知識(shí)點(diǎn)01：任意角
1、角的概念
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形
2、角的分類(lèi)
①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.
③零角:如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.
3、角的運(yùn)算
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是任意兩個(gè)角， SKIPIF 1 < 0 為角 SKIPIF 1 < 0 的相反角．
(1) SKIPIF 1 < 0 ：把角 SKIPIF 1 < 0 的終邊旋轉(zhuǎn)角 SKIPIF 1 < 0 .（ SKIPIF 1 < 0 時(shí),旋轉(zhuǎn)量為 SKIPIF 1 < 0 ,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn); SKIPIF 1 < 0 時(shí),旋轉(zhuǎn)量為 SKIPIF 1 < 0 ,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）
(2) SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
【即學(xué)即練1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若角α＝30°，把角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°得到角β，則β＝ .
【答案】50°
【詳解】因?yàn)橛?SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
知識(shí)點(diǎn)02：象限角
1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.
如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.
2、象限角的常用表示：
知識(shí)點(diǎn)03：軸線角
1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.
2、軸線角的表示：
知識(shí)點(diǎn)04：終邊相同的角的集合
所有與角 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角為 SKIPIF 1 < 0
【即學(xué)即練2】下列各角中，與 SKIPIF 1 < 0 角終邊重合的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】與 SKIPIF 1 < 0 角終邊重合的角為： SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故C正確.
經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)都不正確.故選：C.
知識(shí)點(diǎn)05：角度制與弧度制的概念
1、弧度制
長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1 SKIPIF 1 < 0 ，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).
2、角度與弧度的換算
弧度與角度互換公式： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表
【即學(xué)即練3】利用單位圓，寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圓心角的弧度數(shù)．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【詳解】在單位圓中， SKIPIF 1 < 0 的圓心角的弧長(zhǎng)是 SKIPIF 1 < 0 ，那么它對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的圓心角的弧長(zhǎng)是 SKIPIF 1 < 0 ，那么它對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的圓心角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的圓心角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是 SKIPIF 1 < 0 ．
知識(shí)點(diǎn)06：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式
弧長(zhǎng)公式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是圓心角的弧度數(shù))，
扇形面積公式： SKIPIF 1 < 0 .
【即學(xué)即練4】已知一扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為9，則該扇形的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以該扇形的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：A
題型01任意角的概念
【典例1】（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5 h，時(shí)針轉(zhuǎn)了 SKIPIF 1 < 0 ．”
B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40 min，分針轉(zhuǎn)了 SKIPIF 1 < 0 ．”
C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為 SKIPIF 1 < 0 ．”
D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”
【答案】ACD
【詳解】解：經(jīng)過(guò)了5 h，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，故A正確．
經(jīng)過(guò)了40 min，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，故B錯(cuò)誤．
時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35，該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為 SKIPIF 1 < 0 ，故C正確．
分針比時(shí)針多走一圈便會(huì)重合一次，設(shè)分針走了t min，第n次和時(shí)針重合，則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確．故選：ACD
【典例2】親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是（ ）.
A．60°，720°B．－60°，－720°
C．－30°，－360°D．－60°，720°
【答案】B
【詳解】鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是負(fù)的，而 SKIPIF 1 < 0 ×360°＝60°，2×360°＝720°，
故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是－60°，－720°.故選：B
【變式2】時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為 ，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)闀r(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，分針每小時(shí)轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，又因?yàn)闀r(shí)針、分針都按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
題型02終邊相同的角
【典例1】下列各角中，與 SKIPIF 1 < 0 角終邊相同的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】對(duì)于B，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以角 SKIPIF 1 < 0 與角 SKIPIF 1 < 0 的終邊相同，B正確；
對(duì)于A，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，D錯(cuò)誤.故選：B.
【典例2】（多選）與 SKIPIF 1 < 0 角終邊相同的角的集合是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【詳解】與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角可寫(xiě)為： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 角終邊相同的角的集合為： SKIPIF 1 < 0 ，A正確； SKIPIF 1 < 0 ，C正確.故選：AC.
