(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C，求∠FCB的度數(shù)；
(2)如圖2，在（1）的條件下連接DG，求線段DG的長(zhǎng)；
(3)如圖3，點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合，GF延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，∠FBH＝∠FEH，EP⊥AB于點(diǎn)E，交DB于點(diǎn)P，連接GP，∠GPF＝∠GEF，求的值．
2． 在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上點(diǎn).連接AE
（1）如圖l，若，.求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在AB上，且，逹接CF.點(diǎn)G在EF上，，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H.求證：；
（3）如圖3，在（l）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作交OC于點(diǎn)M，把繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）得，取的中點(diǎn)K，連接CK，將CK順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CN，連接KN，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)R，當(dāng)NR最大時(shí)，求線段KR的長(zhǎng).
3．【數(shù)學(xué)初探】
在數(shù)學(xué)課上，葉老師提出了一個(gè)探究型問(wèn)題：“如圖1，你能借助銳角畫(huà)出一個(gè)菱形，使為該菱形的一個(gè)內(nèi)角嗎？”雷同學(xué)提出了自己的見(jiàn)解：如圖2，①作的平分線AE，交BC于點(diǎn)E；②作AE的中垂線l分別交AB、AC、AE于點(diǎn)F、G、H；③連接EF，EG，則四邊形AFEG是菱形．
(1)請(qǐng)你幫助雷同學(xué)證明四邊形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同學(xué)開(kāi)啟大膽嘗試，如圖3，將的中線BO延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接AD，CD，平移圖2中的直線l（平移過(guò)程中直線l與AB、AC、AE的交點(diǎn)仍為F、G、H），當(dāng)直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，他通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)了線段OG與線段BF存在特定的數(shù)量關(guān)系．
(2)請(qǐng)你寫(xiě)出線段OG與線段BF的數(shù)量關(guān)系，并小心求證．
【遷移應(yīng)用】
(3)如圖4，在（2）的條件下，若，且時(shí)，求的值．
4．如圖，長(zhǎng)方形，點(diǎn)，分別為邊，上兩動(dòng)點(diǎn)，將長(zhǎng)方形左側(cè)部分沿所在直線折疊，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，，．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，求線段用含代數(shù)式表示；
(3)連接，若，且為等腰三角形，求的值．
5．【問(wèn)題提出】在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，王老師提出了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：
如圖1-1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．
(1)【問(wèn)題探究】針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，某學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了如下嘗試：如圖1-2，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，得到等邊．請(qǐng)根據(jù)該小組探究的思路求出∠APB的度數(shù)；
(2)【類比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點(diǎn)P．如圖2，連接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)如圖3，連接PA，PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)M，連接AM，PM，試判斷是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出相應(yīng)的值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)．連接DE，過(guò)D作DF⊥DE交BC點(diǎn)于F，連接EF．
（1）如圖1，EF與CD相交于點(diǎn)G：
①來(lái)證：AE＝CF；
②當(dāng)AD＝CE，AC＝6時(shí)，求DG；
（2）如圖2，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的長(zhǎng)．
7．已知在ABC中，∠ECF的兩邊與ABC的邊AB從左至右依次交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ECF＝∠ACB．
（1）如圖1，若AC＝BC，∠ACB＝90°，將△ACE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到BCG，連接FG．求證：ECF≌GCF；
