小結(jié)與復習 第五章 一元一次方程 七年級上冊數(shù)學（北師版）一元一次方程的一般形式 (a ≠ 0)定義：只含有 未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是 ，等式兩邊都是____方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值解方程等式的基本性質(zhì)解法應用①去 ；②去 ；③ 項；④合并 ；⑤系數(shù)化為___審、 、列、解、檢、 ax = b一個1整式分母括號移同類項1找答一、方程的有關(guān)概念1. 方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程．2. 一元一次方程的概念：如果只含有___個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是 ，等式兩邊都是________，這樣的方程叫作一元一次方程.3. 方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數(shù)的 值叫作方程的解．4. 解方程：求方程的解的過程叫作解方程．一1整式二、等式的基本性質(zhì) bcc解一元一次方程的一般步驟： (1) 去分母：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，別 漏乘。 (2) 去括號：注意括號前的系數(shù)與符號。 (3) 移項：把含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù) 項移到方程右邊，移項時注意要改變符號。 (4) 合并同類項：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式． (5) 系數(shù)化為 1：方程兩邊同除以 x 的系數(shù)，得 x＝m 的形式。三、一元一次方程的解法 1. 列一元一次方程解決實際問題的一般步驟： 審：審清題意，分清題中的已知量、未知量。 設：設未知數(shù)，設其中某個未知量為 x。 列：根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程。 解：解方程。 檢：檢驗方程的解是否符合題意。 答：寫出答案 (包括單位)。四、實際問題與一元一次方程2. 常見的幾種方程類型及等量關(guān)系： (1) 行程問題中基本量之間關(guān)系： 路程＝速度×時間． ① 相遇問題： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及問題： 甲為快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船問題： v順＝v靜＋v水，v逆＝v靜－v水。(2) 工程問題中基本量之間的關(guān)系： ① 工作量＝工作效率×工作時間； ② 合作的工作效率＝工作效率之和； ③ 工作總量＝各部分工作量之和＝合作的工作效 率×工作時間； ④ 在沒有具體數(shù)值的情況下，通常把工作總量看 作 1。(3) 銷售問題與方案選擇問題 ① 商品利潤＝商品售價－商品進價；④ 商品售價＝商品進價＋商品利潤 ＝商品進價＋商品進價×利潤率 ＝商品進價×(1＋利潤率)。例1 有式子：① 2x + 4 = 6，② x - 1 = ，③ 3x2 - 2x = 0，④ 5x < 7，⑤ 3x - 2y = 2，⑥ x = 3，其中是一元一次方程的有 ( )A. 5 個 B. 4 個 C. 3 個 D. 2 個D√分析：② 等號右邊不是整式；√③ 未知數(shù)次數(shù)不為 1 ；④ 不是等式；⑤ 含兩個未知數(shù).1. 下列方程中，是一元一次方程的是 ( )A. = 2 B. x + 2 = y + 2 C. x - 1 = 2x D. x2 - 1 = 0C2. 如果方程 kx|k+1| + 2 = 0 是關(guān)于 x 的一元一次方程，那么 k = .分析：k ≠ 0，|k + 1| = 1，解得 k = -2 或 k = 0 (舍).-2例2 根據(jù)等式的基本性質(zhì)，下列各式變形正確的是 ( )A.若 3x = 5，則 =B.若 x = y，則 x - 6 = 6 - yC.如果 x = y，那么 -8x = -8yD. 2x = 6，那么 x =C(a ≠ 0)y - 633. (蘭州市第二十中學期末) 下列等式變形中不正確的是 ( )A. 若 x = y，則 x + 5 = y + 5B. 若 = ，則 x = yC. 若 -3x = -3y，則 x = yD. 若 mx = my，則 x = yD(m ≠ 0)例3 (1) 解：去分母，得 2(2x - 1) - (10x + 1) = 12去括號，得 4x - 2 - 10x - 1 = 12移項，得 4x - 10x = 12 + 2 + 1合并同類項，得 -6x = 15系數(shù)化為 1，得 x = -2.5 .(2) 去分母，得 2(3x - 5) + 9 = 5 + 4x去括號，得 6x - 10 + 9 = 5 + 4x移項，得 6x - 4x = 5 + 10 - 9合并同類項，得 x = 3.