【變式1】下列角的終邊與 SKIPIF 1 < 0 角的終邊關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對(duì)稱(chēng)的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】由題意知，與 SKIPIF 1 < 0 角的終邊關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對(duì)稱(chēng)的角為 SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 正確.經(jīng)驗(yàn)證，其他三項(xiàng)均不符合要求.故選： SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α= ．
【答案】﹣960°．
【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結(jié)合角的范圍，可得結(jié)論．
解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．
∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，
∴k=﹣3，此時(shí)α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．
題型03終邊在某條直線上的角的集合
【典例1】若角 SKIPIF 1 < 0 的終邊在函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，試寫(xiě)出角 SKIPIF 1 < 0 的集合為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象是第二、四象限的平分線，在 SKIPIF 1 < 0 ～ SKIPIF 1 < 0 范圍內(nèi)，以第二象限射線為終邊的角為 SKIPIF 1 < 0 ，以第四象限射線為終邊的角為 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的集合為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，
又所有與0°角終邊相同的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ，
所有與180°角終邊相同的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ，
于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即135°和315°，
因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為 SKIPIF 1 < 0
同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上，則角α的取值集合是
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】直線 SKIPIF 1 < 0 的傾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，所以終邊落在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角的取值集合為 SKIPIF 1 < 0 故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式2】在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出下列角的集合：
(1)終邊在 SKIPIF 1 < 0 軸的非負(fù)半軸上；
(2)終邊在 SKIPIF 1 < 0 上．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個(gè)，它是0°，
所以終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個(gè)，它是45°，
所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 .
題型04 區(qū)域角
【典例1】用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1 SKIPIF 1 < 0 ；圖2 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 角的終邊可以看作是 SKIPIF 1 < 0 角的終邊，化為弧度，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 角的終邊即 SKIPIF 1 < 0 的終邊，
所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）與（1）類(lèi)似可寫(xiě)出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．
(1) (2)
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為 SKIPIF 1 < 0 ，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】）集合 SKIPIF 1 < 0 中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 表示的范圍與 SKIPIF 1 < 0 表示的范圍一樣；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 表示的范圍與 SKIPIF 1 < 0 表示的范圍一樣，故選：C．
【變式2】已知角 SKIPIF 1 < 0 的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】終邊在 SKIPIF 1 < 0 角的終邊所在直線上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ，
終邊在 SKIPIF 1 < 0 角的終邊所在直線上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0 ，
因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以角 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式3】用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
題型05確定角的終邊所在的象限
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 為第二象限角，則 SKIPIF 1 < 0 所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第一或第三象限
【答案】D
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為第二象限角，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為第三象限角；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為第一象限角.綜上所述， SKIPIF 1 < 0 為第一或第三象限角.故選：D.
【典例2】（多選）如果α是第三象限的角，那么 SKIPIF 1 < 0 可能是下列哪個(gè)象限的角（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】ACD
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 是第三象限的角，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在第三象限；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在第四象限；
所以 SKIPIF 1 < 0 可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD
【典例3】已知角 SKIPIF 1 < 0 第二象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，則角 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【詳解】因?yàn)榻?SKIPIF 1 < 0 第二象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是偶數(shù)時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為第一象限角；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是奇數(shù)時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 為第三象限角.；
綜上所述： SKIPIF 1 < 0 為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為第三象限角．
故選：C．
【變式1】已知 SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，那么（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是第一、二象限角B． SKIPIF 1 < 0 是第一、三象限角
C． SKIPIF 1 < 0 是第三、四象限角D． SKIPIF 1 < 0 是第二、四象限角
【答案】B
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 是第一象限角，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，綜上所述， SKIPIF 1 < 0 第一、三象限角.
故選：B.