（2）如圖2，若AC＝BC，∠ACB＝120°，BF＝3，AE＝2，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，設(shè)AE＝y(tǒng)，BF＝x（0＜x＜1），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程）．
8．已知正方形ABCD，將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為_(kāi)_____；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，
①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；
②作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
9．在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E'在BC邊上且＝4，將B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如圖1，當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，求S△BCE；
(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接CE，取CE中點(diǎn)F，作射線BF交直線AD于點(diǎn)G．
①求線段BF的取值范圍；
②當(dāng)∠EBF＝120°時(shí)，求證：BC﹣DG＝2BF；
(3)如圖3．當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，點(diǎn)S為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥射線AS于點(diǎn)M，N為AM中點(diǎn)，直接寫(xiě)出BN的最大值與最小值．
10．已知為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)如圖，點(diǎn)在邊上且，連接交于點(diǎn)．
①求證：；
②求的度數(shù)；
(2)如圖，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接交于點(diǎn)．設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖，在（2）的條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)，且，連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為時(shí)，求的長(zhǎng)．
11．（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．
（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫(xiě)出BC，AC，CD之間的關(guān)系．
（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
期末考試點(diǎn)對(duì)點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練（五）（B卷26題）
1．如圖，等邊三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C，求∠FCB的度數(shù)；
(2)如圖2，在（1）的條件下連接DG，求線段DG的長(zhǎng)；
(3)如圖3，點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合，GF延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，∠FBH＝∠FEH，EP⊥AB于點(diǎn)E，交DB于點(diǎn)P，連接GP，∠GPF＝∠GEF，求的值．
【答案】(1)30°；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)題意得∶ ∠FEG=60°，EF=EG，可得△EFG是等邊三角形，從而得到∠GFB=60°，再由△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，可得∠DBC=30°，即可求解；
（2）過(guò)D作DH⊥CG交于點(diǎn)H，根據(jù)△BFG和△ABC是等邊三角形，可得BF=FG，在Rt△BCG中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到CD=3，從而得到，，再由勾股定理，即可求解；
（3）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，連接FM，使FM=BF，先證明△BEF≌△MHF，可得BE=HM，從而得到BE+BH =BM，然后過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則BM=2BN，設(shè)FN=x，則BF=2x，從而得到，即可求解．
【解析】（1）根據(jù)題意得∶ ∠FEG=60°，EF=EG，
∴△EFG是等邊三角形，
∴∠GFB=60°，
∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，
∴∠DBC=30°，
∴∠FCB=∠BFG-∠CBD=30°；
（2）解：過(guò)D作DH⊥CG交于點(diǎn)H，
∵△BFG是等邊三角形，
∴BF=GF，∠BFG=∠DFC=60°，
∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，∠DBC=30°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，∠CBG=90°，
∵∠BCG=∠CBD=30°，
∴BF=CF，
∴CF=FG，
在Rt△BCG中，BC=6，∠BCG=30°，
∴CG=2BG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠DCF=30°，∠CDB=90°，
∴，
