【考點(diǎn)1 圖形在網(wǎng)格中的平移】
【例1】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A'，點(diǎn)B與點(diǎn)B'，點(diǎn)C與點(diǎn)C'分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，觀察各點(diǎn)以及各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的．
（2）連接BC'，直接寫(xiě)出∠CBC'與∠B'C'O之間的數(shù)量關(guān)系 ．
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【變式1-1】（2023春?江漢區(qū)月考）如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，觀察各點(diǎn)以及各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的；
（2）連接BC′，直接寫(xiě)出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系 ；
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【變式1-2】（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）在如圖的直角坐標(biāo)系中，將△ABC平移后得到△A′B′C′，它們的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)如表所示：
（1）觀察表中各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，并填空：△ABC向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．
（2）求出線段AB在整個(gè)平移的過(guò)程中在坐標(biāo)平面上掃過(guò)的面積．
（3）若點(diǎn)M（m，n）為線段AB上的一點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式是 ．
【變式1-3】（2023春?金鄉(xiāng)縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，﹣2）．
（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B．
①點(diǎn)M平移到點(diǎn)A的過(guò)程可以是：先向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度；
②點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC，求△ABC的面積．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【考點(diǎn)2 圖形平移變換與角度計(jì)算綜合】
【例2】（2023春?通山縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，6），B（4，3），將線段AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B剛好落在y軸的負(fù)半軸上，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，連接AA'交y軸于點(diǎn)C，BB'交x軸于點(diǎn)D．
（1）線段A'B'可以由線段AB經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到？并寫(xiě)出A'，B'的坐標(biāo)；
（2）求四邊形AA'B'B的面積；
（3）P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），請(qǐng)?zhí)骄俊螾CA′與∠A'DB'的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說(shuō)明理由．
【變式2-1】（2023春?慶陽(yáng)期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC、BD、CD．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠OPC、∠PCD、∠POB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【變式2-2】（2023春?大同期末）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題背景
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，5），將線段AB沿AC方向平移，平移距離為線段AC的長(zhǎng)度．
動(dòng)手操作
（1）畫(huà)出AB平移后的線段CD，直接寫(xiě)出B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
探究證明
（2）連接BD，試探究∠BAC，∠BDC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
拓展延伸
（3）若點(diǎn)E在線段BD上，連接AD，AE，且滿足∠EAD＝∠CAD，請(qǐng)求出∠ADB：∠AEB的值，并寫(xiě)出推理過(guò)程．
【變式2-3】（2023春?鞍山期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），現(xiàn)將線段AB向右平移一個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，得到線段CD，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP；
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)（如圖一），判斷∠CPB與∠PBA的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在OC所在的直線上時(shí)，連接DP（如圖二），試判斷∠DPB與∠CDP，∠PBA之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
【考點(diǎn)3 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】
【例3】（2023秋?豐潤(rùn)區(qū)期末）如圖，五角星的五個(gè)頂點(diǎn)等分圓周，把這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這個(gè)角度至少為（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
【變式3-1】（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖所示的正六邊形花環(huán)繞中必至少旋轉(zhuǎn)α度能與自身重合，則α為（ ）
A．30B．60C．120D．180
【變式3-2】（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，若將它繞自身中心旋轉(zhuǎn)一定角度之后能與原圖重合，則這個(gè)角度可能為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【變式3-3】（2023春?高平市期末）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【考點(diǎn)4 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】
【例4】（2023秋?川匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB′C′，并使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，則∠BB'C'的度數(shù)是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【變式4-1】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，設(shè)CD交AB于點(diǎn)F，連接AD，若AF＝AD，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【變式4-2】（2023秋?泰山區(qū)期末）小明把一副三角板按如圖所示疊放在一起，固定三角板ABC，將另一塊三角板DEF繞公共頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度不超過(guò)180°）．若兩塊三角板有一邊平行，則三角板DEF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【變式4-3】（2023秋?南召縣期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如圖②，當(dāng)∠CAE＝15°時(shí)，此時(shí)BC∥DE．繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺ABC，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合條件的度數(shù)為 ．
