北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略期末考試點對點壓軸題訓(xùn)練(四)(B卷25題)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(1)求點C，D的坐標(biāo)；
(2)點P是x軸上一點，點Q是直線CD上一點，連接BP，BQ，PQ，若是以BQ為斜邊的等腰直角三角形，求點P的坐標(biāo)；
(3)已知直線，當(dāng)時，對x的每一個值都有，請直接寫出a的取值范圍．
2．在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y＝2x＋3與過點B（6,0）的直線l2交于點C（1,m）,與x軸交于點A,與y軸交于點E,直線l2與y軸交于點D．
（1）求直線的函數(shù)解析式;
（2）如圖1,點F在直線l2位于第二象限的圖象上,使得,求點F的坐標(biāo)．
（3）如圖2,在線段BC存在點M,使得△CEM是以CM為腰的等腰三角形,求M點坐標(biāo)．
3．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，對角線與的交點恰好在軸上，過點和的中點的直線交于點，線段，的長是方程的兩根，請解答下列問題：
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）點在直線上，在直線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
4．平面直角坐標(biāo)系中，直線：分別與軸，軸交于點，，點在直線上，且點的橫坐標(biāo)為3，直線：經(jīng)過點，兩點，與軸交于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，點在軸下方的直線上，連接，若的面積等于的面積，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖，點在直線上，連接，將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，若，求的度數(shù)．
5．直線：分別與，軸交于點，，線段中點．
(1)求，的值；
(2)在軸負(fù)半軸上有一點，連接交軸于點，若，求點坐標(biāo)；
(3)在（2）條件下，軸上一動點由點出發(fā)至點，同時軸上另一動點由點出發(fā)至點，兩動點均以每秒個單位長的速度運動，設(shè)運動時間為，若某一動點到達終點，則另一動點同時停止運動，連接，求線段中點的運動路程．
6．在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)的過程中，小新在同一個坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點，直線與坐標(biāo)軸相交于C，D兩點，兩直線相交于點E，且點E的橫坐標(biāo)為2．已知，點P是直線上的動點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)過點P作x軸的垂線與直線和x軸分別相交于M，N兩點，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求P點的坐標(biāo)；
(3)若點Q是x軸上的動點，是否存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線l1：與直線l2交于點A（﹣2，3），直線l2與x軸交于點C（4，0），與y軸交于點B，過BD中點E作直線l3⊥y軸．
(1)求直線l2的解析式和m的值；
(2)點P在直線l1上，當(dāng)S△PBC＝6時，求點P坐標(biāo)；
(3)點P是直線l1上一動點，點Q是直線l3上一動點，當(dāng)以P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求Q點坐標(biāo)．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，直線m、n分別與x軸交于點B、C．
(1)求；
(2)若線段AC上存在一點P，使得，求點P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中找一點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．
9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+n分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標(biāo)為（4，0），點C為線段AB的中點．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）點P為直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線，與直線OC交于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△OPQ的面積為S，求S與m的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)點P在直線AB上運動時，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點N，使得以O(shè)，B，P，N為頂點的四邊形為矩形，若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點與直線交于點，直線與軸交于點．
（1）求直線的解析式；
（2）如圖2，點在線段上，連接，過點的直線交軸負(fù)半軸于點交軸正半軸于點，請問：是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
