B．
題型12重點(diǎn)方法之換元法
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·江西·高一寧岡中學(xué)?？茧A段練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 的最大值為______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型13重點(diǎn)方法之“1”的妙用法
【典例1】（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）已知正數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】B
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等號(hào)成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值為____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)檎龜?shù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取等號(hào)，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值為27．故選：C
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值為____________；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型14重點(diǎn)方法之消元法
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，（當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)），所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·上?！じ呷虾Ｊ袑?shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】（2023·上海奉賢·校考模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，“=”成立，故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型15易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“一正”
【典例1】（多選）（2023秋·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)于使用基本不等式說(shuō)法正確的是（ ）
A．由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以x＋ SKIPIF 1 < 0 ＝x＋2＋ SKIPIF 1 < 0 －2≤－2 SKIPIF 1 < 0 －2＝－4
B．由于 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0
C．由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 最小值為2
D．由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 最大值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【詳解】對(duì)于A，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立正確；
對(duì)于B，正具備，但 SKIPIF 1 < 0 不為定值，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，但方程無(wú)解，最小值2取不到，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，一正，二定，三相等都具備，故正確.故選：AD
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ≤ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型16易錯(cuò)題之忽視基本不等式中的“三相等”
【典例1】（2023·上海普陀·高一?？计谥校┫铝胁坏仁街械忍?hào)可以取到的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等號(hào)不成立，故A不符合；
對(duì)于B，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等號(hào)不成立，故B不符合；
對(duì)于C，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，故C符合；
對(duì)于D，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故等號(hào)不成立，故D不符合.
故選：C.
【典例2】（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號(hào)的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】對(duì)A，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等號(hào)成立；對(duì)B，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等號(hào)成立；對(duì)C，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立；對(duì)D，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，無(wú)解，等號(hào)不成立．故選：D．
題型17易錯(cuò)題之換元必?fù)Q范圍
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 不成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
由對(duì)勾函數(shù)的圖象知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
2.2基本不等式
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有最小值4.故選：C.
2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知正數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】因?yàn)檎龜?shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，故選：B
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以充分性成立；由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以必要性不成立，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要條件，故選:C.
4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取“＝”.故選：C
5．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為0.1萬(wàn)元，已知使用 SKIPIF 1 < 0 年的維修總費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【詳解】由題意可得：該設(shè)備年平均費(fèi)用 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，所以該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時(shí)的年限為9.故選：C.
7．（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校?shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取等號(hào)；
故選：C.
8．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．9
【答案】C
【詳解】依題意，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立．故選：C.
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 B．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
C．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 D．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABCD
【詳解】A中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 成立；
B中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立；
C中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可知 SKIPIF 1 < 0 成立；
D中，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 成立.
故選：ABCD
10．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谥校稁缀卧尽分械膸缀未鷶?shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明.如圖，在線段 SKIPIF 1 < 0 上任取一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （不含端點(diǎn)A，B），使得 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交以 SKIPIF 1 < 0 為直徑， SKIPIF 1 < 0 為圓心的半圓周于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 .下面不能由 SKIPIF 1 < 0 直接證明的不等式為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由題意得， SKIPIF 1 < 0 ，由射影定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，A 正確，BCD 不正確．
故選：BCD．
三、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /1.5
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
12．（2023·高一單元測(cè)試）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取得等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為: SKIPIF 1 < 0 .
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）7；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為7．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)．∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最值，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由題得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取得等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正實(shí)數(shù)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值為2B． SKIPIF 1 < 0 的最小值為4
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值為3D． SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為正實(shí)數(shù)，故 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為2，A正確；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值4，B正確；
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，D正確．故選：C．
2．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】解：由圖知： SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故選：C
3．（多選）（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為8
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
C．已知正數(shù)a，b滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為8，故A正確；
對(duì)于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，故C正確.