【考點(diǎn)5 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】
【例5】（2023秋?懷化期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，PA＝6，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△QAC，則PQ的長(zhǎng)等于（ ）
A．6B．C．3D．2
【變式5-1】（2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，若直線A'C'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則CC'的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．D．4
【變式5-2】（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，將三角形ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形A'B'C，A'B'與AC相交于點(diǎn)P，則線段PC長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．6B．5.2C．4.8D．4
【變式5-3】（2023秋?江油市期末）把一副三角板如圖1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜邊AB＝6，CD＝8把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到三角形D1CE（如圖2），此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)H，則線段AD1的長(zhǎng)度為 ．
【考點(diǎn)6 中心對(duì)稱圖形】
【例6】（2023秋?招遠(yuǎn)市期末）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱的是（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】（2023秋?通榆縣期末）如圖，在下面的撲克牌中，牌面是中心對(duì)稱圖形的有（ ）
A．2張B．3張C．4張D．5張
【變式6-2】（2023秋?海陽(yáng)市期末）我國(guó)民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對(duì)幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“?！?、“祿”、“壽”、“喜”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【變式6-3】（2023秋?市南區(qū)期末）萬(wàn)花筒寫(xiě)輪眼是漫畫(huà)《火影忍者》及其衍生作品中的一種瞳術(shù)，下列圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
【考點(diǎn)7 設(shè)計(jì)中心對(duì)稱圖形】
【例7】（2023秋?遷安市期末）圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形是中心對(duì)稱圖形的位置是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．②③
【變式7-1】（2023春?汝陽(yáng)縣期末）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來(lái)7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，這個(gè)位置是 ．
【變式7-2】（2023秋?辛集市期末）如圖，方格紙中有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，要求作一個(gè)四邊形使這三個(gè)點(diǎn)在這個(gè)四邊形的邊（包括頂點(diǎn)）上，且四邊形的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上．
（1）在甲圖中作出的四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形；
（2）在乙圖中作出的四邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形；
（3）在丙圖中作出的四邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．
【變式7-3】（2023?寧波模擬）圖1，圖2，圖3均是由邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖中有5個(gè)正三角形已涂上陰影．請(qǐng)?jiān)谟嘞驴瞻渍切沃?，按下列要求涂上陰影?br>（1）在圖1中涂上一個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；
（2）在圖2中涂上兩個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；
（3）在圖3中涂上三個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．
【考點(diǎn)8 旋轉(zhuǎn)變換作圖】
【例8】（2023秋?廣饒縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；
（3）觀察圖形，判斷△A1B1C1與△A2B2C2是否成中心對(duì)稱？如果是，直接寫(xiě)出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
【變式8-1】（2023秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD和直線MN．
（1）畫(huà)出四邊形A1B1C1D1，使四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱；
（2）畫(huà)出四邊形A2B2C2D2，使四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱；
（3）四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的位置關(guān)系是 ．
【變式8-2】（2023秋?順城區(qū)月考）在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）將△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出坐標(biāo)A1 ，B1 ，C1 ；
（2）畫(huà)出△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2，并直接寫(xiě)出坐標(biāo)A2 ，B2 ，C2 ；
（3）若△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)過(guò)上面兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P2，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．（用含a，b的代數(shù)式表示）
【變式8-3】（2023秋?孝義市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，4），B（1，3），C（3，1），點(diǎn)P（a，b）是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．
（1）以點(diǎn)O為中心，把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1，并寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1 ，B1 ，C1 ．注：點(diǎn)A與A1，B與B1，C與C1分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（2）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 ；