（3）當(dāng)點在直線上運動時，平面內(nèi)是否存在一點，使得以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0），將x軸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°交y軸于點B，再將點B繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點Q為平面直角坐標(biāo)系中一點，且滿足四邊形ABCQ為平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；
（3）在直線BC和y軸上，是否分別存在點M和點N，使得以點M，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
12．如圖1，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線y2＝mx＋n（m，n為常數(shù)）與x軸交于點B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直線y2的函數(shù)表達式；
(2)點P是直線y2上一動點，當(dāng)S△PAC＝2S△ABC時，求點P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在平面內(nèi)有一點M（﹣8，2），連接CM交x軸于點N，連接AM，在平面內(nèi)是否存在點Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負(fù)半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA，OC的長是方程的兩個根，點B是y軸上一動點，以AC為對角線作平行四邊形ABCD．
(1)求直線AC的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)點，記平行四邊形ABCD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)BD取最小值時S的值；
(3)當(dāng)點B在y軸上運動，在使得平行四邊形ABCD是菱形的同時，在x軸取一點P，使得是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x＋b(b>0)分別與x，y軸相交于A，B兩點，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．
(1)若b＝6，連接BC交x軸于點D．
①求點C的坐標(biāo)；
②點E在直線AC上，點F在x軸上，若以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標(biāo)；
(2)P為x軸上的動點，連接PB，PC，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，點A到直線PC的距離為6，求此時直線PC的函數(shù)表達式．
15．在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（﹣3，0），連接AB，過點A作AC⊥AB交x軸于點C，點E是線段AO上的一動點．
（1）如圖1，當(dāng)AE＝3OE時，
①求直線BE的函數(shù)表達式；
②設(shè)直線BE與直線AC交于點D，連接OD，點P是直線AC上的一動點（不與A，C，D重合），當(dāng)S△BOD＝S△PDB時，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，設(shè)直線BE與直線AC的交點F，在平面內(nèi)是否存在點M使以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請簡述理由．
期末考試點對點壓軸題訓(xùn)練（四）（B卷25題）
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線交x軸于點A，交y軸于點B．以AB為邊作，點D在x軸正半軸，且．
(1)求點C，D的坐標(biāo)；
(2)點P是x軸上一點，點Q是直線CD上一點，連接BP，BQ，PQ，若是以BQ為斜邊的等腰直角三角形，求點P的坐標(biāo)；
(3)已知直線，當(dāng)時，對x的每一個值都有，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)直線交x軸于點A，交y軸于點B，先求出點A和點B的坐標(biāo)，再結(jié)合求出，得到點D的坐標(biāo)，最后利用平行四邊形的性質(zhì)求出點C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)，求出直線CD的解析式，設(shè)，分兩種情況：點P在x軸正半軸和x軸負(fù)半軸來求解；
（3）先將兩條直線組成方程組得到，分兩種情況進行求解．
【解析】（1）解：∵直線交x軸于點A，交y軸于點B，
令，則，
令，則，
∴，，∴．
又∵，∴，∴，∴
在中，，，
∴；
（2）解：∵，，
設(shè)直線CD的解析式為，
則，解得，∴，
設(shè)，情況一：如圖所示：
，
∴，，
∴；
情況二：如圖所示：
∴，，∴；
（3）解：由直線與直線得，
∴，∴，
當(dāng)時，方程組無解，兩直線平行，此時總有，
當(dāng)時，，∵直線經(jīng)過，
∴當(dāng)時，對于x的每一個值，都有，即是，
∴若時，即，則，∴；
若，則，∴，∴．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合知識，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)與一次不等式的關(guān)系，等腰直角三形，平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