【變式2】若 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，則 SKIPIF 1 < 0 所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限；B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限；D．第二或第四象限．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為第三象限角, 即 SKIPIF 1 < 0 ,所以, SKIPIF 1 < 0 ,
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)時(shí), SKIPIF 1 < 0 是第四象限的角;當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為偶數(shù)時(shí), SKIPIF 1 < 0 是第二象限的角.故選:D.
【變式3】若角 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，試確定角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是第幾象限角．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 可能是第三象限角、第四象限角或終邊在 SKIPIF 1 < 0 軸非正半軸上的角； SKIPIF 1 < 0 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 可能是第三象限角、第四象限角或終邊在 SKIPIF 1 < 0 軸非正半軸上的角．
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 是第一象限角；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 是第二象限角；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 是第四象限角．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
題型06弧度制的概念
【典例1】自行車(chē)的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】由題意，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò) SKIPIF 1 < 0 周，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是 SKIPIF 1 < 0 .故選B.
【典例2】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑
B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大
C．所有圓心角為弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤．
【變式1】下列與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同角的集合中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】因?yàn)榻嵌戎岛突《戎撇荒芑煊?，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 終邊不相同，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
【變式2】若 SKIPIF 1 < 0 ，則角 SKIPIF 1 < 0 的終邊在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【詳解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，故角 SKIPIF 1 < 0 的終邊在第一象限，故選：A
題型07角度與弧度的互化
【典例1】（多選）下列各角中，與角 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【詳解】對(duì)于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A正確；對(duì)于B，與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；對(duì)于C，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤．故選：AB.
【典例2】把下列各角從度化為弧度：(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】設(shè)r為圓的半徑，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的圓弧所對(duì)的圓心角為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】由弧長(zhǎng)、圓心角、半徑的關(guān)系： SKIPIF 1 < 0 ，
弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的圓弧所對(duì)的圓心角： SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【變式2】 SKIPIF 1 < 0 化為角度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 .故選：B
題型08用弧度表示角或范圍
【典例1】寫(xiě)出一個(gè)與角 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的正角： SKIPIF 1 < 0 （用弧度數(shù)表示）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可）
【詳解】與角 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角： SKIPIF 1 < 0
又題目要求正角， SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ，化為弧度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 .答案不唯一
故答案為： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一，符合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可）
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)將 SKIPIF 1 < 0 寫(xiě)成 SKIPIF 1 < 0 的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，是第四象限角；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角.
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
所以與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角可表示為 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】將－1485°化成 SKIPIF 1 < 0 的形式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以－1485°可化成 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【變式2】已知角 SKIPIF 1 < 0 .
(1)將 SKIPIF 1 < 0 改寫(xiě)成 SKIPIF 1 < 0 的形式，并指出 SKIPIF 1 < 0 是第幾象限的角；
(2)在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上找出與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，第二象限角(2) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為第二象限，所以 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角；
（2）與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角可以寫(xiě)出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上與 SKIPIF 1 < 0 終邊相同的角為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
題型09弧長(zhǎng)公式
【典例1】若扇形的面積是 SKIPIF 1 < 0 ，它的周長(zhǎng)是 SKIPIF 1 < 0 ，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】設(shè)扇形的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
故扇形圓心角的弧度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：A
【典例2】若扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑 SKIPIF 1 < 0 .則它的弧長(zhǎng)為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，又扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，所以它的弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】已知扇形面積 SKIPIF 1 < 0 ，半徑是1，則扇形的周長(zhǎng)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，由扇形的面積公式可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則扇形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
【變式2】已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)扇形的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以扇形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
題型10扇形面積公式
【典例1】圓心角為2的扇形的周長(zhǎng)為4，則此扇形的面積為 .
【答案】1
【詳解】設(shè)扇形的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，扇形的面積 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：1.