（3）若以點(diǎn)O為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)P1與點(diǎn)P2關(guān)于 對(duì)稱．（填寫(xiě)“x軸”、“y軸”或“原點(diǎn)”）
△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）
專題3.1 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)章末重難點(diǎn)突破
【北師大版】

【題型1 圖形在網(wǎng)格中的平移】
【例1】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)月考）如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A'，點(diǎn)B與點(diǎn)B'，點(diǎn)C與點(diǎn)C'分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，觀察各點(diǎn)以及各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的．
（2）連接BC'，直接寫(xiě)出∠CBC'與∠B'C'O之間的數(shù)量關(guān)系 ．
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【解題思路】（1）利用坐標(biāo)系可得點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得平移方法；
（2）利用平移的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解答過(guò)程】解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；
（2）由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨△ABC按（1）中方式平移后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），
則a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
【變式1-1】（2023春?江漢區(qū)月考）如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，觀察各點(diǎn)以及各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的；
（2）連接BC′，直接寫(xiě)出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系 ；
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【解題思路】（1）由圖形可得出點(diǎn)的坐標(biāo)和平移方向及距離；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)和平角的定義和平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)以上所得平移方式，利用“橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減”的規(guī)律列出關(guān)于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解答過(guò)程】解：（1）由圖知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到的；
（2）∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．
故答案為：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；
（3）由（1）中的平移變換得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝3，b＝4．
故a的值是3，b的值是4．
【變式1-2】（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）在如圖的直角坐標(biāo)系中，將△ABC平移后得到△A′B′C′，它們的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)如表所示：
（1）觀察表中各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，并填空：△ABC向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到△A′B′C′；a＝ ，b＝ ．
（2）求出線段AB在整個(gè)平移的過(guò)程中在坐標(biāo)平面上掃過(guò)的面積．
（3）若點(diǎn)M（m，n）為線段AB上的一點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式是 ．
【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)A和B的坐標(biāo)和點(diǎn)A′和B′的坐標(biāo)可得答案；
（2）畫(huà)出圖形，然后再計(jì)算線段AB在整個(gè)平移的過(guò)程中在坐標(biāo)平面上掃過(guò)的面積即可；
（3）求出A、B所在直線的解析式，然后可得答案．
【解答過(guò)程】解：（1）∵A（a，0），A′（3，4），
∴△ABC向上平移4個(gè)單位后得到△A′B′C′，
∵B（5，3），B′（7，b），
∴△ABC向右平移2個(gè)單位后得到△A′B′C′，
∴a＝1，b＝3+4＝7，
故答案為：2；4；1；7；
（2）線段AB在整個(gè)平移的過(guò)程中在坐標(biāo)平面上掃過(guò)的面積：2×3+4×4＝22；
（3）設(shè)AB所在直線解析式為y＝kx+b，
∵A（1，0），B（5，3），
∴，
解得：，
∴AB所在直線解析式為yx，
∵點(diǎn)M（m，n）為線段AB上的一點(diǎn)，
∴nm，
即：3m﹣4n＝3，
故答案為：3m﹣4n＝3．
【變式1-3】（2023春?金鄉(xiāng)縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，﹣2）．
（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B．
①點(diǎn)M平移到點(diǎn)A的過(guò)程可以是：先向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度；
②點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC，求△ABC的面積．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解題思路】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
②根據(jù)點(diǎn)B的位置即可解決問(wèn)題．
（2）利用分割法求三角形的面積即可．
（3）設(shè)P（0，m），利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．
【解答過(guò)程】解：（1）如圖，
①點(diǎn)M平移到點(diǎn)A的過(guò)程可以是：先向右平移3單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度；
故答案為：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案為（6，3）．
（2）如圖，
（3）存在．設(shè)P（0，m），由題意|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3）或（0，5）．
【題型2 圖形平移變換與角度計(jì)算綜合】
【例2】（2023春?通山縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，6），B（4，3），將線段AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B剛好落在y軸的負(fù)半軸上，A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，連接AA'交y軸于點(diǎn)C，BB'交x軸于點(diǎn)D．
（1）線段A'B'可以由線段AB經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到？并寫(xiě)出A'，B'的坐標(biāo)；
（2）求四邊形AA'B'B的面積；
（3）P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），請(qǐng)?zhí)骄俊螾CA′與∠A'DB'的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說(shuō)明理由．