2．在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y＝2x＋3與過點B（6,0）的直線l2交于點C（1,m）,與x軸交于點A,與y軸交于點E,直線l2與y軸交于點D．
（1）求直線的函數(shù)解析式;
（2）如圖1,點F在直線l2位于第二象限的圖象上,使得,求點F的坐標(biāo)．
（3）如圖2,在線段BC存在點M,使得△CEM是以CM為腰的等腰三角形,求M點坐標(biāo)．
【答案】（1）y=-x+6;（2）F（-2,8）;（3）或
【分析】（1）將C（1,m）代入y =2x+ 3得,C（1,5）,用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)解析式;
（2）設(shè)F（n,-n+6）,用n表示出 ,,根據(jù)條件列方程即可求出;
（3）根據(jù)△CEM是以CM為腰的等腰三角形,分CM= CE和сM=EM,設(shè)M（a,-a+6）,表示出CM2,CE2,EM2,分別列方程求解,即可得出答案．
【詳解】解:（1）將C（1,m）代入y =2x+ 3,解得m=5,
∴點C的坐標(biāo)為 ,
設(shè)直線的函數(shù)解析式為:y=kx+b ,把點B（6,0）,代入得:
,
解得:,
∴直線的函數(shù)解析式為:y=-x+6;
（2）∵點F在直線l2位于第二象限的圖象上,
∴設(shè)點F的坐標(biāo)為F（n,-n+6）,其中n0,
則 ,
,

∵△CEM是以CM為腰的等腰三角形,
∴有CM=CE或CM=EM,
當(dāng)CM=CE時,有,
即,解得: , （舍去）,
∴M點坐標(biāo)為
當(dāng)CM=EM時,有
即,解得: ,
∴M點坐標(biāo)為
綜上所述:M點坐標(biāo)為或．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式?用坐標(biāo)表示三角形面積的表示等知識,用方程思想,數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
3．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，對角線與的交點恰好在軸上，過點和的中點的直線交于點，線段，的長是方程的兩根，請解答下列問題：
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）點在直線上，在直線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，點的坐標(biāo)為：或或
【分析】（1）先解方程可得CD和DE的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠DCA＝30°，分別計算AC、BD、DM的長，根據(jù)菱形面積的兩種計算方法可得高OM的長，得D的坐標(biāo)；
（2）分三種情況：①以CF為邊時，在CF的上方，②以CF為邊，在CF的下方，③以CF為對角線時，分別根據(jù)平移規(guī)律求點P的坐標(biāo)
【詳解】（1），，或6，
∵，∴，，∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，，中，，
∴，∵，
∴，
∴，，∴；
（2）①∵，，
∴是等邊三角形，
∵是的中點，∴
∴當(dāng)與重合時，如圖1，四邊形是平行四邊形，
∵，∴，
∴，
∴，，
中，，，
∴，∴；
②如圖2，∵四邊形是平行四邊形，
∴，由①知：，∴，中，，，
∴，
∴，連接，∵，，
∴，∴，，
∴，∴，由①知：，
由到的平移規(guī)律可得到的平移規(guī)律，則，即；
③如圖3，四邊形是平行四邊形，
同理知：，，，∴；
綜上所述，點的坐標(biāo)為：或或．
【點睛】本題是四邊形和函數(shù)的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形特點、平移規(guī)律、等邊三邊形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識，本題有難度，綜合性強，特別是（2）中，需要進行分類討論，通過求Q的坐標(biāo)來求P的坐標(biāo)，根據(jù)平移規(guī)律得出結(jié)果．
4．平面直角坐標(biāo)系中，直線：分別與軸，軸交于點，，點在直線上，且點的橫坐標(biāo)為3，直線：經(jīng)過點，兩點，與軸交于點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)如圖，點在軸下方的直線上，連接，若的面積等于的面積，求點的坐標(biāo)；
(3)如圖，點在直線上，連接，將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用，兩點坐標(biāo)代入，解方程組即可解決問題．
設(shè)，根據(jù)，解方程即可．
過點作軸的平行線，分別過、作該平行線的垂線，垂足分別為、，證明≌，可得，，設(shè)，可得，求出，，由得，則，可得，，根據(jù)勾股定理的逆定理得，則，即可得．
（1）解：直線：分別與軸，軸交于點，，，，點在直線上，且點的橫坐標(biāo)為．，直線：經(jīng)過點，兩點，則，解得，直線的解析式為．
（2）∵直線的解析式為，，，，，設(shè)，，，解得，點的坐標(biāo)為．
（3）如圖，過點作軸的平行線，分別過、作該平行線的垂線，垂足分別為、，，，，，，，≌，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
5．直線：分別與，軸交于點，，線段中點．
(1)求，的值；
(2)在軸負(fù)半軸上有一點，連接交軸于點，若，求點坐標(biāo)；