【典例2】建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知 SKIPIF 1 < 0 ，弧 SKIPIF 1 < 0 ，弧 SKIPIF 1 < 0 ，則此扇環(huán)形磚雕的面積為 SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】設(shè)圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此扇環(huán)形磚雕的面積為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1】已知扇形弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心角為2，則該扇形面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由扇形的面積公式，可得 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
【變式2】工藝扇面是中國(guó)書(shū)畫(huà)的一種常見(jiàn)表現(xiàn)形式.某班級(jí)想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開(kāi)的中心角為 SKIPIF 1 < 0 ，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為 cm2

【答案】400π
【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：
制作這樣一面扇面需要的布料為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為：400π
題型11扇形中的最值問(wèn)題
【典例1】已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【詳解】設(shè)扇形的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
扇形面積為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，則圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，故選：D.
【典例2】已知一扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧長(zhǎng)l；
(2)若扇形面積為16，求扇形周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)扇形周長(zhǎng)的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以扇形的弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由扇形面積 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，則扇形周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以扇形周長(zhǎng)的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】已知扇形的圓心角是 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求扇形的弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 .
（2）若扇形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)扇形的圓心角 SKIPIF 1 < 0 為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，扇形的面積取得最大值25.
【詳解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值25，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】已知扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，所在圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0
(2)若扇形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大 SKIPIF 1 < 0 并求出最大面積．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由題設(shè)條件知， SKIPIF 1 < 0 ,
因此扇形的面積 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】已知扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，所在圓的半徑為r．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧長(zhǎng)．
(2)若扇形的周長(zhǎng)為24，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l．因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題設(shè)條件，知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以扇形的面積 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，S有最大值36，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是36．
【變式1】已知一扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，所在圓的半徑為R.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角 SKIPIF 1 < 0 等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大?
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S，則
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴扇形面積 SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，S有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因此當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，這個(gè)扇形面積最大.
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角B．終邊相等的角必相等
C．小于 SKIPIF 1 < 0 的角一定在第一象限D(zhuǎn)．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【詳解】銳角是指大于 SKIPIF 1 < 0 小于 SKIPIF 1 < 0 的角，故其在第一象限，即A正確；
選項(xiàng)B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差 SKIPIF 1 < 0 整數(shù)倍，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C．小于 SKIPIF 1 < 0 的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時(shí)第二象限角小于第一象限角，故錯(cuò)誤.故選：A
2．把 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 的形式，則θ的值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
3．已知角的集合 SKIPIF 1 < 0 ，則在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的角有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】B
【詳解】依題意，解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的角有3個(gè).故選：B
4．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以 SKIPIF 1 < 0 的速度爬行，黑螞蟻以 SKIPIF 1 < 0 的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】
如圖所示，紅螞蟻以 SKIPIF 1 < 0 的速度爬行，黑螞蟻以 SKIPIF 1 < 0 的速度爬行，
則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為 SKIPIF 1 < 0 ，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為 SKIPIF 1 < 0 ，到達(dá)C處，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為正三角形，故 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
5．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
6．某圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線部分），已知該扇環(huán)的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角 SKIPIF 1 < 0 的大小為（ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【詳解】由該扇環(huán)的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即扇環(huán)的圓心角 SKIPIF 1 < 0 的大小為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
7．扇面書(shū)畫(huà)在中國(guó)傳統(tǒng)繪畫(huà)中由來(lái)已久，最早關(guān)于扇面書(shū)畫(huà)的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書(shū)六角扇》.扇面書(shū)畫(huà)發(fā)展到明清時(shí)期，折扇扇面畫(huà)開(kāi)始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫(huà)的外弧長(zhǎng)為48，內(nèi)弧長(zhǎng)為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫(huà)的面積約為（ ）（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ）

A．990B．495C．380D．300
【答案】C
【詳解】如圖，

設(shè)該扇面畫(huà)的外弧所在圓的半徑為R，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，內(nèi)弧所在圓的半徑為r，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以扇面畫(huà)的面積約為 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
8．玉雕在我國(guó)歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【詳解】如圖，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由弧長(zhǎng)公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)扇形 SKIPIF 1 < 0 ，扇形 SKIPIF 1 < 0 的面積分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該壁畫(huà)的扇面面積約為 SKIPIF 1 < 0 ．故選：A