分子分母同時乘10，分數(shù)大小不變小數(shù)化分數(shù)4. (高臺縣城關(guān)初級中學期末) 解方程： (1) 3(1 - x) = 1 + 2x 解：去括號，得 3 - 3x = 1 + 2x移項，得 -3x - 2x = 1 - 3合并同類項，得 -5x = -2系數(shù)化為 1，得 x = 0.4 .解：去分母，得 5(3x + 1) - 2(4x - 2) = -10 去括號，得 15x + 5 - 8x + 4 = -10移項，得 15x - 8x = -10 - 5 - 4合并同類項，得 7x = -19 (2)例4 客車和貨車同時從甲、乙兩地的中點反向行駛，3 小時后，客車到達甲地，貨車離乙地還有 30 千米. 如果客車與貨車的速度的比為 4 ∶3，那么甲、乙兩地相距多少千米？客車、貨車每小時分別行駛多少千米？分析：問 v客車 v貨車4x km/h3x km/h客車路程貨車路程30 km?行程問題解：設客車每小時行駛 4x 千米，貨車每小時行駛 3x 千米，由題意，得3×4x＝3×3x＋30解得 x＝10.所以 4x＝40，3x＝30，2×3×4x＝240.答：甲、乙兩地相距 240 千米，客車每小時行駛 40 千米，貨車每小時行駛 30 千米.5. (甘肅山丹期末) 輪船沿江從 A 港順流行駛到 B 港，比從 B 港返回 A 港少用 3 小時，若船速為 26 千米/時，水速為 2 千米/時，求 A 港和 B 港相距多少千米. 設 A 港和 B 港相距 x 千米. 根據(jù)題意，可列出的方程是 ( )A例5 (甘肅肅州期末) 甲、乙兩工程隊開挖一條水渠各需 10 天、15 天，兩隊合作 2 天后，甲有其他任務，剩下的工作由乙隊單獨做，還需多少天能完成任務？設還需 x 天，可得方程 ( )A. B.C. D.A?工程問題6. (安徽定遠期末) 整理一批圖書，由一個人做要 40 小時完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做 4 小時，再增加 2 人和他們一起做 8 小時，完成這項工作. 假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？解：設應先安排 x 人工作，由題意，得解得 x = 2.答：應先安排 2 人工作.例6 某文教店購進一批鋼筆，按進價提高 40% 后標價，為了增加銷量，文教店決定按標價打八折出售，這時每支鋼筆的售價為 28 元.(1) 求每支鋼筆的進價為多少元；解：設每支鋼筆的進價為 x 元，由題意，得0.8×(1 + 40%)x = 28解得 x = 25.答：每支鋼筆的進價為 25 元 .?銷售問題(2) 該文教店賣出這批鋼筆的一半后，決定將剩下的鋼筆以每 3 支 80 元的價格出售，很快銷售完畢，銷售這批鋼筆文教店共獲利 2800 元，求該文教店共購進這批鋼筆多少支？解：設該文教店共購進這批鋼筆 x 支，由題意，得解得 x = 1200.解：該文教店共購進這批鋼筆 1200 支.7. 一件衣服標價 132 元，若以 9 折降價出售，仍可獲利 10%，則這件衣服的進價是 元.(1＋10%)x＝132×0.9108?方案選擇問題例7 有兩種通訊套餐，收費方式如表：(1) 一個月通話多少分鐘時，兩種套餐收費相同？解：(1) 設一個月的通話 x 分鐘時，兩種收費方式相同，根據(jù)題意，得 30 + 0.15x = 0.3x解得 x = 200.答：一個月的通話 200 分鐘時，兩種套餐收費相同.(2) 一個月內(nèi)在本地通話 100 分鐘，選擇___套餐更劃算；一個月內(nèi)在本地通話 300 分鐘，選擇___套餐更劃算.A：30 + 0.15×100 = 45 (元)B：0.3×100 = 30 (元)A：30 + 0.15×300 = 75 (元)B：0.3×300 = 90 (元)BA8. (寧波·期中) 為慶?！拔逡弧?，學校統(tǒng)一組織合唱比賽，七、八年級共 92 人 (其中七年級的人數(shù)超過 46 人但不足 90 人) 準備統(tǒng)一購買服裝參加比賽. 若兩個年級分別單獨購買服裝一共應付 5000 元， 下表是某服裝廠給出服裝的價格表：(1) 求七、八年級各有多少學生參加合唱比賽；解：(1) 設七年級有 x 人，則八年級有 (92 - x) 人，因為七年級人數(shù)超過 46 但不足 90 人，所以八年級人數(shù)不足 46 人.依題意，得 50x + 60(92 - x) = 5000解得 x = 52.則 92 - x = 40.答：七年級有 52 人，則八年級有 40 人參加合唱比賽.(2) 七年級參加合唱比賽的學生中，有 10 名同學抽調(diào)去參加繪畫比賽，不能參加合唱比賽，請你為兩個年級設計一種最省錢的購買服裝方案.(2) 七年級：52 - 10 = 42 （人），八年級： 40 人.①兩個年級單獨購買：②兩個年級一起買 82 套：③兩個年級一起買 91 套：42×60 + 40×60 = 4920 (元)82×50 = 4100 (元)91×40 = 3640 (元)因為 4920 > 4100 > 3640，所以兩個年級一起買 91 套最省錢.實際問題實際問題的解答一元一次方程的解 (x = a)一元一次方程抽象為數(shù)學模型回歸于實際問題

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年級： 七年級上冊（2024）

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