專題02 三角形中的三種幾何最值模型 類型一、將軍飲馬模型 ①一動兩定 ②兩動一定 例1．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________． 例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點是直線上一動點，將點向右平移1個單位得到點，點，則的最小值為________. 例3．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2 (1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE； (2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長； (3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在周長為的菱形中，，，若為對角線上一動點，則的最小值為______． 【變式訓(xùn)練2】如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______． 【變式訓(xùn)練3】如圖，直線與軸，軸分別交于和，點、分別為線段、的中點，為上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，點的坐標(biāo)為 ___________． 類型二、胡不歸模型 背景故事：從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？ 看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題. 模型建立：將這個問題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時間為，則， 由可得，提取一個得， 若想總的時間最少，就要使得最小， 例1．如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值（????） A． B． C． D． 例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則的最小值是______． 【變式訓(xùn)練2】如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___． 【變式訓(xùn)練3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 _____． 【變式訓(xùn)練4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點B，且分別交x軸于點A和點C． （1）求△ABC的面積； （2）點E坐標(biāo)為（5，0），點F為直線l1上一個動點，點P為y軸上一個動點，求當(dāng)EF＋CF最小時，點F的坐標(biāo)，并求出此時PF＋OP的最小值． 類型三、瓜豆模型 問題1：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？ 解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線． 理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線． 問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當(dāng)點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？ 解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線. 模型總結(jié)： 條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量； 主動點、從動點到定點的距離之比是定量． 結(jié)論：① 主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形； ② 主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角 ③ 當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長； 例1．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________． 例2.如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_____． 例3．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA．若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為______． 【變式訓(xùn)練1】如圖所示，在中，，點是上一點，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點運動到點時，求點運動的路徑長． 【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（　　） A． B． C．1 D．2 【變式訓(xùn)練3】如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式． 課后訓(xùn)練 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為(　　) A． B． C． D． 2．如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________． 3．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______． 4．如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，，點F是線段AD上的動點，則的最小值為______． 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，l上有兩點A、B，且點A坐標(biāo)為（－14，8），點B位于A點右側(cè)，兩點相距8個單位，動點P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運動，點P速度為2個單位/秒，點Q速度為6個單位/秒，設(shè)運動時間為t秒． （1）用含t的代數(shù)式表示P、Q的坐標(biāo)：P（ _________ ），Q（ _________ ）； （2）在P、Q運動過程中，取線段PQ的中點D，當(dāng)OBD為直角三角形時，求出t的值及相應(yīng)的點D的坐標(biāo)； （3）取滿足（2）中條件最右側(cè)的D點，若坐標(biāo)系中存在另一點E（，－4），請問x軸上是否存在一點F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由． 6.如圖所示，在矩形中，，，為的中點，為上一動點，為的中點，連接，求的最小值． 7．