對(duì)于D，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取等號(hào)，故D正確.故選：ACD．
4．（2023春·山東德州·高二校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最取到等號(hào).故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)，州民族體育場(chǎng)進(jìn)行了改造翻新，在改造州民族體育場(chǎng)時(shí)需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬(wàn)元，設(shè)每年的管理費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 萬(wàn)元與總座椅數(shù) SKIPIF 1 < 0 千套，兩者滿足關(guān)系式： SKIPIF 1 < 0 ．15年的總維修費(fèi)用為80萬(wàn)元，記 SKIPIF 1 < 0 為15年的總費(fèi)用．（總費(fèi)用=建造成本費(fèi)用+使用管理費(fèi)用+總維修費(fèi)用）．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)設(shè)置多少套座椅時(shí)，15年的總費(fèi)用 SKIPIF 1 < 0 最小，并求出最小值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 千套時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最小值為180萬(wàn)元
【詳解】由題意得：建造成本費(fèi)用為 SKIPIF 1 < 0 ，
使用管理費(fèi)： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 千套時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最小值為180萬(wàn)元．
6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值.
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】（1）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 可化為 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個(gè)不等臂的天平秤稱取藥品. 實(shí)驗(yàn)一：小明將 SKIPIF 1 < 0 克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將 SKIPIF 1 < 0 克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共秤得的藥品（ ）
A．大于 SKIPIF 1 < 0 克B．小于 SKIPIF 1 < 0 克
C．大于等于 SKIPIF 1 < 0 克D．小于等于 SKIPIF 1 < 0 克
【答案】C
【詳解】設(shè)天平左、右兩邊臂長(zhǎng)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則由杠桿原理得： SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào). 故選：C.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào).故選：A
3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日凌晨，瑞典哥德堡田徑室內(nèi)賽展開多個(gè)項(xiàng)目角逐，在男子 SKIPIF 1 < 0 米比賽中，“中國(guó)飛人”蘇炳添以 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 奪冠，取得新賽季開門紅．本站賽事是蘇炳添的個(gè)人新賽季首秀， SKIPIF 1 < 0 歲的他是 SKIPIF 1 < 0 名參賽者中年齡最大的選手，與他同場(chǎng)競(jìng)技的還有 SKIPIF 1 < 0 年出生的選手，這極大地激勵(lì)了學(xué)生對(duì)百米賽跑的熱愛(ài)．甲、乙、丙三名學(xué)生同時(shí)參加了一次百米賽跑，所用時(shí)間（單位：秒）分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．甲有一半的時(shí)間以速度 SKIPIF 1 < 0 （單位：米/秒）奔跑，另一半的時(shí)間以速度 SKIPIF 1 < 0 （單位：米/秒）奔跑；乙全程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑；丙有一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，另一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【詳解】對(duì)于甲，因?yàn)榧子幸话氲臅r(shí)間以速度 SKIPIF 1 < 0 （單位：米/秒）奔跑，另一半的時(shí)間以速度 SKIPIF 1 < 0 （單位：米/秒）奔跑，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．對(duì)于乙，全程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，則 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于丙，丙有一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，另一半的路程以速度 SKIPIF 1 < 0 奔跑，則 SKIPIF 1 < 0 ．
由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)全部成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ，故C選項(xiàng)正確； SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．
4．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）某學(xué)校要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形的體育館，其地面面積為 SKIPIF 1 < 0 ，體育館高 SKIPIF 1 < 0 ，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 米．
(1)當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？
(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 元 SKIPIF 1 < 0 ，若無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功
【詳解】（1）因?yàn)轶w育館前墻長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 米，地面面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以體育館的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為 SKIPIF 1 < 0 元，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；
（2）根據(jù)題意可知 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的內(nèi)容，成立條件及公式的證明。
②利用基本不等式的性質(zhì)及變形求相關(guān)函數(shù)的最值及證明。
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握基本不等式成立的條件，運(yùn)用基本不等式這一重要的工具解決與最值有關(guān)的問(wèn)題，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的證明.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.2 基本不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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