∴CD=3，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M，連接FM，使FM=BF，
∵∠CBD=30°，
∴∠M=∠CBD=30°，
∴∠BFM=120°，
∵∠FBH＝∠FEH，
∴∠FEH=30°，
∵EF=EG，∠FEG=60°，
∴△EFG是等邊三角形，
∴∠EFG=∠FGE=∠FEG=60°，
∴∠FHE=30°，∠EFH=120°，
∴∠FHE=∠FEH， ∠EFH=∠BFM，
∴EF=FH，∠BFE=∠MFH，
∴△BEF≌△MHF，
∴BE=HM，
∴BE+BH=MH+BH=BM，
過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則BM=2BN，
∵∠CBD=30°，∴BF=2FN，
設(shè)FN=x，則BF=2x，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2． 在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上點(diǎn).連接AE
（1）如圖l，若，.求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在AB上，且，逹接CF.點(diǎn)G在EF上，，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)H.求證：；
（3）如圖3，在（l）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作交OC于點(diǎn)M，把繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）得，取的中點(diǎn)K，連接CK，將CK順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CN，連接KN，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)R，當(dāng)NR最大時(shí)，求線段KR的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.
【分析】（1）在Rt△AOE中，求出AO，OE，利用勾股定理解決問(wèn)題即可．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，連接EC．首先證明△EFC是等腰直角三角形，再證明AE＝BH，可得結(jié)論．
（3）如圖3﹣1中，將線段CO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CT，連接TN，OK．證明△OCK≌△TCN（SAS），推出OK＝TN，可得OK＝E′M′＝，推出TN＝OK＝，由題意當(dāng)NR經(jīng)過(guò)點(diǎn)T時(shí)，NR的值最大，如圖3﹣2中，此時(shí)M′在OA上，連接OR，此時(shí)O，R，T，N共線．利用勾股定理求出KR即可．
【詳解】解：（1）如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，AB＝BC＝7，∠ABC＝90°，
∴AC＝BD＝AB＝14，
∴OA＝OB＝7，
∵BE＝10，
∴OE＝BE﹣OB＝10﹣7＝3，
∴．
（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N．連接EC．
∵BD垂直平分線段AC，
∴EA＝EC，
∵EF＝EA，
∴EC＝EF，
∵BD平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴EM＝EN，
∵∠EMF＝∠ENC＝90°，
在Rt△EMF和Rt△ENC中，
，
∴Rt△EMF≌Rt△ENC（HL），
∴∠MEF＝∠NEC，
∵∠EMB＝∠MBN＝∠ENB＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∴∠FEC＝∠MEN＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴CF＝EF，
∵GB＝GE，EA＝EC，
∴∠GBE＝∠GEB，∠EAC＝∠ECA，
∵∠GEB+∠CEB＝90°，∠CEB+∠ECA＝90°，
∴∠GEB＝∠ECA，
∴∠EAO＝∠OBH，
在△AOE和△BOH中，
，
∴△AOE≌△BOH（ASA），
∴BH＝AE，
∵AE＝EF，CF＝EF，
∴CF＝BH．
（3）解：如圖3﹣1中，將線段CO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CT，連接TN，OK．
∵∠OCT＝∠KCN＝90°，
∴∠OCK＝∠TCN，
在△OCK和△TCN中，
，
∴△OCK≌△TCN（SAS），
∴OK＝TN，
由（1）可知，OE′＝OM′＝3，
∴E′M′＝，
∵E′K＝KM′，
∴OK＝E′M′＝，
∴TN＝OK＝，
∵NR⊥BC，
∴當(dāng)NR經(jīng)過(guò)點(diǎn)T時(shí)，NR的值最大，如圖3﹣2中，此時(shí)M′在OA上，連接OR，此時(shí)O，R，T，N共線．
在Rt△OKR中，OK＝，，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等有關(guān)基本性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用基本性質(zhì)找到NR值最大所具備的條件是解題的關(guān)鍵．
3．【數(shù)學(xué)初探】
在數(shù)學(xué)課上，葉老師提出了一個(gè)探究型問(wèn)題：“如圖1，你能借助銳角畫(huà)出一個(gè)菱形，使為該菱形的一個(gè)內(nèi)角嗎？”雷同學(xué)提出了自己的見(jiàn)解：如圖2，①作的平分線AE，交BC于點(diǎn)E；②作AE的中垂線l分別交AB、AC、AE于點(diǎn)F、G、H；③連接EF，EG，則四邊形AFEG是菱形．
(1)請(qǐng)你幫助雷同學(xué)證明四邊形AFEG是菱形．
【深入探究】
