3 一元一次方程的應(yīng)用
第2課時
一、教學(xué)目標(biāo)
1.借助表格分析古數(shù)學(xué)盈虧問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決實(shí)際問題，發(fā)展分析問題、解決問題的能力.
2.對同一問題設(shè)不同未知數(shù)列出不同的方程，體會算法多樣化，體會一題多解及解的合理性.
3.歸納利用方程解決實(shí)際問題的一般步驟，進(jìn)一步體會模型思想.
4.通過對古數(shù)學(xué)中的盈虧問題的探討，進(jìn)一步體會方程模型的作用，同時從情感上認(rèn)識希望工程，懂得珍惜今天的良好的學(xué)習(xí)生活環(huán)境.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：借助表格準(zhǔn)確分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，間接設(shè)未知數(shù).
難點(diǎn)：正確找出等量關(guān)系，解決實(shí)際問題，探究多種解題方法.
三、教學(xué)用具
電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部.
《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”
你知道我國古人是如何解決這個問題的嗎？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生身臨其境，深刻感受到古數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)生學(xué)習(xí)新知創(chuàng)設(shè)了問題情境，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動變?yōu)橹鲃?陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.
環(huán)節(jié)二 探究新知
教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.
【思考】
“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”
題目大意：幾個人合伙買東西，若每人出 8 錢，則會多出 3 錢，若每人出 7 錢，則還少 4 錢.問合伙的人數(shù)和物品的價格分別是多少？
(1)問題中有哪些已知量和未知量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？
預(yù)設(shè)答案：
已知量：每人出 8 錢，多出 3 錢，每人出 7 錢，少 4 錢.
未知量：合伙的人數(shù)、物品的價格.
第一種出錢總數(shù)-3=第二種出錢總數(shù)+4.
(2)設(shè)人數(shù)為 x，其他未知量能用含 x的代數(shù)式表示嗎？請完成下表.
預(yù)設(shè)答案：
(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？
設(shè)人數(shù)為 x.
根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：8x - 3 = 7x + 4 .
解這個方程，得 x =7 .
因此，人數(shù)為7，物價為53 .
小結(jié)：利用表格分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.
追問：如果設(shè)物價為 y，你能列出怎樣的方程？與同伴進(jìn)行交流.
預(yù)設(shè)答案：
列方程得：y+38=y?47
解得 y = 53.
追問：你比較喜歡用哪種方式列方程呢？
歸納：
“盈不足”問題解題關(guān)鍵是確定等量關(guān)系，方法有兩種.
根據(jù)人數(shù)不變找等量關(guān)系；
根據(jù)物價不變找等量關(guān)系.
設(shè)計(jì)意圖：通過對比，體會到了在這個較為復(fù)雜的實(shí)際問題中，為了理清楚各個量之間的關(guān)系，我們可以借助“列表格”的方法來幫助我們解決一些較復(fù)雜的問題.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
例 《九章算術(shù)》“盈不足”章第五題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.問人數(shù)、金價各幾何？
題目大意：幾個人合伙買金，每人出 400 錢，會多出 3400 錢；
每人出 300 錢，會多出 100 錢.合伙人數(shù)、金價各是多少？
分析：設(shè)人數(shù)為x，你能把下表補(bǔ)充完整嗎？
解：設(shè)合伙人數(shù)為 x，則金價可表示為 （400x - 3400）錢，
還可表示為 （300x - 100）錢，
根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：400x - 3400 = 300x - 100
解這個方程，得 x = 33.
300×33 - 100 = 9800.
因此，人數(shù)為 33，金價為 9800 錢.
歸納：
列一元一次方程求解古數(shù)學(xué)盈虧問題的基本思路：
【思考交流】
(1)對于例題，如果設(shè)金價為 y，能列出怎樣的方程？
分析：
可列方程得：y+3400400=y+100300.
(2)《九章算術(shù)》給出了一種算法：人數(shù) = 兩次剩余錢數(shù)之差÷兩次每人所出錢數(shù)之差；物價 = 每人出的較多錢數(shù)×人數(shù) - 剩余錢數(shù)，或物價 = 每人出的較少錢數(shù)×人數(shù) + 不足的錢數(shù).你能理解這種解法嗎？與方程的求解過程相比，有什么不同？與同伴進(jìn)行交流.
預(yù)設(shè)答案：解方程→順向思考，算式方法→逆向思考.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生再次借助“列表格”來完成，進(jìn)一步感受列表格的好處，加強(qiáng)學(xué)生在用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程中，明確必須檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際.
環(huán)節(jié)四 鞏固練習(xí)
教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1. 《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測井，若將繩三折測之,繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺.問繩長、井深各幾何? ”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺.問繩長和井深各多少尺？
假設(shè)井深為 x 尺，則符合題意的方程應(yīng)為 ( )
A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1
C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x+ 1)
答案：D.
2.我國古代著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一首古算詩:
“庭前孩童鬧如簇，不知人數(shù)不知梨.每人四梨多十二，每人六梨恰齊足.”
其大意是：孩童們在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4個梨，多12個梨；每人分6個梨,恰好分完.設(shè)梨有x個，則可列方程為_______.
答案：x?124=x6.
3.隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.問:人、銀各幾何?(選自《算法統(tǒng)宗》)
題目大意:幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩:若每人分9兩，則差8兩.有多少個人?有多少兩銀子?
解：設(shè)人數(shù)為x.
根據(jù)題意，可列方程得：7x + 4=9x - 8
解得：x=6
7×6 +4 = 46(兩).
因此，有6個人，有46兩銀子.
4.雞兔同籠是我國古代三大算術(shù)題目之一,最早記載于《孫子算經(jīng)》中,距今約1500年,原文如下:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?翻譯成現(xiàn)代漢語就是:有若干只雞和兔子在同一個籠子里,從上面數(shù)共有35個頭,從下面數(shù)共有94只腳,雞和兔子各有多少只?
解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只.
根據(jù)題意,得2x+4(35-x)=94，
解這個方程，得x=23.
35-23=12.
因此，雞有23只，兔有12只.
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)及時鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生加強(qiáng)練習(xí)，給學(xué)生提供進(jìn)一步鞏固對建立方程模型的基本過程和方法的熟悉機(jī)會.并考查學(xué)生的知識應(yīng)用能力，培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
通過這節(jié)課，你學(xué)到了哪些內(nèi)容？
列一元一次方程求解古數(shù)學(xué)盈虧問題的基本思路
設(shè)計(jì)意圖：回顧知識點(diǎn)形成知識體系，養(yǎng)成回顧梳理知識的習(xí)慣.

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版本： 北師大版（2024）

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