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF． (1)求證：△ABE≌△CBF． (2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積） (3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時，求MP的值． 專題02 三角形中的三種幾何最值模型 類型一、將軍飲馬模型 ①一動兩定 ②兩動一定 例1．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________． 【答案】 【詳解】解：過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關(guān)于BC的對稱點K，連接OK，KH， ∵OH∥BC，OH=MN=2， ∴四邊形OMNH是平行四邊形， ∴OM=NH， ∴OM+ON= NH+ON． ∵O點關(guān)于BC的對稱點是點K， ∴ON=NK， ∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK， ∵， ∴當(dāng)H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長． ∵OH∥BC，O點關(guān)于BC的對稱點是點K， ∴．?? ∵O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，O點關(guān)于BC的對稱點是點K，∴OK=AB=8． ∵OH= 2，， ∴， ∴OM+ON的最小值是． 例2.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點是直線上一動點，將點向右平移1個單位得到點，點，則的最小值為________. 【答案】 【詳解】解：設(shè)D（-1，0），作D點關(guān)于直線的對稱點E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S， ∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1， ∴四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形， ∴AD=OB，OA=BC， ∴AD+OA=OB+BC， ∵AE=AD， ∴AE+OA=OB+BC， 即OE=OB+BC， ∴OB+CB的最小值為OE， 由可知∠AFO=30°，F(xiàn)（-4，0）， ∴FD=3，∠FDG=60°， ∴DG=DF=，∴DE=2DG=3， ∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=， ∴OB+CB的最小值為. 例3．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2 (1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE； (2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長； (3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積． 【答案】(1)見解析(2)4(3)4 【詳解】（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ， ∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE； （2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC， ∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4； （3）如圖③，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在周長為的菱形中，，，若為對角線上一動點，則的最小值為______． 【答案】3 【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，則，連接交于點． ． 由兩點之間線段最短可知：當(dāng)、、在一條直線上時，的值最小，此時． 四邊形為菱形，周長為， ，， ，， ， 四邊形是平行四邊形， ． 的最小值為． 故答案為：． 【變式訓(xùn)練2】如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______． 【答案】 【詳解】解：分別作點P關(guān)于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接． ∵點P關(guān)于的對稱點為C，關(guān)于的對稱點為D， ∴； ∵點P關(guān)于的對稱點為D， ∴， ∴，， ∴是等邊三角形， ∴． ∴的周長的最小值． 故答案為：． 【變式訓(xùn)練3】如圖，直線與軸，軸分別交于和，點、分別為線段、的中點，為上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，點的坐標(biāo)為 ___________． 【答案】 【詳解】解：作點關(guān)于軸的對稱點，連接交x軸于點，此時值最小，最小值為，如圖． 令中，則，∴點的坐標(biāo)為； 令中，則，解得：，∴點的坐標(biāo)為． ∵點、分別為線段、的中點，∴點，點． ∵點和點關(guān)于軸對稱，∴點的坐標(biāo)為． 設(shè)直線的解析式為， ∵直線過點，，∴，解得， ∴直線的解析式為． 令，則，解得：，∴點P的坐標(biāo)為．故答案為：． 類型二、胡不歸模型 背景故事：從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？ 看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題. 模型建立：將這個問題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時間為，則， 由可得，提取一個得， 若想總的時間最少，就要使得最小， 例1．如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值（????） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA', A'D,過D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o，∴DE =CD,即2DE = CD ∵A與A'關(guān)于BC對稱，∴AD= A'D，∴AD+ DE = A'D+ DE ∴當(dāng)A'，D, E在同一直線上時 AD + DE的最小值等于A' E的長, 在Rt△AA' E中：A' E= AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值為3，∴2AD十CD的最小值為6 故選B 例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________． 