雷同學(xué)開(kāi)啟大膽嘗試，如圖3，將的中線BO延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接AD，CD，平移圖2中的直線l（平移過(guò)程中直線l與AB、AC、AE的交點(diǎn)仍為F、G、H），當(dāng)直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，他通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)了線段OG與線段BF存在特定的數(shù)量關(guān)系．
(2)請(qǐng)你寫(xiě)出線段OG與線段BF的數(shù)量關(guān)系，并小心求證．
【遷移應(yīng)用】
(3)如圖4，在（2）的條件下，若，且時(shí)，求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解答．
(2)．證明見(jiàn)解答．
(3)的值為．
【分析】（1）先證明，可得，由于DF垂直平分AE，根據(jù)菱形的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）取DH的中點(diǎn)K，連接OK，利用三角形中位線定理可得：，，結(jié)合，即可證得結(jié)論；
（3）取DF的中點(diǎn)K，連接AD，OK，過(guò)點(diǎn)D作交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)Q，由 可得和是等邊三角形，設(shè)，則，，運(yùn)用勾股定理、直角三角形性質(zhì)及三角形面積可得：，，進(jìn)而求得答案．
(1)
證明：∵AE平分，
∴．
∵FG垂直平分AE，
∴∠AHF=∠AHG=90，．
在和中，
，
∴，
∴，
∴AE與FG互相垂直平分，
∴四邊形AFEG是菱形；
(2)
解：．
證明：如圖1，取DH的中點(diǎn)K，連接OK，
∵，
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
∴OK是的中位線，
∴，，
∴．
∵平移圖2中的直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，
∴．
由（1）可知：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：如圖2，取DF的中點(diǎn)K，連接AD，OK，過(guò)點(diǎn)D作交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)Q，
由（1）（2）知：，，．
∵，
∴和是等邊三角形，
設(shè)，則，，
．
∵，，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
在中，，
∴，
故的值為．
【點(diǎn)睛】本題是三角形與四邊形綜合題，考查了等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，三角形中位線定理，菱形的判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)條件，畫(huà)出圖形，化歸基本圖形．
4．如圖，長(zhǎng)方形，點(diǎn)，分別為邊，上兩動(dòng)點(diǎn)，將長(zhǎng)方形左側(cè)部分沿所在直線折疊，點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，，．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，求線段用含代數(shù)式表示；
(3)連接，若，且為等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，由余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解；
先證四邊形是菱形，由菱形的面積公式可求解；
因?yàn)榕c，與關(guān)于對(duì)稱，所以與的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，設(shè)交點(diǎn)為，由，推出，，分三種情形：若若若，分別求解即可．
【詳解】（1）由翻折變換的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
，
，
；
（2）如圖，連接，
，，
，
，
，
，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖中，連接．
線段，線段關(guān)于對(duì)稱，
與的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上，，設(shè)交點(diǎn)為，．
，
，
，
，
，
若，
，
，
，，
≌，
與已知，矛盾．
若，
，
，
中，，
，
此種情形不存在．
若，
，
，
解得負(fù)根已經(jīng)舍去，
綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
5．【問(wèn)題提出】在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，王老師提出了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：
如圖1-1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．
(1)【問(wèn)題探究】針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，某學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了如下嘗試：如圖1-2，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，得到等邊．請(qǐng)根據(jù)該小組探究的思路求出∠APB的度數(shù)；
(2)【類比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點(diǎn)P．如圖2，連接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)如圖3，連接PA，PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)M，連接AM，PM，試判斷是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出相應(yīng)的值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)150°
