
角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.
在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.
∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.
∵P在∠AOB的內(nèi)部,PD⊥OA, PE⊥OB,PD=PE,∴OP平分∠AOB.
利用尺規(guī)作圖作三角形的三個內(nèi)角的角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?
發(fā)現(xiàn):三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點.
利用手中的三角形紙片,通過折疊找出每個角的角平分線,觀察這三條角平分線,你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同桌交流?
結(jié)論:三角形三個角的平分線相交于一點.
點撥:要證明三條直線相交于一點,只要證明其中兩條直線的交點在第三條直線上即可。
例1、已知:如圖,在△ABC中,角平分線BM與角平分線CN相交 于點P,求證:點P在∠BAC的角平分線上.
證明:三角形三條角平分線相交于一點.
總結(jié):遇到角平分線時,可以向角兩邊做垂線解決問題。
三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三邊的距離相等.
注:三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心.
如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,∴BM,CN,AH相交于一點P,且PD=PE=PF.
例2、如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線.(1)如果CD=4cm,求AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.
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