【答案】6 【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點， ∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴， 作點B關(guān)于OA的對稱點，連接 ，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等邊三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此時，，是等邊三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值為6． 故答案為：6． 【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則的最小值是______． 【答案】 【詳解】解：∵點A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 過點P作PG⊥CE于點G，如圖： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 當(dāng)A、P、G在同一直線時，AP+PG= AG的值最小， 延長AG交y軸于點F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°， ∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值為． 故答案為：． 【變式訓(xùn)練2】如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___． 【答案】4 【解析】如圖所示，過P作PD⊥AB于D， ∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點， 令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3， ∴A（0，﹣3），B（3，0）， ∴AO＝BO＝3， 又∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴PDPB， ∴PC+PB（PCPB）（PC+PD）， 當(dāng)C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長， 此時，△ACD是等腰直角三角形， 又∵點C（0，1）在y軸上， ∴AC＝1+3＝4， ∴CDAC＝2， 即PC+PD的最小值為， ∴PC+PB的最小值為4， 故答案為：4． 【變式訓(xùn)練3】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 _____． 【答案】4 【詳解】解：如圖， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此時PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案為：． 【變式訓(xùn)練4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點B，且分別交x軸于點A和點C． （1）求△ABC的面積； （2）點E坐標(biāo)為（5，0），點F為直線l1上一個動點，點P為y軸上一個動點，求當(dāng)EF＋CF最小時，點F的坐標(biāo)，并求出此時PF＋OP的最小值． 【答案】（1）S△ABC=；（2）點F坐標(biāo)為（1，）；PF＋OP的最小值為． 【詳解】（1）∵l1：y＝x＋， ∴當(dāng)x=0時，y=，當(dāng)y=0時，x=-3， ∴A（-3，0），B（0，）， ∵點B直線l2：y＝﹣x＋b上， ∴b=， ∴直線l2的解析式為y＝﹣x＋， ∴當(dāng)y=0時，x=1， ∴C（1，0）， ∴AC=4，OB=， ∴S△ABC===． （2）如圖，作點C關(guān)于直線l1的對稱點C′，連接C′E，交l1于F， ∵A（-3，0），B（0，），C（1，0）， ∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16， ∵AC2=AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴點C′在直線l2上， ∵點C與點C′關(guān)于直線l1的對稱， ∴CC′=2BC=4， 設(shè)點C′（m，﹣m＋，） ∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42， 解得：m1=-1，m2=3， ∵點C′在第二象限， ∴m=-1， ∴﹣m＋=， ∵FC=FC′， ∴EF＋CF=EF+FC′， ∴當(dāng)C′、F、E三點共線時EF＋CF的值最小， 設(shè)直線C′E的解析式為y=kx+b， ∴， 解得：， ∴直線C′E的解析式為， 聯(lián)立直線C′E與l1解析式得， 解得：， ∴F（1，）． 如圖，作二、四象限對角線l3，過點F作FG⊥l3于G，交y軸于P，過點F作FQ⊥x軸，交l3于Q， ∴直線l3的解析式為y=-x，∠GOP=45°， ∴△GOP是等腰直角三角形， ∴PG=OP， ∴G、P、F三點共線時，PF＋OP的值最小，最小值為FG的長， ∵∠GOP=45°，∠POE=90°， ∴∠EOQ=45°， ∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形， ∴FG=FQ， ∵F（1，），直線l3的解析式為y=-x，∴Q（1，-1）， ∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=， ∴PF＋OP的最小值為． 類型三、瓜豆模型 問題1：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？ 解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線． 理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線． 問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當(dāng)點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？ 解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線. 模型總結(jié)： 條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量； 主動點、從動點到定點的距離之比是定量． 結(jié)論：① 主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形； ② 主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角 ③ 當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長； 例1．如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________． 【答案】???? ???? 