(2)BP2=PC2+2AP2，理由見(jiàn)解析
(3)是定值，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB=P'C=12，AP=AP'=5，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB，由勾股定理的逆定理可得∠PP'C=90°，即可求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°，∠PAP'=90°，由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求解；
（3）由“SAS”可證△BMN≌△QMP，可得BN=PQ，∠MBN=∠MQP，由“SAS”可證△ABN≌△ACP，可得AN=AP，∠BAN=∠PAC，可得△APN是等腰直角三角形，即可求解．
【詳解】（1）解：∵將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，
∴PB=P'C=12，AP=AP'=5，∠PAP'=60°，∠AP'C=∠APB，
∴△PAP'是等邊三角形，
∴∠AP'P=60°，AP=PP'=5，
∵PC2=169，P'P2+P'C2=144+25=169，
∴PC2=P'P2+P'C2，
∴∠PP'C=90°，
∴∠AP'C=∠APB=150°；
（2）解：BP2=PC2+2AP2，理由如下：
如圖，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP'B，連接PP'，
∵將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP'B，
∴AP=AP'，P'B=PC，∠APC=∠AP'B=135°，∠PAP'=90°，
∴∠AP'P=45°，P'P=AP，
∴∠BP'P=90°，
∴BP2=P'B2+P'P2，
∴BP2=PC2+2AP2；
（3）解：是定值，等于，理由是：
如圖，延長(zhǎng)PM至N，使MN=PM，連接BN，AN，設(shè)AC與BQ交于點(diǎn)O，
∵點(diǎn)M是BQ的中點(diǎn)，
∴BM=MQ，
又∵M(jìn)N=MP，∠BMN=∠PMQ，
∴△BMN≌△QMP（SAS），
∴BN=PQ，∠MBN=∠MQP，
∴BN=CP，
又∵△PQC是等腰直角三角形，∠CPQ=90°，
∴PQ=PC，∠PQC=∠PCQ=45°，
∵∠AOQ=∠BAC+∠ABO=∠OQC+∠ACQ，
∴90°+∠ABO=45°+∠PQO+45°-∠ACP，
∴∠ACP=∠PQO-∠ABO，
又∵∠ABN=∠MBN-∠ABO，
∴∠ABN=∠ACP，
又∵AB=AC，
∴△ABN≌△ACP（SAS），
∴AN=AP，∠BAN=∠PAC，
∴∠PAN=∠BAC=90°，
∴△ANP是等腰直角三角形，
∵PM=MN，
∴AM=MP，AM⊥MP，
∴AP=MP，
∴=．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)．連接DE，過(guò)D作DF⊥DE交BC點(diǎn)于F，連接EF．
（1）如圖1，EF與CD相交于點(diǎn)G：
①來(lái)證：AE＝CF；
②當(dāng)AD＝CE，AC＝6時(shí)，求DG；
（2）如圖2，點(diǎn)M為BC上一點(diǎn)，且∠CME＝2∠ADE，AE＝2，CE＝5，求EM的長(zhǎng)．
【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（3）
【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△CDF≌△ADE，故可求解；
②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，交EF于M點(diǎn)，分別求出CE，HE，CF，再證明△FCE∽△MHE求出HM，DM，再證明△FCG∽△MDG，得到，故可求解；
（2）取AD中點(diǎn)H，作HI⊥AD交DE于I點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AD，先求出AH，DG，通過(guò)證明△DHI∽△DGE，得到，求出HI，進(jìn)而求出ID，作AJ⊥DE延長(zhǎng)線于J點(diǎn)，證明△DHI∽△DJA，得到，求出AJ、DJ，再求出IJ，利用角度的關(guān)系證明△AJI∽△ECM，可得，求出CM，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=CD，△ACD、△BCD、△ABC都是等腰直角三角形
∴∠DAC=∠DCB
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠CDF=∠ADE
∴△CDF≌△ADE
∴AE＝CF；
②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，交EF于M點(diǎn)
∵AC＝6=BC
∴AB=
∵D是AB中點(diǎn)
∴CD=AD=BD=
∵DH⊥AC
∴CH=DH=AH=
∵AD＝CE，
∴CE=AD=
∴EH=-3
故AE=AH-EH=6-
∴CF=AE=6-
∵FCHM
∴△FCE∽△MHE
∴，即
解得MH=
∴DM=DH-HM=
∵FCHD
∴△FCG∽△MDG
∴，即
解得DG=
∴DG=．
（2）∵AE＝2，CE＝5
∴AC=7=BC
∴AB=
如圖，取AD中點(diǎn)H，作HI⊥AD交DE于I點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AD
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴AH=DH=
∵∠CAD=45°
∴△AGE是等腰直角三角形
∴EG=AG，AG2+EG2=AE2=4
∴AG==EG
∴HG=AH-AG=
∴DG=DH+HG=
∵HI⊥AD，H是AD中點(diǎn)
∴△ADI是等腰三角形
∴AI=DI
∵HI⊥AD，EG⊥AD
∴HIEG
∴△DHI∽△DGE
∴
∴HI=
∴ID=
作AJ⊥DE延長(zhǎng)線于J點(diǎn)
∴∠DHI=∠DJA=90°