【解題思路】（1）利用平移變換的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（2）利用分割法確定四邊形的面積即可．
（3）分兩種情形：點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方，點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方，分別求解即可．
【解答過(guò)程】解：（1）∵點(diǎn)A（2，6），B（4，3），
又∵將線段AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B剛好落在y軸的負(fù)半軸上，
∴線段A′B′是由線段AB向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位得到，
∴A′（﹣2，0），B′（0，﹣3）．
（2）S四邊形ABB′A′＝6×9﹣22×3﹣26×4＝24．
（3）連接AD．
∵B（4，3），B′（0，﹣3），
∴BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）在x軸上，
∴D（2，0）．
∵A（2，6），
∴AD∥y軸，
同法可證C（0，3），
∴OC＝OB′，
∵A′O⊥CB′，
∴A′C＝A′B′，
同法可證，B′A′＝B′D，
∴∠A′DB＝∠DA′B′，∠A′CB′＝∠A′B′C，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方時(shí)，
∵∠PCA′+∠A′CB′＝180°，∠A′B′C+∠DA′B′＝90°，
∴∠PCA′+90°﹣∠A′DB′＝180°，
∴∠PCA′﹣∠A′D′B′＝90°，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方時(shí)，∠PCA′+∠A′DB′＝90°．
【變式2-1】（2023春?慶陽(yáng)期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC、BD、CD．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PO，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠OPC、∠PCD、∠POB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律得到C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算四邊形ABDC的面積．
（2）結(jié)論：∠OPC＝∠PCD+∠POB．過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD．利用平行線的性質(zhì)證明即可．
【解答過(guò)程】解：（1）由題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
∵AB∥CD，AC∥BD，
∴四邊形ABDC為平行四邊形，
∴四邊形ABDC的面積＝2×4＝8．
（2）結(jié)論：∠OPC＝∠PCD+∠POB．
理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD．
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠EPC＝∠PCD，∠EPO＝∠POB，
∴∠OPC＝∠EPC+∠EPO＝∠PCD+∠POB．
【變式2-2】（2023春?大同期末）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題背景
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，5），將線段AB沿AC方向平移，平移距離為線段AC的長(zhǎng)度．
動(dòng)手操作
（1）畫(huà)出AB平移后的線段CD，直接寫(xiě)出B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
探究證明
（2）連接BD，試探究∠BAC，∠BDC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
拓展延伸
（3）若點(diǎn)E在線段BD上，連接AD，AE，且滿足∠EAD＝∠CAD，請(qǐng)求出∠ADB：∠AEB的值，并寫(xiě)出推理過(guò)程．
【解題思路】（1）利用A、C點(diǎn)的坐標(biāo)確定平移的方向與距離，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用平移的性質(zhì)得到AB∥CD，AC∥BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；
（3）先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，然后利用等量代換可確定∠AEB＝2∠ADB．
【解答過(guò)程】解：（1）如圖，CD為所作，
因?yàn)锳B向右平移7個(gè)單位，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，1）；
（2）∠BAC＝∠BDC．
理由如下：
∵AB平移后的線段CD，
∴AB∥CD，AC∥BD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，
∴∠BAC＝∠BDC；
（3）∠ADB：∠AEB＝1：2；
理由如下：∵AC∥BD，
∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠CAE＝2∠CAD，
∴∠AEB＝2∠ADB，
即∠ADB：∠AEB＝1：2．
【變式2-3】（2023春?鞍山期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），現(xiàn)將線段AB向右平移一個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，得到線段CD，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP；
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)（如圖一），判斷∠CPB與∠PBA的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在OC所在的直線上時(shí)，連接DP（如圖二），試判斷∠DPB與∠CDP，∠PBA之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．
【解題思路】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（2）分三種情形：當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求解即可．
【解答過(guò)程】解：（1）如圖一中，結(jié)論：∠CPB＝90°+∠PBA．
理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°
∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，
∴∠CPB＝90°+∠PBA．
（2）①如圖二中，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，結(jié)論：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．
理由：作PE∥CD．
∵AB∥CD，PE∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，
∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．
②如圖二①中，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
理由：設(shè)BP交CD于T．
∵CD∥OB，
∴∠PTC＝∠PBA，
∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．
③如圖二②中，當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
理由：設(shè)PD交AB于T．
∵CD∥OB，
∴∠PDC＝∠PTA，
∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，
∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
綜上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．
【考點(diǎn)3 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形】