(3)在（2）條件下，軸上一動點由點出發(fā)至點，同時軸上另一動點由點出發(fā)至點，兩動點均以每秒個單位長的速度運動，設(shè)運動時間為，若某一動點到達終點，則另一動點同時停止運動，連接，求線段中點的運動路程．
【答案】(1)的值為，的值是
(2)
(3)
【分析】（1）由得，，而線段中點，有，可解得的值為，的值是；
（2）連接，根據(jù)，為的中點，，可得，知，用待定系數(shù)法可得直線解析式為，即可得；
（3）根據(jù)題意得，，，因為的中點，，，得，從而知是直線上的點，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，的路程是以，為端點的線段的長，故的路程為．
（1）
解：在中，令得，令得，
，，
線段中點，
，
解得，
答：的值為，的值是；
（2）
解：連接，如圖：

，為的中點，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
設(shè)直線解析式為，將代入得：
，
解得，
直線解析式為，
令的，
；
（3）
解：根據(jù)題意知，，
，
，，
當(dāng)與重合時，，
，
，
為的中點，，，
，
設(shè)，，則，
即是直線上的點，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
的路程是以，為端點的線段的長，
的路程為．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線段中點坐標(biāo)公式，等腰三角形判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是求出點是直線上的點．
6．在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)的過程中，小新在同一個坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點，直線與坐標(biāo)軸相交于C，D兩點，兩直線相交于點E，且點E的橫坐標(biāo)為2．已知，點P是直線上的動點．
(1)求直線的函數(shù)表達式；
(2)過點P作x軸的垂線與直線和x軸分別相交于M，N兩點，當(dāng)點N是線段PM的三等分點時，求P點的坐標(biāo)；
(3)若點Q是x軸上的動點，是否存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，或
(3)或或，
【分析】（1）先求出點的坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點，，分情況討論：當(dāng)點在點的左側(cè)時，當(dāng)點在點的右側(cè)時，分別列方程求解即可；
（3）設(shè)點，，分情況討論：①以，為對角線時，②以，為對角線時，③以，為對角線時，分別列二元一次方程組，求解即可．
（1）
解：將點的橫坐標(biāo)2代入直線，
得，
點，
，
，，
將點和點坐標(biāo)代入直線，
得，
解得，
直線；
（2）
設(shè)點的坐標(biāo)為，
則點，，
當(dāng)點在點的左側(cè)時，如圖所示：
則，，
點是線段的三等分點，
或，
當(dāng)時，，
解得，
，，
當(dāng)時，，
解得（舍，
當(dāng)點在點右側(cè)時，如圖所示：
，，
點是線段的三等分點，
或，
當(dāng)時，，
解得（舍，
當(dāng)時，
，
解得，
，
綜上，點的坐標(biāo)為，或；
（3）
存在以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，
設(shè)點，，
，，
①以，為對角線時，
得，
解得，
點，
②以，為對角線時，
得，
解得，
；
③以，為對角線時，
得，
解得，
，，
綜上，點坐標(biāo)為或或，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，線段的三等分點，平行四邊形的判定等，本題綜合性較強，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線l1：與直線l2交于點A（﹣2，3），直線l2與x軸交于點C（4，0），與y軸交于點B，過BD中點E作直線l3⊥y軸．
(1)求直線l2的解析式和m的值；
(2)點P在直線l1上，當(dāng)S△PBC＝6時，求點P坐標(biāo)；
(3)點P是直線l1上一動點，點Q是直線l3上一動點，當(dāng)以P、Q、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求Q點坐標(biāo)．
【答案】(1)y=x+2；m=6；
(2)P點坐標(biāo)為（，）或（，）；
(3)Q點坐標(biāo)為（，4）或（，4）或（4，4）
【分析】（1）由待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（2）分點P在線段FA上和在線段DA上時，兩種情況討論，利用分割法和三角形面積公式列方程，再分別求P點坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)P（t，t+6），Q（m，4），再分三種情況討論：①當(dāng)PQ為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)PB為平行四邊形對角線時；③當(dāng)PC為平行四邊形的對角線時；利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵A（-2，3）在y=x+m上，
∴-3+m=3，∴m=6，∴y=x+6，
設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b，∴，解得，
∴直線l2的解析式為y=x+2；
