2．如圖，D是內一點，，，，，，則的長是_____________．
3．如圖，為等邊三角形，點P為內一點，且，，，M、N為、上的動點，且，則的最小值為__________．
4．如圖所示，，點是軸上一個動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．則線段的最小值是__________．
5．如圖，直線l上依次有，，，四點，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是______．
6．如圖，在中，，，P為內一點，且，，，則的面積為______．
7．如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉到的位置，點B，O分別落在點，處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，依次進行下去，…，若點，，，則點的坐標為______．
8．如圖，含角的直角三角形紙片將該紙片在平面直角坐標系中放置，將該紙片繞著原點按順時針方向旋轉得到，連結，，分別為，的中點， 若， 則直線與軸的交點坐標為___________．
9．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，，將繞原點順時針旋轉，再將其各邊都擴大為原來的2倍，使得，，得到；將繞原點順時針旋轉，再將其各邊都擴大為原來的2倍，使得，，得到……如此繼續(xù)下去，得到，則點的坐標是______．
10．如圖，在中，，，，點O為內一點，連接，，．且，則的值為______．
11．中，，，點在邊上，將線段逆時針旋轉得到，連接．
(1)當，時，求證：．
(2)當，時，若，求的值．
12．如圖1，在中，，點D，E分別在邊上，，連接，過點C作，垂足為H，直線交直線于F．
(1)求證：；
(2)將圖1中的繞點C逆時針旋轉，其他條件不變，如圖2，（1）的結論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；
(3)若，將繞點C逆時針旋轉一周，當A，E，D三點共線時，直接寫出的長．
13．(1)發(fā)現(xiàn)：如圖，點是線段上的一點，分別以，為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，連接，，相交于點．
①線段與的數量關系為： ；的度數為 ．
②可看作經過怎樣的變換得到的？ ．
(2)應用：如圖2，若點，，不在一條直線上，中的結論①還成立嗎？請說明理由；
(3)拓展：在四邊形中，，，，若，，請直接寫出，兩點之間的距離．
14．在中，，點D是邊上一動點，連接．將線段繞著D逆時針旋轉得到，連接．
(1)當時，
①如圖1，若，，求的長：
②如圖2，過點C作于F，當點D在線段上時，過點E作交于點G．求證：；
(2)如圖3，若，，請直接寫出的最小值．
15．在中于點．
(1)如圖1，若的角平分線交于點，，，求的度數；
(2)如圖2，點、分別在線段、上，將折疊，點落在點處，點落在點處，折痕分別為和，點、均在直線上，若，試猜想與之間的數量關系，并簡要說明理由；
(3)在（2）小題的條件下，將繞點逆時針旋轉一個角度，記旋轉中的為（如圖3）．在旋轉過程中，直線與直線交于點，與直線交于點．若，是否存在這樣的、兩點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出旋轉角的度數；若不存在，請說明理由．
第三章 圖形的平移與旋轉B卷壓軸題考點訓練
1．如圖，點，，作點關于軸的對稱點，若點是直線上的動點，連，將繞點逆時針旋轉至，則的最小值是_____．
【答案】
【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，
∵將繞點逆時針旋轉至，
則，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
設直線的解析式為，
∴，
解得：
∴直線的解析式為，
∵點是直線上的動點，
∵關于軸對稱，
∴,
如圖所示，
設，則，，
∴，
∴，
∵，
∴點在直線上運動，
設直線與坐標軸的交點為，則是等腰直角三角形，
∴,,
∵是等腰直角三角形，
∴，
作關于的對稱點，則是等腰直角三角形（），
∴，
∴
∴，
∴當三點共線時，最小，最小值為的長，
即，
故答案為：．
2．如圖，D是內一點，，，，，，則的長是_____________．
【答案】
【詳解】解：將繞點D順時針旋轉至，連接，交于F，交于M，
則，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，解得：
，
，
在中，，
故答案為：．
3．如圖，為等邊三角形，點P為內一點，且，，，M、N為、上的動點，且，則的最小值為__________．
【答案】
【詳解】解：如圖1，將繞點順時針旋轉得到，連接、，則， ，
，，
是等邊三角形，，，
，
，
，
如圖2，將繞點逆時針旋轉得到，連接、，則，，
，，
是等邊三角形，，
，
，
則的最小值為，
故答案為．
4．如圖所示，，點是軸上一個動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．則線段的最小值是__________．
【答案】2
【詳解】解：連接，以為邊長作等邊，連接，
，，
，，
為等邊三角形，
，，
，
在和中，
，，，
當點在軸上運動時，點在直線上運動，
作交直線于，于，
，，
，，，
顯然，當在直線上運動到點位置時，線段的最小值為，
故答案為：2．
5．如圖，直線l上依次有，，，四點，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是______．
【答案】
【詳解】解：設則
為等邊三角形，
，，
，
把繞點順時針旋轉得到，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
過點作于，如圖，
，
點與點重合，即，
在中，，
即，
．
故答案為．
6．如圖，在中，，，P為內一點，且，，，則的面積為______．
【答案】
【詳解】解：如圖，
把繞點逆時針旋轉90°得到，
根據旋轉的性質可得是等腰直角三角形，
，，
，