【例3】（2023秋?豐潤(rùn)區(qū)期末）如圖，五角星的五個(gè)頂點(diǎn)等分圓周，把這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，那么這個(gè)角度至少為（ ）
A．60°B．72°C．75°D．90°
【分析】根據(jù)五角星的五個(gè)頂點(diǎn)等分圓周，所以出現(xiàn)正五邊形，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)槲褰切堑奈鍌€(gè)頂點(diǎn)等分圓周，
所以360°÷5＝72°，
所以這個(gè)圖形繞著圓心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，
那么這個(gè)角度至少為72°．
故選：B．
【變式3-1】（2023?南關(guān)區(qū)四模）如圖所示的正六邊形花環(huán)繞中必至少旋轉(zhuǎn)α度能與自身重合，則α為（ ）
A．30B．60C．120D．180
【分析】觀察可得圖形有6部分組成，從而可得旋轉(zhuǎn)角度．
【解答】解：該圖形圍繞自己的旋轉(zhuǎn)中心，至少針旋轉(zhuǎn)60°后，能與其自身重合．
故選：B．
【變式3-2】（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，若將它繞自身中心旋轉(zhuǎn)一定角度之后能與原圖重合，則這個(gè)角度可能為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】如圖，觀察圖形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°，推出旋轉(zhuǎn)角是60°的倍數(shù)時(shí)，旋轉(zhuǎn)后可以與原來(lái)圖形重合，由此即可判斷．
【解答】解：如圖，觀察圖形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°
∴旋轉(zhuǎn)角是60°的倍數(shù)時(shí)，旋轉(zhuǎn)后可以與原來(lái)圖形重合，
故選：C．
【變式3-3】（2023春?高平市期末）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義對(duì)四個(gè)圖形進(jìn)行分析即可．
【解答】解：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形是從左起第（1），（2），（3）；不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（4）．
故選：C．
【考點(diǎn)4 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】
【例4】（2023秋?川匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB′C′，并使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，則∠BB'C'的度數(shù)是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，進(jìn)而可得∠BB'C'的度數(shù)．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．
∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在邊AB上，
∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴∠ABB′＝∠AB'B（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°，
故選：B．
【變式4-1】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，設(shè)CD交AB于點(diǎn)F，連接AD，若AF＝AD，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCA＝α，CD＝CA，則∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α，利用三角形外角的性質(zhì)得∠DFA＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性質(zhì)得30°+α＝90°α，即可得到α的值．
【解答】解：∵△ABC繞C點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA＝α，CD＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α，
∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠DFA＝30°+α，
∴90°α＝30°+α，
解得α＝40°；
故選：B．
【變式4-2】（2023秋?泰山區(qū)期末）小明把一副三角板按如圖所示疊放在一起，固定三角板ABC，將另一塊三角板DEF繞公共頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度不超過(guò)180°）．若兩塊三角板有一邊平行，則三角板DEF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可能是（ ）
A．15°或45°B．15°或45°或90°
C．45°或90°或135°D．15°或45°或90°或135°
【分析】分四種情況討論，由平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解．
【解答】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為α，
若DE∥AB，則∠E＝∠ABE＝90°，
∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
若BE∥AC，則∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
若BD∥AC，則∠ACB＝∠CBD＝90°，
∴α＝90°，
當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)B，點(diǎn)E共線時(shí)，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴AC∥DE，
∴α＝180°﹣45°＝135°，
故選：D．
【變式4-3】（2023秋?南召縣期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如圖②，當(dāng)∠CAE＝15°時(shí)，此時(shí)BC∥DE．繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺ABC，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其他所有可能符合條件的度數(shù)為 ．
【分析】分四種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到∠CAE的度數(shù)，再找到關(guān)于A點(diǎn)中心對(duì)稱的情況即可求解．
【解答】解：如圖②，當(dāng)BC∥DE時(shí)，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如圖，當(dāng)AE∥BC時(shí)，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；

如圖，當(dāng)DE∥AB（或AD∥BC）時(shí)，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如圖，當(dāng)DE∥AC時(shí)，∠CAE＝45°+90°＝135°．
綜上所述，旋轉(zhuǎn)后兩塊三角板至少有一組邊平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°，
故答案為：60°或105°或135°．
【考點(diǎn)5 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度】
【例5】（2023秋?懷化期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，PA＝6，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△QAC，則PQ的長(zhǎng)等于（ ）
A．6B．C．3D．2
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AC＝AB，∠CAB＝60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△CQA≌△BPA，推出AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，求出∠PAQ＝60°，得出△APQ是等邊三角形，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