（2）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），F(xiàn)（-4，0），
∵C（4，0），
∴S△DBC=×4×4=8>6，S△FBC=×8×2=8>6，
∴點P一定在線段FD上，
當(dāng)點P在線段FA上時，連接PO，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a+6），
S△PBC=S△POB+S△COB-S△POC=×2+×2×4-×4×=6，
整理得=-a-1，
即=-a-1或=a+1，
解得：a=-或a=-5(舍去)，
∴點P的坐標(biāo)為（-，）；
當(dāng)點P在線段DA上時，連接PO，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a+6），
S△PBC= S△POC -S△POB-S△COB=×4×-×2-×2×4=6，
整理得=5-a，
即=5-a或=a-5，
解得：a=-或a=-11(舍去)，
∴點P的坐標(biāo)為（-，）；
綜上所述：P點坐標(biāo)為（-，）或（-，）；
（3）解：由（1）可得B（0，2），D（0，6），
∴E（0，4），
∴直線l3的解析式為y=4，
設(shè)P（t，t+6），Q（m，4），
①當(dāng)PQ為平行四邊形的對角線時，
，解得，∴Q（，4）；
②當(dāng)PB為平行四邊形對角線時，
，解得，∴Q（-，4）；
③當(dāng)PC為平行四邊形的對角線時，
，解得，∴Q（4，4）；
綜上所述：Q點坐標(biāo)為（，4）或（-，4）或（4，4）．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，直線m、n分別與x軸交于點B、C．
(1)求；
(2)若線段AC上存在一點P，使得，求點P的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，在平面直角坐標(biāo)系中找一點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)（-2，2）
(3)（3，-3），（5，3），（-7，7）
【分析】（1）待定系數(shù)法求出直線m和直線n的函數(shù)解析式，求出B和點C坐標(biāo)，進一步即可求出△ABC的面積；
（2）根據(jù)△ABP的面積，可得△BCP的面積，設(shè)點P（p，3p+8），根據(jù)△BCP的面積列方程，求解即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的判定以及平移的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入直線，
得，解得，
直線，
將點代入直線，
得，
解得，
直線，
當(dāng)時，，
點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
點坐標(biāo)為，，
，
的面積為；
（2），
的面積，
點在線段上，如圖所示：
設(shè)點，
的面積，
，
點的坐標(biāo)為；
（3），，，
設(shè)點，
以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，分情況討論：
①以，為邊，
此時，且，
則點，
②以，為邊，
此時，且，
則點，
③以，為邊，
此時，且，
則點，
綜上，以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標(biāo)為，，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，動點問題，平行四邊形的判定等，本題綜合性較強，難度較大．
9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+n分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標(biāo)為（4，0），點C為線段AB的中點．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）點P為直線AB上的一個動點，過點P作x軸的垂線，與直線OC交于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△OPQ的面積為S，求S與m的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)點P在直線AB上運動時，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點N，使得以O(shè)，B，P，N為頂點的四邊形為矩形，若存在，求出N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）點B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）點N的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣，）．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）S＝PQ?|xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的邊、OB是矩形的對角線兩種情況，分別求解即可．
【詳解】解：（1）將點A的坐標(biāo)（4，0）代入y＝﹣x+n
得0＝﹣×4+n
解得：n＝3，
故直線的表達式為：y＝﹣x+3，
令x＝0，則y＝3，故點B（0，3）；
（2）點C為線段AB的中點，
則由中點公式得，點C（2，），則直線OC的表達式為：y＝x，
設(shè)點P（m，﹣m+3），則點Q（m，m），
當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，