二、多選題
9．若角 SKIPIF 1 < 0 的終邊與角 SKIPIF 1 < 0 的終邊關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 軸對(duì)稱(chēng)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值可能為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【詳解】因?yàn)榻?SKIPIF 1 < 0 的終邊與角 SKIPIF 1 < 0 的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 .故選：AD.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 為第四象限角，則 SKIPIF 1 < 0 可能為（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】BCD
【詳解】由題意知 SKIPIF 1 < 0 為第四象限角，則 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為第四象限角，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為第二象限角，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為第三象限角，
即 SKIPIF 1 < 0 可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選： SKIPIF 1 < 0
三、填空題
11．已知半徑為 SKIPIF 1 < 0 的扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，則扇形的面積為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】因?yàn)榘霃?SKIPIF 1 < 0 扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，則圓心角 SKIPIF 1 < 0 ，所以弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，面積 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
12．如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A，圓M沿著直線l滾動(dòng)．當(dāng)圓M滾動(dòng)到圓 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，圓 SKIPIF 1 < 0 與直線l相切于點(diǎn)B，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，線段AB的長(zhǎng)度為 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【詳解】根據(jù)條件可知圓周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，故可得圓旋轉(zhuǎn)了 SKIPIF 1 < 0 圓周， SKIPIF 1 < 0 位置如圖：
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，則 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答題
13．寫(xiě)出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由題圖易知，在 SKIPIF 1 < 0 范圍內(nèi)，終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角有兩個(gè)，即 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角的集合為
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）同理可得終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角的集合為
SKIPIF 1 < 0 ，
終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角的集合為 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以終邊在直線 SKIPIF 1 < 0 上和在直線 SKIPIF 1 < 0 上的角的集合為
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
14．已知一扇形的圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，面積為 SKIPIF 1 < 0 ，弧長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ,所在圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的弧長(zhǎng)；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求扇形的半徑和圓心角．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)扇形半徑為4，圓心角為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即扇形的半徑為4，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書(shū)中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為 SKIPIF 1 < 0 ，夏至那天正午，陽(yáng)光直射，立桿無(wú)影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為 SKIPIF 1 < 0 ，測(cè)得立桿與太陽(yáng)光線所成的角約為 SKIPIF 1 < 0 .他又派人測(cè)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩地的距離 SKIPIF 1 < 0 km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（ ）（ SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 kmB． SKIPIF 1 < 0 kmC． SKIPIF 1 < 0 kmD． SKIPIF 1 < 0 km
【答案】C
【詳解】設(shè)地心為 SKIPIF 1 < 0 ，依題意可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)地球的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 km.故選：C
2．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感.萊洛三角形的畫(huà)法如下：先畫(huà)等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 ，再分別以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心，線段 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，則其面積是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【詳解】萊洛三角形的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，可得弧長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，則等邊三角形的邊長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，
分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧 SKIPIF 1 < 0 所對(duì)的扇形面積均為 SKIPIF 1 < 0 ，
等邊 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，所以萊洛三角形的面積是 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
3．（多選）已知三角形 SKIPIF 1 < 0 是邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的等邊三角形.如圖，將三角形 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與原點(diǎn)重合. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上，然后將三角形沿著 SKIPIF 1 < 0 軸順時(shí)針滾動(dòng)，每當(dāng)頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 再次回落到 SKIPIF 1 < 0 軸上時(shí)，將相鄰兩個(gè) SKIPIF 1 < 0 之間的距離稱(chēng)為“一個(gè)周期”，給出以下四個(gè)結(jié)論，其中說(shuō)法正確的是（ ）
A．一個(gè)周期是 SKIPIF 1 < 0
B．完成一個(gè)周期，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡是一個(gè)半圓
C．完成一個(gè)周期，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡長(zhǎng)度是 SKIPIF 1 < 0
D．完成一個(gè)周期，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡與 SKIPIF 1 < 0 軸圍成的面積是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【詳解】由已知可得：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
對(duì)于A，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 再次回落到 SKIPIF 1 < 0 軸上時(shí)，發(fā)生了 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位的位移，則一個(gè)周期為 SKIPIF 1 < 0 ，A正確；
對(duì)于B，完成一個(gè)周期，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡由以 SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的 SKIPIF 1 < 0 圓和以 SKIPIF 1 < 0 為圓心， SKIPIF 1 < 0 為半徑的 SKIPIF 1 < 0 圓共同組成，不是一個(gè)半圓，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B知，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡為 SKIPIF 1 < 0 ，C正確；
對(duì)于D，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的軌跡與 SKIPIF 1 < 0 軸圍成的區(qū)域面積為兩個(gè) SKIPIF 1 < 0 圓的面積與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和，
即所求面積為 SKIPIF 1 < 0 ，D正確.故選：ACD.