∵將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△QAC，
∴△CQA≌△BPA，
∴AQ＝AP，∠CAQ＝∠BAP，
∴∠CAB＝∠CAP+∠BAP＝∠CAP+∠CAQ＝60°，
即∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴QP＝PA＝6，
故選：A．
【變式5-1】（2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，若直線A'C'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則CC'的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．D．4
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△BCC'、△ABA'是等邊三角形，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AC＝2AB＝2，由勾股定理得BC，從而解決問(wèn)題．
【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，
∴BA＝BA'，BC＝BC'，∠BAC＝∠BA'C'，
∵∠BAC＝60°，
∴∠A'＝60°，
∴△ABA'是等邊三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠CBC'＝∠ABA'＝60°，
∴△BCC'是等邊三角形，
∴CC'＝BC，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∴BC，
∴CC'＝BC，
故選：C．
【變式5-2】（2023春?覃塘區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，將三角形ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形A'B'C，A'B'與AC相交于點(diǎn)P，則線段PC長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．6B．5.2C．4.8D．4
【分析】當(dāng)CP與A'B'垂直時(shí)，CP有最小值，即為直角三角形斜邊上的高，由勾股定理求出CP長(zhǎng)即可
【解答】解：當(dāng)CP與A'B'垂直時(shí)，CP有最小值，如圖，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，AB＝A'B'＝10，
∵S△A'B'CB'C×A'CA'B'×CP，
∴CP4.8．
故選：C．
【變式5-3】（2023秋?江油市期末）把一副三角板如圖1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜邊AB＝6，CD＝8把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到三角形D1CE（如圖2），此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)H，則線段AD1的長(zhǎng)度為 ．
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，AB于CD1交于點(diǎn)H，
∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜邊AB＝6，CD＝8，
∴AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵將三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到三角形D1CE，
∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，
∴AB⊥CD1，
∴AH＝CH＝3，
∴D1H＝5，
∴AD1，
故答案為：．
【考點(diǎn)6 中心對(duì)稱圖形】
【例6】（2023秋?招遠(yuǎn)市期末）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．一棋譜中四部分的截圖由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：選項(xiàng)A能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；
選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；
故選：A．
【變式6-1】（2023秋?通榆縣期末）如圖，在下面的撲克牌中，牌面是中心對(duì)稱圖形的有（ ）
A．2張B．3張C．4張D．5張
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念和撲克牌的花色求解．
【解答】解：由于黑桃9與梅花3、黑桃8中間的圖形旋轉(zhuǎn)180°后無(wú)法與原來(lái)重合，故不是中心對(duì)稱圖形；
只有紅桃2，方片J是中心對(duì)稱圖形，共2張．
故選：A．
【變式6-2】（2023秋?海陽(yáng)市期末）我國(guó)民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對(duì)幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“?！薄ⅰ暗摗?、“壽”、“喜”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：①不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
②是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
③不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
④是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【變式6-3】（2023秋?市南區(qū)期末）萬(wàn)花筒寫(xiě)輪眼是漫畫(huà)《火影忍者》及其衍生作品中的一種瞳術(shù)，下列圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心可得答案．
【解答】解：從左往右第二、四、五這3個(gè)圖形不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
第一、三這兩個(gè)圖形能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：A．
【考點(diǎn)7 設(shè)計(jì)中心對(duì)稱圖形】
【例7】（2023秋?遷安市期末）圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形是中心對(duì)稱圖形的位置是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．②③
【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：將圖1的正方形放在圖2中的③④位置，所組成的圖形是中心對(duì)稱圖形．
故選：B．
【變式7-1】（2023春?汝陽(yáng)縣期末）圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來(lái)7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，這個(gè)位置是 ．
【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：當(dāng)正方形放在③的位置，即是中心對(duì)稱圖形．
故答案為：③．
【變式7-2】（2023秋?辛集市期末）如圖，方格紙中有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，要求作一個(gè)四邊形使這三個(gè)點(diǎn)在這個(gè)四邊形的邊（包括頂點(diǎn)）上，且四邊形的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上．
（1）在甲圖中作出的四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形；
（2）在乙圖中作出的四邊形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形；
（3）在丙圖中作出的四邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．
【分析】（1）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形；