S＝PQ?|x|＝（m+m﹣3）?m＝m2﹣m；
當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，
同理可得：S＝m2﹣m；
故S＝m2﹣m；
（3）設(shè)P（m，﹣m+3），點N（s，t），而點O、B的坐標(biāo)分別為（0，0）、（0，3）；
①當(dāng)OB是矩形的邊時，則點P與點A重合，故點P（4，0），故點N（4，3）；
②當(dāng)OB是矩形的對角線時，
由中點公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，
由矩形的對角線相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，
聯(lián)立①②并解得：，故點N（﹣，）；
綜上，點N的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣，）．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、面積的計算等，其中（2）、（3），要注意分類求解，避免遺漏．
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點與直線交于點，直線與軸交于點．
（1）求直線的解析式；
（2）如圖2，點在線段上，連接，過點的直線交軸負(fù)半軸于點交軸正半軸于點，請問：是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
（3）當(dāng)點在直線上運動時，平面內(nèi)是否存在一點，使得以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y=3x+6；（2）是定值，；（3）存在，E（1，1）
【分析】（1）將交點代入直線，求出點的坐標(biāo)，利用點，的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的解析式；
（2）把和看作是等高不等底的兩個三角形，則，即可求出點的坐標(biāo)；由問題圍繞著、，點、恰為直線與坐標(biāo)軸的交點，則借助函數(shù)解析式，即可得出和長度，從而得的值；
（3）點在直線上運動時，只有在之間時，才能得到菱形，因而借助菱形四邊相等的性質(zhì)，利用坐標(biāo)求出邊長和的長度，令其相等，即可求出點的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）由題可將點代入直線，
得：，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為：，將點，代入得，
，解得，，
直線的解析式為：．
（2）是定值．理由如下：
，
，
和是等高不等底的三角形，
，
，，
的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為：，即，；
設(shè)的函數(shù)解析式為：，將點代入得，，
，則，
，
令，得，則，
．
（3）存在．
如圖，設(shè)上的點，則，
點的坐標(biāo)為，
四邊形為菱形，
，
，，
，，
，解得：，
點在第一象限，
，則，
點的坐標(biāo)為．
【點睛】本題中，（1）考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，較簡單；（2）考查了函數(shù)解析式與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，本問關(guān)鍵在于從面積比入手，轉(zhuǎn)化成線段比，從而得出與的長度；（3）考查了菱形的性質(zhì)、在平面直角坐標(biāo)系中求線段的長度等，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，考查了幾何與代數(shù)的綜合運用．
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0），將x軸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°交y軸于點B，再將點B繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點C．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點Q為平面直角坐標(biāo)系中一點，且滿足四邊形ABCQ為平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；
（3）在直線BC和y軸上，是否分別存在點M和點N，使得以點M，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2），；（3），或，或，
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知，，，，過點作軸于點，求出，，再由待定系數(shù)法求直線的解析式；
（2）設(shè)，已知可知、為平行四邊形的對角線，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可求，；
（3）設(shè)，，，分三種情況討論：①當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，，；②當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，，；③當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，，．
【詳解】解：（1）軸繞點順時針旋轉(zhuǎn)交軸于點，
，
點，
，
，，
，
點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，
