1. 借助表格分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系,從而建立方程解決實(shí)際問題。2. 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐,服務(wù)于實(shí)踐,解決問題用最簡單的方法。重點(diǎn)：利用方程解決“盈余不足”問題。難點(diǎn)：根據(jù)題意建立等量關(guān)系,列出方程。
《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部。
《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？”你知道我國古人是如何解決這個問題的嗎？
“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)、物價各幾何？”
題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出 8 錢，則會多出 3 錢，若每人出 7 錢，則還少 4 錢。問合伙的人數(shù)和物品的價格分別是多少？
（1）問題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？
（2）設(shè)人數(shù)為 x，其他未知量能用含 x 的代數(shù)式表示嗎？請完成下表。
（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？
方法總結(jié)：利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法。
設(shè)人數(shù)為 x。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程： 。解這個方程，得 x = 。因此，人數(shù)為 ，物價為 。
8x - 3 = 7x + 4
如果設(shè)物價為 y，你能列出怎樣的方程？與同伴進(jìn)行交流。
例1 《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)、金價各幾何？題目大意：幾個人合伙買金，每人出 400 錢，會多出 3400 錢；每人出 300 錢，會多出 100 錢。合伙人數(shù)、金價各是多少？
分析：設(shè)人數(shù)為 x，你能把下表補(bǔ)充完整嗎？
400x - 3400
解：設(shè)合伙人數(shù)為 x，則金價可表示為 （400x - 3400）錢，還可表示為 （300x - 100）錢，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：
方程的兩邊就是金價的兩種不同的表達(dá)式。
400x - 3400 = 300x - 100。
解這個方程，得 x = 33。
300×33 - 100 = 9800。
因此，人數(shù)為 33，金價為 9800 錢。
（1）對于例 1，如果設(shè)金價為 y，能列出怎樣的方程？
解得 y = 9800。
（2）《九章算術(shù)》給出了一種算法： 人數(shù) = 兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差； 物價 = 每人出的較多錢數(shù)×人數(shù) - 剩余錢數(shù)， 或 物價 = 每人出的較少錢數(shù)×人數(shù) + 不足的錢數(shù)。你能理解這種解法嗎？與方程的求解過程相比，有什么不同？與同伴進(jìn)行交流。
1. (鹽城·期末)《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測井，若將繩三折測之,繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。問繩長、井深各幾何? ”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺。問繩長和井深各多少尺？假設(shè)井深為 x 尺，則符合題意的方程應(yīng)為 ( )A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x + 1)
2.(廣東)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價各是多少元？
解：設(shè)學(xué)生有 x人．根據(jù)題意，得 8x－3＝7x＋4.解得 x＝7.7×8－3＝53(元)．答：學(xué)生有 7 人，該書單價是 53 元．
盈時的總量－盈時的數(shù)量＝虧時的總量＋____的數(shù)量
方法點(diǎn)撥：“盈余不足”問題，往往都是根據(jù)同一個量的兩種不同表示方式來列方程求解，一般有兩種設(shè)未知數(shù)的方法。
1.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一。書中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；如果每人出六錢，那么少了十六錢。問：共有幾個人？”設(shè)共有 x 個人共同出錢買雞，則下面所列方程正確的是（　?。〢．9x + 11 = 6x - 16 B．9x - 11 = 6x + 16C．6x - 11 = 9x + 16 D．6x + 11 = 9x - 16
2. 牛奶是家家戶戶早餐的選擇，現(xiàn)某奶站每天需要配送若干瓶牛奶，若每個送奶員配送 10 瓶，還剩 6 瓶；若每個送奶員配送 12 瓶，還差 6 瓶。設(shè)該奶站現(xiàn)有送奶員 x 人，根據(jù)題意列方程為（　　）A．10x + 6 = 12x - 6B．10x - 6 = 12x + 6C．10 + 6x = 12 - 6xD．10 - 6x = 12 + 6x　
3. 在數(shù)學(xué)課上，老師展示了下列問題，請同學(xué)們分組討論解決的方法．中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，其中《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人和車各幾何？”這個題的意思是：今有若干人乘車。若每 3 人乘一輛車，則余 2 輛空車；若每 2 人乘一輛車。則余 9 人需步行，問共有多少輛車，多少人？
某小組選擇用一元一次方程解決問題，請補(bǔ)全他們的分析和解答過程：（1）設(shè)共有 x 輛車；（2）由“若每 3 人乘一輛車，則余 2 輛空車”，可得人數(shù)為 （用含 x 的式子表示）；（3）由“若每 2 人乘一輛車，則余 9 人需步行”可得人數(shù)為 （用含 x 的式子表示）；（4）根據(jù)兩種乘車方式的人數(shù)相等，列出方程為 。
3(x - 2) = 2x + 9

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3 一元一次方程的應(yīng)用

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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