【詳解】解：如圖，連接EC． ∵△ABC，△BDE都是等邊三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵點D從點A運動到點H， ∴點E的運動路徑的長為， 當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形， 故答案為：． 例2.如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為_____． 【答案】 【詳解】由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動 將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到， 從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上， 作，則即為的最小值， 作，可知四邊形為矩形，則. 故答案為． 例3．如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點P，且滿足PC=PA．若點P沿AB方向從點A運動到點B，則點E運動的路徑長為______． 【答案】． 【詳解】解：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC′，點E運動的路徑為EE′，由平移的性質(zhì)可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案為． 【變式訓(xùn)練1】如圖所示，在中，，點是上一點，以為一邊向右下方作等邊，當(dāng)由點運動到點時，求點運動的路徑長． 【答案】點運動的路徑長為． 【詳解】點為定點， 可以看作是繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°而來， 點運動的路徑長等于點運動的路徑長，即為的長， ，， ． 點運動的路徑長為． 【變式訓(xùn)練2】如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（　?。? A． B． C．1 D．2 【答案】C 【詳解】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖， ∵△ACB為等腰直角三角形， ∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°， ∵O為AB的中點， ∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在Rt△AOP和△COQ中 ， ∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ， 易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形， ∴PE=AP=CQ，QF=BQ， ∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1， ∵M(jìn)點為PQ的中點， ∴MH為梯形PEFQ的中位線， ∴MH=（PE+QF）=， 即點M到AB的距離為，而CO=1， ∴點M的運動路線為△ABC的中位線， ∴當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=AB=1， 故選C． 【變式訓(xùn)練3】如圖所示，為等腰直角三角形，，直角頂點在第二象限，點在軸上移動，以為斜邊向上作等腰直角，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點點隨著點的移動也在一條直線上移動，求這條直線的函數(shù)解析式． 【答案】直線的函數(shù)解析式為． 【詳解】如圖所示．當(dāng)與軸平行時，過點作軸于點，過點作軸于點，交于點， 是等腰直角三角形，點的坐標(biāo)是， ， ， 又是等腰直角三角形， ，， 點的坐標(biāo)為． 當(dāng)與原點重合時，在軸上， 此時，即， 設(shè)所求直線解析式為：， 將、代入得 解 直線的函數(shù)解析式為． 課后訓(xùn)練 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】解：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N， 設(shè)Q(，)，則PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 當(dāng)m=2時，OQ′2有最小值為5， ∴OQ′的最小值為， 故選：B． 2．如圖，等邊中，，點E為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則______________，的最小值為______________． 【答案】???? ???? 【詳解】解：①∵為等邊三角形， ∴，， ∴， ∵是等邊三角形， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中 ∴， 得； 故答案為：． ②（將軍飲馬問題） 過點D作定直線CF的對稱點G，連CG， ∴為等邊三角形，為的中垂線，， ∴， 連接， ∴， 又， ∴為直角三角形， ∵，， ∴， ∴的最小值為． 故答案為：． 3．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______． 【答案】 【詳解】如圖，過點作，交的延長線于， 四邊形是平行四邊形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 當(dāng)點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值， 此時 ，，， ∴ ， 則最小值為， 故答案為：． 4．如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，，點F是線段AD上的動點，則的最小值為______． 【答案】6 【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），由于C和B關(guān)于AD對稱，則BF+EF=CF， ∵等邊△ABC中，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴AD是BC的垂直平分線（三線合一）， ∴C和B關(guān)于直線AD對稱， ∴CF=BF， 即BF+EF=CF+EF=CE， ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 在△ADB和△CEB中， ， ∴△ADB≌△CEB（AAS）， ∴CE=AD=6， 即BF+EF=6． 故答案為：6． 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，l上有兩點A、B，且點A坐標(biāo)為（－14，8），點B位于A點右側(cè)，兩點相距8個單位，動點P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運動，點P速度為2個單位/秒，點Q速度為6個單位/秒，設(shè)運動時間為t秒． （1）用含t的代數(shù)式表示P、Q的坐標(biāo)：P（ _________ ），Q（ _________ ）； （2）在P、Q運動過程中，取線段PQ的中點D，當(dāng)OBD為直角三角形時，求出t的值及相應(yīng)的點D的坐標(biāo)； （3）取滿足（2）中條件最右側(cè)的D點，若坐標(biāo)系中存在另一點E（，－4），請問x軸上是否存在一點F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由． 