4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝ SKIPIF 1 < 0 (弦×矢＋矢 SKIPIF 1 < 0 )．弧田是由圓弧及其所對(duì)的弦所圍成．公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為 SKIPIF 1 < 0 ，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積最接近的整數(shù)是 ．
【答案】9
【詳解】設(shè)弧田的圓心為 SKIPIF 1 < 0 ，弦為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)，連 SKIPIF 1 < 0 交弧于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，
由題意可得∠AOB＝ SKIPIF 1 < 0 ，OA＝4，在Rt△AOC中，易得∠AOC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠CAO＝ SKIPIF 1 < 0 ，
OC＝ SKIPIF 1 < 0 OA＝ SKIPIF 1 < 0 ，可得矢＝4－2＝2，由AC＝OA SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，可得弦AB＝2AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以弧田面積＝ SKIPIF 1 < 0 ×( SKIPIF 1 < 0 )＝ SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，所得弧田面積最接近的整數(shù)是9.故答案為：9.
5．已知扇形的面積為S，周長(zhǎng)為p，中心角為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若S是定值，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為多少弧度時(shí)，周長(zhǎng)p最小，并求此最小值（用S表示）.
(2)若p是定值，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為多少弧度時(shí)，面積S最大，并求此最大值（用p表示）.
【答案】(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)周長(zhǎng)最小，為 SKIPIF 1 < 0 (2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)面積最小，為 SKIPIF 1 < 0
【詳解】（1）依題意，設(shè)扇形的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則扇形的面積 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）扇形周長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，扇形面積取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
6．某地政府部門(mén)欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形 SKIPIF 1 < 0 挖去扇形 SKIPIF 1 < 0 后構(gòu)成的)．已知 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 、線段 SKIPIF 1 < 0 與弧 SKIPIF 1 < 0 、弧 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度之和為 SKIPIF 1 < 0 米，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 弧度．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，試問(wèn) SKIPIF 1 < 0 取何值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值最大?并求出最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，y的值最大，最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）根據(jù)題意，弧 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度為 SKIPIF 1 < 0 米，弧 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度 SKIPIF 1 < 0 米，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）依據(jù)題意，可知 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，y的值最大，且最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。
②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。
③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互
化。
④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見(jiàn)特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。
⑤掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的弧長(zhǎng)及面積運(yùn)算。
1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；
2掌握弧度制與角度制的互化，；
3.記住特殊角的弧度制；
4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長(zhǎng)公式和面積公式的運(yùn)用；
第一象限角
SKIPIF 1 < 0
第二象限角
SKIPIF 1 < 0
第三象限角
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
第四象限角
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
①
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸非負(fù)半軸
SKIPIF 1 < 0
②
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸非負(fù)半軸
SKIPIF 1 < 0
③
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸非正半軸
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
④
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸非正半軸
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
⑤
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸
SKIPIF 1 < 0
⑥
終邊落在 SKIPIF 1 < 0 軸
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
⑦
終邊落在坐標(biāo)軸
SKIPIF 1 < 0
角度制
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
弧制度
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0

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