（2）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形；
（3）正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．
【解答】解：（1）甲圖：平行四邊形，
（2）乙圖：等腰梯形，
（3）丙圖：正方形．
【變式7-3】（2023?寧波模擬）圖1，圖2，圖3均是由邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖中有5個(gè)正三角形已涂上陰影．請(qǐng)?jiān)谟嘞驴瞻渍切沃?，按下列要求涂上陰影?br>（1）在圖1中涂上一個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；
（2）在圖2中涂上兩個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；
（3）在圖3中涂上三個(gè)陰影正三角形，使得陰影部分圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．
【分析】（1）根據(jù)題意涂陰影；
（2）根據(jù)題意涂陰影；
（3）根據(jù)題意涂陰影；
【解答】解：（1）如圖1；
（2）如圖2，答案不唯一；
（3）如圖3，答案不唯一．
【考點(diǎn)8 旋轉(zhuǎn)變換作圖】
【例8】（2023秋?廣饒縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1，請(qǐng)畫(huà)出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到對(duì)應(yīng)的△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2；
（3）觀察圖形，判斷△A1B1C1與△A2B2C2是否成中心對(duì)稱？如果是，直接寫(xiě)出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（3）連接A1A2、B1B2、C1C2，它們相交一點(diǎn)，則兩個(gè)三角形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)中心對(duì)稱．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）由圖可得，△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)（﹣2，0）中心對(duì)稱．
【變式8-1】（2023秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD和直線MN．
（1）畫(huà)出四邊形A1B1C1D1，使四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱；
（2）畫(huà)出四邊形A2B2C2D2，使四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱；
（3）四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的位置關(guān)系是 ．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫(huà)出四邊形A1B1C1D1，使四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱；
（2）根據(jù)中心對(duì)稱性質(zhì)即可畫(huà)出四邊形A2B2C2D2，使四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱；
（3）結(jié)合以上畫(huà)圖即可得四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2的位置關(guān)系是．
【解答】解：（1）如圖，A1B1C1D1即為所求；
（2）如圖，A2B2C2D2即為所求；
（3）關(guān)于直線CO成軸對(duì)稱．
故答案為：CO．
【變式8-2】（2023秋?順城區(qū)月考）在如圖所示平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）將△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1，并直接寫(xiě)出坐標(biāo)A1 （﹣4，2） ，B1 （﹣2，1） ，C1 （﹣1，5） ；
（2）畫(huà)出△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2C2，并直接寫(xiě)出坐標(biāo)A2 （4，﹣2） ，B2 （2，﹣1） ，C2 （1，﹣5） ；
（3）若△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)過(guò)上面兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P2，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．（用含a，b的代數(shù)式表示）
【分析】（1）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（2）分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；
（3）結(jié)合以上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律可得答案．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所作，A1（﹣4，2），B1（﹣2，1），C1（﹣1，5），
故答案為：（﹣4，2），（﹣2，1），（﹣1，5），
（2）如圖，△A2B2C2即為所作，A2（4，﹣2），B2（2，﹣1），C2（1，﹣5），
故答案為：（4，﹣2），（2，﹣1），（1，﹣5），
（3）根據(jù)題意知P2（b，﹣a）．
【變式8-3】（2023秋?孝義市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（5，4），B（1，3），C（3，1），點(diǎn)P（a，b）是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．
（1）以點(diǎn)O為中心，把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C1，并寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1 （4，﹣5） ，B1 （3，﹣1） ，C1 （1，﹣3） ．注：點(diǎn)A與A1，B與B1，C與C1分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（2）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 （b，﹣a） ；
（3）若以點(diǎn)O為中心，把△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是 （﹣b，a） ，點(diǎn)P1與點(diǎn)P2關(guān)于 原點(diǎn) 對(duì)稱．（填寫(xiě)“x軸”、“y軸”或“原點(diǎn)”）
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1，然后寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)；
（2）利用A1，B1，C1的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)；
（3）先寫(xiě)出點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)，再利用P1和P2的坐標(biāo)特征可判斷點(diǎn)P1與點(diǎn)P2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；A1（4，﹣5），B1（3，﹣1），C1（1，﹣3）；
故答案為（4，﹣5），（3，﹣1），（1，﹣3）；
（2）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是 （b，﹣a）；
故答案為（b，﹣a）；
（3）點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（b，﹣a），點(diǎn)P1與點(diǎn)P2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．△ABC
A（a，0）
B（5，3）
C（2，1）
△A′B′C′
A′（3，4）
B′（7，b）
C′（c，d）

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