典例精講
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算
【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【一隅三反】
1．（2022廣東湛江）計(jì)算：
(1)； (2)；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
（7） （8）
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【例2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【一隅三反】
1．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)，則_______.
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）______．（其中i是虛數(shù)單位）
3（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；(5).
考點(diǎn)三 共軛復(fù)數(shù)
【例3】（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為___________.
【一隅三反】
1．（2022·高一單元測(cè)試）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
3．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第四十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為___________.
考點(diǎn)四 在復(fù)數(shù)內(nèi)解方程
【例4-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)______.
【例4-2】（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【例4-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
(1)；(2)．
.
【一隅三反】
1．（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根為________．
2．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．
(1)求和．
(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．
3．（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考期末）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.
(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若，z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值.
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用
【例5-1】（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知復(fù)數(shù)：滿足，則（ ）
A．B．z的虛部為
C．z的共軛復(fù)數(shù)為D．z是方程的一個(gè)根
【例5-2】（2022春·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（ ）
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).
A．①④B．②C．②③D．①②③
【一隅三反】
1．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（ ）
A．B．復(fù)數(shù)的虛部為
C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D．若為復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)
2．（2022·高一單元測(cè)試）（多選）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求：
(1)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)平行四邊形ABCD的面積．
7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（精講）思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算
【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【一隅三反】
1．（2022廣東湛江）計(jì)算：
(1)； (2)；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
（7） （8）
【答案】(1)(2)（3）；（4）；（5）0；（6）8.（7）；（8）.
【解析】(1)；
(2)；
（3）
（4）
（5）
（6）=8
（7）；
（8）.
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)4(2)(3)(4)
【解析】（1）．
（2）原式．
（3）．
（4）原式．
【例2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2 020i2 020＋2 021i2 021.
【答案】(1)(2)（3）1010＋1011i
【解析】（1）原式．
原式
（3）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2 021i＝1010＋1011i.
【一隅三反】
1．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)，則_______.
【答案】
【解析】由題意化簡(jiǎn)，
則，故答案為：
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）______．（其中i是虛數(shù)單位）
【答案】
【解析】.故答案為：
3（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；(5).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】（1）解法1：原式．
解法2：原式．
（2）原式．
（3）原式.
（4）原式.
（5），，，
原式.
考點(diǎn)三 共軛復(fù)數(shù)
【例3】（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)為.
故答案為：
【一隅三反】
1．（2022·高一單元測(cè)試）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，共軛?fù)數(shù)為.故選：C.
2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限．
【答案】D
【解析】，所以其共軛復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.
3．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第四十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為___________.
【答案】
【解析】由于，所以，所以.故答案為：
考點(diǎn)四 在復(fù)數(shù)內(nèi)解方程
【例4-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)______.
【答案】2
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的根，所以也是方程的根，
所以，得，故答案為：2
【例4-2】（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，
所以，則，
又由求根公式知兩虛根為，，
所以，則，解得，滿足要求，
所以.故選：C.
【例4-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由于，所以.
（2）由于，所以.
【一隅三反】
1．（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根為________．
【答案】
【解析】是關(guān)于的方程的一個(gè)根，設(shè)該方程的另一個(gè)根為，
可得，解得.故答案為：．
2．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．
(1)求和．
(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．
【答案】(1)，(2)（答案不唯一）
【解析】(1)因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則互為共軛復(fù)數(shù)，
設(shè)，，代入中，得，
整理得，，解得，，；
(2)；，
以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以為．
3．（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考期末）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.
(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若，z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，
所以解得：.
(2)當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)閦是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以z的共軛復(fù)數(shù)也是實(shí)系數(shù)方程的根，所以，，解得：，，故.
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用
【例5-1】（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知復(fù)數(shù)：滿足，則（ ）
A．B．z的虛部為
C．z的共軛復(fù)數(shù)為D．z是方程的一個(gè)根
【答案】AD
【解析】因?yàn)?，所以?br>對(duì)A：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：z的虛部為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)C：z的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)D：因?yàn)榉匠痰母鶠椋?br>所以z是方程的一個(gè)根，故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
【例5-2】（2022春·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（ ）
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).
A．①④B．②C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】為復(fù)數(shù)，
①若，因?yàn)闆]有大?。ㄌ摬繛?，即為實(shí)數(shù)時(shí)除外），故是錯(cuò)誤的，
②若，設(shè)，則，由，得，所以，正確，
③若，則，正確，
④若是虛數(shù)，不一定都是虛數(shù)，比如，而是虛數(shù)，故錯(cuò)誤，
故②③正確，
故選：C.
【一隅三反】
1．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（ ）
A．B．復(fù)數(shù)的虛部為
C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D．若為復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)
【答案】AD
【解析】A：，故A正確；
B：對(duì)于復(fù)數(shù)的虛部為-1，故B錯(cuò)誤；
C：由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)()，
則，所以，故C錯(cuò)誤；
D：設(shè)復(fù)數(shù)()，則，
所以，故D正確.
故選：AD
2．（2022·高一單元測(cè)試）（多選）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋瑒t，則，所以，故A正確；
對(duì)于B：若，則，故B正確；
對(duì)于C：令，，，
由，所以，
所以，則，同理可得，
所以，故C正確；
對(duì)于D：令，，則，但是、，所以，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求：
(1)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)平行四邊形ABCD的面積．
【答案】(1)5(2)7
【解析】（1）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為,所以向量，
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為,所以向量，
，
，
，
點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為5 .
（2），
，
，，
.
故平行四邊形面積為7.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

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