又∠HDI=∠JDA
∴△DHI∽△DJA
∴，代入可得AJ=
∴DJ=
∴IJ=DJ-ID=
∵DI=AI
∴∠IDA=∠IAD，∠AIJ=∠IDA+∠IAD=2∠ADE
∵∠CME＝2∠ADE，∴∠JIA=∠CME
又∠AJI=∠ECM，∴△AJI∽△ECM
∴，∴代入得CM=，∴EM=．
【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形與四邊形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)．
7．已知在ABC中，∠ECF的兩邊與ABC的邊AB從左至右依次交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ECF＝∠ACB．
（1）如圖1，若AC＝BC，∠ACB＝90°，將△ACE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到BCG，連接FG．求證：ECF≌GCF；
（2）如圖2，若AC＝BC，∠ACB＝120°，BF＝3，AE＝2，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，設(shè)AE＝y(tǒng)，BF＝x（0＜x＜1），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程）．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】（1）先證出∠ECF=∠GCF，再通過(guò)SAS即可證△ECF≌△GCF；
（2）由（1）全等得：EF=FG，AE=BG，∠A=∠CBG，從而∠FBG=60°，在△BFG中，已知兩角一邊，作GK⊥AB，通過(guò)解直角三角形可得FG的長(zhǎng)即可；
（3）將△BCF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△NCG，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，CM⊥GN于M，延長(zhǎng)GN交AB于點(diǎn)D，得到∠GNC=∠FBC，CF=CG，BF=NG=x，證明矩形CMDH為正方形，得到CM=DH=CH=DM，由（2）中△GCE≌△FCE，得到GE=FE=AB-AE-BF，利用面積法求出CH，證明DN為△ACH的中位線，在△GDE中，利用勾股定理得到，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
【詳解】解：證明：（1）繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
（2）如圖，作于，
由（1）同理可得：，
，，而，
，，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
；
（3）如圖，將△BCF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△NCM，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過(guò)CM⊥GN于M，延長(zhǎng)GN交AB于點(diǎn)D，
∴△CBF≌△CNG，∠CHF=∠CMN=90°，∠GCF=90°，
∴∠GNC=∠FBC，CF=CG，BF=NG=x，
又∵∠GNC+∠DNC=180°，
∴∠FBC+∠DNC=180°，
∴∠BDN=360°-（∠FBC+∠DNC）-∠ACB=90°，
∴四邊形CMDH為矩形，
又∵∠GCM+∠GCH=∠MCH=90°，∠FCH+∠GCH=∠GCF=90°，
∴∠FCH=∠GCM，
在△FCH和△GCM中，
，
∴△FCH≌△GCM（AAS），
∴CM=CH，
∴矩形CMDH為正方形，
∴CM=DH=CH=DM，
又由（2）得：△GCE≌△FCE，
∴GE=FE=AB-AE-BF，
又∵在△ABC中，AC=，BC=，AB==5，
∴GE=FE=5-x-y，
又∵S△ABC=，
∴CH=2，
∴DH=CM=CH=2，
又∵CN=BC=，
∴點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，
又∵DN∥CH，
∴DN為△ACH的中位線，即D為AH中點(diǎn)，
∴DH=，AD=DH=2，
∴GD=DN+GN=x+1，DE=AE-AD=y-2，
在△GDE中，，
∴，整理可得：．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
8．已知正方形ABCD，將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE，連接EA，EC．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分∠ABC，AB=4，則∠AEC=______°，四邊形ABCE的面積為_(kāi)_____；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的外部時(shí)，
①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；
②作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G，交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)135，
(2)①作圖見(jiàn)解析，45°；②
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K，由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線的定義可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出，，繼而可證明，便可求解；
（2）①根據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)B作 垂足為H，由等腰三角形的性質(zhì)得到 ，再證明
即可得到 ，再推出 為等腰直角三角形，即可得到三者之間的關(guān)系．
【詳解】（1）
過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)K