【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）當(dāng)OBD為直角三角形時，，點D的坐標(biāo)為（0，8）或者，點D的坐標(biāo)為（，8）；（3）x軸上存在一點F，使FD－FE的值最大，最大值為 【詳解】解：（1）∵點A坐標(biāo)為（ －14，8），點B位于A點右側(cè)，兩點相距8個單位， ∴點B的坐標(biāo)為（－6，8）， ∵動點P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運動，點P速度為2個單位/秒，點Q速度為6個單位/秒，設(shè)運動時間為t秒， ∴點P、Q的坐標(biāo)分別為P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8）， 故答案為：－14＋2t，8；－6＋6t，8； （2）由（1）可得：點P、Q的坐標(biāo)分別為P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8）， ∴線段PQ的中點D的坐標(biāo)為（，8）， 即D（，8）， ∵點D在直線l上， ∴∠OBD不可能是直角 ∴如圖，當(dāng)∠BDO＝90°時，點D位于點D1處，此時點D的坐標(biāo)為（0，8）， 則， 解得：； 當(dāng)∠BOD＝90°時，點D位于點D2處， 則， ∵點O（0，0），B（－6，8），D（，8）， ∴， 解得：， ∴， 此時點D的坐標(biāo)為（，8）， 綜上所述：當(dāng)OBD為直角三角形時，，點D的坐標(biāo)為（0，8）或者，點D的坐標(biāo)為（，8）； （3）如圖，作點E關(guān)于x軸的對稱點E1，連接DE1并延長，交x軸于點F，連接EF， ∵點E與點E1關(guān)于x軸對稱，點F在x軸上， ∴FE＝FE1， ∴當(dāng)點F、D、E1在同一直線上時，則FD－FE＝FD－FE1＝DE1， 當(dāng)點F、D、E1不在同一直線上時，則FD－FE＝FD－FE1＜DE1， ∴當(dāng)點F、D、E1在同一直線上時，F(xiàn)D－FE＝取得最大值，最大值為線段DE1的長， ∵點E與點E1關(guān)于x軸對稱，點E（，－4）， ∴點E1（，4）， 又∵點D的坐標(biāo)為（，8）， ∴， ∴x軸上存在一點F，使FD－FE的值最大，最大值為． 6.如圖所示，在矩形中，，，為的中點，為上一動點，為的中點，連接，求的最小值． 【答案】的最小值為． 【詳解】解：如圖： 當(dāng)點F與點C重合時，點P在P1處，CP1=DP1， 當(dāng)點F與點E重合時，點P在P2處，EP2=DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2=CE． 當(dāng)點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP． 由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=CF． ∴點P的運動軌跡是線段P1P2， ∴當(dāng)BP⊥P1P2時，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點， ∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2． ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°． ∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值為BP1的長． 在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2， ∴BP1= ∴PB的最小值是． 故答案是：． 7．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF． (1)求證：△ABE≌△CBF． (2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積） (3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時，求MP的值． 【答案】(1)見解析 (2)2或6 (3) 【解析】(1) 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠EBF＝90°＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBF， 又∵BE＝BF，AB＝BC， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； (2) 解：如圖2，過點E作EH⊥AB于H， ∵△ABE≌△CBF， ∴S△ABE＝S△CBF， ∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE， ∴△ADE≌△ABE（SSS）， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠EAB＝∠AEH＝45°， ∴AH＝EH， ∵BE2＝BH2+EH2， ∴10＝EH2+（4﹣EH）2， ∴EH＝1或3， 當(dāng)EH＝1時 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2， 當(dāng)EH＝3時 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6， ∴S△BCF的值是2或6； (3) 解：如圖3，過點P作PK⊥AE于K， 由（1）同理可得△ABE≌△CBF， ∴∠EAB＝∠BCF， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠AGC＝90°， ∵∠AGC＝∠ADC＝90°， ∴點A，點G，點C，點D四點共圓， ∴∠ACD＝∠AGD＝45°， ∵PK⊥AG， ∴∠PGK＝∠GPK＝45°， ∴PK＝GK＝PG， ∴MP+PG＝MP+PK， ∴當(dāng)點M，點P，點K三點共線時，且點E，點G重合時，MP+PG值最小，即MP+PG最小， 如圖4，過點B作BQ⊥CF于Q， ∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF， ∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝， ∵CQ＝， ∴CE＝CQ﹣EQ＝， ∵M(jìn)K⊥AE，CE⊥AE， ∴MK∥CE， ∴， 又∵M(jìn)是CD的中點， ∴DC＝2DM， ∴MP＝CE＝．

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