，

在直角三角形中
故答案為：．
7．如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉到的位置，點B，O分別落在點，處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在x軸上，依次進行下去，…，若點，，，則點的坐標為______．
【答案】
【詳解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴的橫坐標為：12，且，
∴的橫坐標為：，
…，
∴的橫坐標為：，
∵，
∴點的橫坐標為：，
∵，
∴點的縱坐標為4，
∴．
故答案為：．
8．如圖，含角的直角三角形紙片將該紙片在平面直角坐標系中放置，將該紙片繞著原點按順時針方向旋轉得到，連結，，分別為，的中點， 若， 則直線與軸的交點坐標為___________．
【答案】
【詳解】解：在中，，，，
，點的坐標為，
，
點的坐標為，．
由旋轉的性質可知：，，，
點的坐標為，為等邊三角形．
點為線段的中點，
點的坐標為．
過點作軸于點，如圖所示，
為等邊三角形，
，
，
點的坐標為．
點為線段的中點，
點的坐標為，．
設直線的解析式為，
將，，代入得：，解得：，
直線的解析式為．
當時，，
直線與軸的交點坐標為．
故答案為：．
9．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，，將繞原點順時針旋轉，再將其各邊都擴大為原來的2倍，使得，，得到；將繞原點順時針旋轉，再將其各邊都擴大為原來的2倍，使得，，得到……如此繼續(xù)下去，得到，則點的坐標是______．
【答案】
【詳解】解：如圖所示：
，，
，，軸，
，
，
每一次旋轉角是，
旋轉次后，正好旋轉一周，點在軸的正半軸上，
，
點與點在同一條射線上，如圖所示，
每次旋轉后，，，，
，，，
依此類推，，
當時，，根據含銳角的直角三角形的三邊關系可知點的坐標是，即，
故答案為：．
10．如圖，在中，，，，點O為內一點，連接，，．且，則的值為______．
【答案】
【詳解】解：∵，，，
∴，．
如圖，將繞點B順時針方向旋轉得到，
∴，，
∵，，∴是等邊三角形，
∴， ，
∵ ，
∴ ，∴ 四點共線，
在中， ，
∴．故答案為：．
11．中，，，點在邊上，將線段逆時針旋轉得到，連接．
(1)當，時，求證：．
(2)當，時，若，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）在的延長線上取點，使
，
由同理得，
，
，
設，
∴
作于，
，
是等腰直角三角形，
∴．
12．如圖1，在中，，點D，E分別在邊上，，連接，過點C作，垂足為H，直線交直線于F．
(1)求證：；
(2)將圖1中的繞點C逆時針旋轉，其他條件不變，如圖2，（1）的結論是否成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由；
(3)若，將繞點C逆時針旋轉一周，當A，E，D三點共線時，直接寫出的長．
【答案】(1)見解析
(2)仍然成立，理由見解析
(3)
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）仍然成立，理由如下：
如下圖，作交直線于點，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①當點在延長線上時，過點作于點，如下圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當點在線段上時，過點作于點，如下圖，
同理可得 ，，，
∴，
∴．
綜上所述，的長為或．
13．(1)發(fā)現(xiàn)：如圖，點是線段上的一點，分別以，為邊向外作等邊三角形和等邊三角形，連接，，相交于點．
①線段與的數量關系為： ；的度數為 ．
②可看作經過怎樣的變換得到的？ ．
(2)應用：如圖2，若點，，不在一條直線上，中的結論①還成立嗎？請說明理由；
(3)拓展：在四邊形中，，，，若，，請直接寫出，兩點之間的距離．
【答案】(1)①，；②可看作繞點順時針旋轉得到的；(2)(1)中的結論①依然成立；理由見解析；(3)
【詳解】解：（1）①、都為等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
故答案為：，；
②由①知：，
，，，
，
可看作繞點順時針旋轉得到的，
故答案為：可看作繞點順時針旋轉得到的；
（2）若點，，不在一條直線上，（1）中的結論①依然成立；理由如下：
、都為等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（3）過點作于，過點作，交延長線于，如圖所示：
，是等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，，
，
，
，
．
14．在中，，點D是邊上一動點，連接．將線段繞著D逆時針旋轉得到，連接．
(1)當時，
①如圖1，若，，求的長：
②如圖2，過點C作于F，當點D在線段上時，過點E作交于點G．求證：；
(2)如圖3，若，，請直接寫出的最小值．
【答案】(1)①②證明見解析；(2)3
【詳解】（1）①解：過點C作于F，
∵，，
∴，，
在中，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
解得：，
∵
∴，
在中，
由勾股定理得，，
即
解得：，
∵，，
∴，
∴；
②過點E作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（2）如圖，過點C作于點F，以點B為頂點在上方作，
過點D作于點M，過點C作于點N，
點D是上的動點，運動到某一時間有，
此時，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
設的長為x，則，
∵∠，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
，
即，
解得：，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
∵是由旋轉得到，
∴，
∴即為，
最小時，即最小，
當C、D、M三點共線時最小，即圖中的，
，
∵，
∴，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值為3．
15．在中于點．
(1)如圖1，若的角平分線交于點，，，求的度數；
(2)如圖2，點、分別在線段、上，將折疊，點落在點處，點落在點處，折痕分別為和，點、均在直線上，若，試猜想與之間的數量關系，并簡要說明理由；
(3)在（2）小題的條件下，將繞點逆時針旋轉一個角度，記旋轉中的為（如圖3）．在旋轉過程中，直線與直線交于點，與直線交于點．若，是否存在這樣的、兩點，使為直角三角形？若存在，請直接寫出旋轉角的度數；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)存在，旋轉角的度數為或，理由見解析
【詳解】（1）解： 如圖，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴的度數為．
（2）結論：．
理由：如圖，
由翻折可知，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①當時，
∴，
∵將折疊，點落在點處，折痕為，將繞點逆時針旋轉一個角度，
∴，
∴，
∴，
∴；
②當時，
∵將折疊，點落在點處，折痕為，將繞點逆時針旋轉一個角度，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
綜上所述，旋轉角的度數為或．

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