四邊形ABCD是正方形

BE平分∠ABC，AB=4，將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（），得到線段BE

，





，四邊形ABCE的面積為
故答案為：135，
（2）①作圖如下
四邊形ABCD是正方形

由旋轉(zhuǎn)可得，





②，理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)B作 垂足為H



，∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G








為等腰直角三角形

即
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形和三角形的綜合題目，涉及正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
9．在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E'在BC邊上且＝4，將B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如圖1，當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，求S△BCE；
(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接CE，取CE中點(diǎn)F，作射線BF交直線AD于點(diǎn)G．
①求線段BF的取值范圍；
②當(dāng)∠EBF＝120°時(shí)，求證：BC﹣DG＝2BF；
(3)如圖3．當(dāng)∠EBA＝90°時(shí)，點(diǎn)S為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥射線AS于點(diǎn)M，N為AM中點(diǎn)，直接寫(xiě)出BN的最大值與最小值．
【答案】(1)S△BCE=6；
(2)①1＜BF＜5；②證明見(jiàn)解答；
(3)BN的最小值為-，BN的最大值為2．
【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意求得∠EBF=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)進(jìn)而求得BC上的高EF=2，代入面積公式算出結(jié)果；
（2）①如圖，在線段FG上截取FK=BF，連接EK、CK，可證得四邊形BCKE是平行四邊形，得出：BE=CK==4，BC=6，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系即可求得答案；
②可證△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出結(jié)論；
（3）連接AE，取AE的中點(diǎn)P，PA的中點(diǎn)Q，連接BP、NP、NQ、BQ，可證△ABE是等腰直角三角形，得出：AE=AB=4，再由點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，可得：BP⊥AE，且BP=AP=EP=2，利用勾股定理得BQ=，當(dāng)B、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，BN的最小值=BQ-NQ=-，當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)E重合時(shí)，EM=0，PN=0，此時(shí)，BN的最大值=BP=2．
（1）
解：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴∠EHC=90°，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵點(diǎn)在BC邊上且=4，將B繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到BE，
∴BE=B=4，
∴EH=BE=×4=2，
又∵BC=6，
∴S△BCE=BC?EH=×6×2=6；
（2）
解：①如圖，在線段FG上截取FK=BF，連接EK、CK，
∵EF=FC，BF=FK，
∴四邊形BCKE是平行四邊形，
∴BE=CK==4，BC=6，
在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，
∴6-4＜BK＜6+4，
即2＜2BF＜10，
∴1＜BF＜5；
②證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠ABC=60°，AB=4，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，ADBC，AD=BC，BE=AB，
∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，
∴∠EBK=∠A，
∵EKBC，
∴EKAD，
∴∠EKB=∠BGA，
在△EKB和△BGA中，，
∴△EKB≌△BGA（AAS），
∴BK=AG，
由①知：BK=2BF，
又∵AG=AD-DG，
∴2BF=BC-DG；
（3）
解：連接AE，取AE的中點(diǎn)P，PA的中點(diǎn)Q，連接BP、NP、NQ、BQ，
∵∠ABE=90°，AB=BE=4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=4，
∵點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)，
∴BP⊥AE，且BP=AP=EP=2，
∵N是AM的中點(diǎn)，P是AE的中點(diǎn)，
∴PN是△AEM的中位線，
∴PNEM，
∴∠ANP=∠AME=90°，
∵點(diǎn)Q是AP的中點(diǎn)，
∴QN=PQ=AP=，
在Rt△BPQ中，BQ=，
當(dāng)B、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)，BN的最小值=BQ-NQ=-，
當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)E重合時(shí)，EM=0，PN=0，
此時(shí)，BN的最大值=BP=2．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
10．已知為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)如圖，點(diǎn)在邊上且，連接交于點(diǎn)．
①求證：；
②求的度數(shù)；
(2)如圖，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接交于點(diǎn)．設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)如圖，在（2）的條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)，且，連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②
(2)
(3)或
【分析】（1）①根據(jù)證明三角形全等即可；
②利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）如圖，在上截取，連接，，證明四邊形是平行四邊形，推出，可得結(jié)論；
（3）如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，證明≌，推出，，，由的周長(zhǎng)為，推出，推出，過(guò)點(diǎn)作，則，，推出，根據(jù)勾股定理得，，構(gòu)建方程求出，即可解決問(wèn)題．
（1）
①證明：是等邊三角形，
，，
，
≌，
；
②解：由①知，≌，
，
，
；
（2）
如圖，在上截取，連接，，

同（1）①的方法知，，由旋轉(zhuǎn)知，，，
，
由（1）②知，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
等邊的邊長(zhǎng)為，
，
，
，即；
（3）
如圖，延長(zhǎng)至，使，連接．

為等邊三角形
∴，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
的周長(zhǎng)為，
，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，，
，根據(jù)勾股定理得，，
，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，
，
．
當(dāng)時(shí)，，，
，，，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
11．（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．
（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？
小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫(xiě)出BC，AC，CD之間的關(guān)系．
（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)已知條件直接證明，再證明，從而可得，設(shè)，則,根據(jù)勾股定理求得,求得，即可得證；
（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)則,求得,分別求得,根據(jù)，即可求得；
（3）根據(jù)（2）的方法，旋轉(zhuǎn)放縮,縮小為原來(lái)的，使得的落點(diǎn)為,的落點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接,則,當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)，接下來(lái)根據(jù)相似的性質(zhì)分別求得各邊的長(zhǎng)度，最后根據(jù)勾股定理求得即可求得最小值
【詳解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，
即
設(shè)，則,
（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且
將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，
，
，


三點(diǎn)共線，
，設(shè)則
（3）如圖，設(shè),將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并縮小為原來(lái)的，
使得的落點(diǎn)為,的落點(diǎn)為，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接
則，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)
由作圖知:， 且,
，AB＝5
,

四邊形是矩形
在中，
在中，，
四邊形是矩形，,
四邊形是矩形
,
，
在中，
的最小值為
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)放縮法構(gòu)造相似三角形，線段和最值問(wèn)題，勾股定理，正確的作出圖形和輔助線是解題的關(guān)鍵．

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