，，
過點作軸于點，
，
，，
，，
設(shè)直線的解析式為，
則有，
解得，
；
（2）設(shè)，
四邊形為平行四邊形，
、為平行四邊形的對角線，
的中點，，的中點，，
，，
，，
，；
（3）在直線上，在軸上，
設(shè)，，，
①當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，
中點的橫坐標(biāo)為，中點的橫坐標(biāo)為，，
，，；
②當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，
中點的橫坐標(biāo)為，中點的橫坐標(biāo)為，
，，，；
③當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，
中點的橫坐標(biāo)為，中點的橫坐標(biāo)為，
，，，；
綜上所述：點的坐標(biāo)為，或，或，．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)、并能根據(jù)對角線的情況分類討論是解題的關(guān)鍵．
12．如圖1，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，經(jīng)過點C的直線y2＝mx＋n（m，n為常數(shù)）與x軸交于點B，且OB∶OA＝1∶3．
(1)求直線y2的函數(shù)表達式；
(2)點P是直線y2上一動點，當(dāng)S△PAC＝2S△ABC時，求點P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在平面內(nèi)有一點M（﹣8，2），連接CM交x軸于點N，連接AM，在平面內(nèi)是否存在點Q，使得∠ACQ＝∠MAN＋∠ACN，且AQ＝AC，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）先求出點C，點B的坐標(biāo)，代入解析式即可解答；
（2）先求出的面積，再由三角形的面積公式解答；
（3）先求出∠ACQ=45°，由SAS可證明，可得，QN=AO=12，即可求解．
（1）
解：直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，
（2）
設(shè)
或
（3）
如圖，延長AM交y軸于H，
直線AM的解析式為
當(dāng)x=0時，y=6，
直線MC的解析式為
當(dāng)y=0時，x=-6
如圖，當(dāng)點Q在AC上方時，連接QN，
當(dāng)點在AC下方時，
點A是的中點，
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為：或．
【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負(fù)半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA，OC的長是方程的兩個根，點B是y軸上一動點，以AC為對角線作平行四邊形ABCD．
(1)求直線AC的函數(shù)解析式；
(2)設(shè)點，記平行四邊形ABCD的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)BD取最小值時S的值；
(3)當(dāng)點B在y軸上運動，在使得平行四邊形ABCD是菱形的同時，在x軸取一點P，使得是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)6
(3)點P的坐標(biāo)為或或（3，0）或
【分析】（1）先解一元二次方程，求出點A（-3，0），點C（0，4），然后利用待定系數(shù)法求AC解析式即可；
（2）過B作BF⊥AD于F，根據(jù)兩點距離公式先求，然后利用平行四邊形面積公式可得，根據(jù)垂線段最短，得出BD≥BF，當(dāng)D與點F重合時，BD最短，利用BE∥OA，截線段成比例求出CB=OB=即可；
（3）當(dāng)點B在y軸上運動，在使得平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)勾股定理列方程求出，根據(jù)兩點距離公式求出AB=，根據(jù)△ABP為等腰三角形分類，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧的P1，P2，以點B為圓心AB長為半徑畫弧得出P3，AB的垂直平分線以x軸交于P4,利用線段和差，勾股定理求解即可
∴點P的坐標(biāo)為或或（3，0）或．
【解析】（1）解：OA，OC的長是方程的兩個根，
∴因式分解得，
∴，
∵，
∴OA=3，OC=4，
∴點A（-3，0），點C（0，4），
設(shè)直線AC的解析式為．
將點，代入函數(shù)中，得，
解得，
∴直線AC的解析式為；
（2）解：過B作BF⊥AD于F，
∵點，四邊形ABCD是以AC為對角線的平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴，
∴，
∵BF⊥AD，
∴BD≥BF，
當(dāng)D與點F重合時，BD最短，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE=CE，
∵BE在BF上，
BE∥OA，
∴，
∴CB=OB=，
∴S=3×2=6，
∴當(dāng)BD取得最小值時，s的值為6；
（3）解：當(dāng)點B在y軸上運動，在使得平行四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∴AB=，BC=|4-m|，∴，
∴，解得，
∴AB=，
∵點P在x軸上，△PAB為等腰三角形，
點P在點A的左側(cè)，PA=AB=，OP=PA+OA=，點P（，0），
點P在點A右側(cè)，PA=AB=，OP=AB-OA=，點P（，0），
點P在點A右側(cè)，PB=AB=，BO⊥AP，
∴OA=OP=3，點P（3，0），
當(dāng)點P在AB的垂直平分線上時，AP=BP，
根據(jù)勾股定理，
即，解得OP=，
∴點P的坐標(biāo)為或或（3，0）或
【點睛】本題考查解一元二次方程，勾股定理，垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，平行線截線段成比例，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握解一元二次方程方法，勾股定理，垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，平行線截線段成比例，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝3x＋b(b>0)分別與x，y軸相交于A，B兩點，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．
(1)若b＝6，連接BC交x軸于點D．
①求點C的坐標(biāo)；
②點E在直線AC上，點F在x軸上，若以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標(biāo)；
(2)P為x軸上的動點，連接PB，PC，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，點A到直線PC的距離為6，求此時直線PC的函數(shù)表達式．
【答案】(1)①；②(-17，0)或(13，0)
(2)
【分析】（1）①由題意可知直線AB的解析式為y＝3x＋6．從而可確定A(-2，0)，B(0，6)，即得出OA=2，OB=6．過點C作軸于點H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合題意利用“AAS”易證，即得出，，從而可求出，即C(4，-2)；②根據(jù)題意可求出直線AC的解析式為，直線BC的解析式為，從而得出D(3，0)．設(shè)E(a，)，再分類討論：ⅰ當(dāng)點E在x軸上方時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即得出，即，求出a，即可求出F點坐標(biāo)；ⅱ當(dāng)點E在x軸下方時，過點E作軸于點G．由作圖可知，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可利用“AAS”證明，得出EG=BO=6，從而得出，即，求出a，即可求出F點坐標(biāo)；
（2）作點B關(guān)于x軸的對稱點．連接、，延長交x軸于點．由題意可知B(0，b)，A(，0)，C(，)．由所作輔助線可知，，(0，-b)．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，即得出，即當(dāng)點P與點重合時，最大．利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式為y=x-b．即得出(b，0)，從而可得出，進而得出，．最后由結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可列出關(guān)于b的等式，解出b即得出答案．
（1）
①∵b＝6，
∴直線AB的解析式為y＝3x＋6．
∴A(-2，0)，B(0，6)，
∴OA=2，OB=6．
如圖，過點C作軸于點H．
∵，,
∴．
由旋轉(zhuǎn)可知AC=AB，
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴C(4，-2)；
②設(shè)直線AC的解析式為，
∴，解得：，
∴直線AC的解析式為．
同理可得：直線BC的解析式為，
∴D(3，0)．
∴可設(shè)E(a，)，
分類討論：ⅰ當(dāng)點E在x軸上方時，如圖，
∵四邊形BDFE為平行四邊形，
∴軸，
∴，即，
解得：，
∴E(-20，6)，
∴F(-17，0)；
ⅱ當(dāng)點E在x軸下方時，如圖，過點E作軸于點G．
由作圖可知．
∵四邊形BDFE為平行四邊形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴(AAS)，∴EG=BO=6，
∴，即，解得：，
∴E(16，-6)，∴F(13，0)；
綜上可知：點F的坐標(biāo)為(-17，0)或(13，0)；
（2）如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點．連接、，延長交x軸于點．
由題意可知B(0，b)，A(，0)，
由（1）得C(，)．
由所作輔助線可知，，(0，-b)．
∵，∴，
∴當(dāng)點P與點重合時，最大．
設(shè)直線的解析式為y=mx+n，∴，解得：
∴直線的解析式為y=x-b．
∴(b，0)．∴，
∴，．
∵點A到直線PC的距離為6，即，
∴，解得：，
∴直線PC的函數(shù)表達式為．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性強，為困難題型．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
15．在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（﹣3，0），連接AB，過點A作AC⊥AB交x軸于點C，點E是線段AO上的一動點．
（1）如圖1，當(dāng)AE＝3OE時，
①求直線BE的函數(shù)表達式；
②設(shè)直線BE與直線AC交于點D，連接OD，點P是直線AC上的一動點（不與A，C，D重合），當(dāng)S△BOD＝S△PDB時，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，設(shè)直線BE與直線AC的交點F，在平面內(nèi)是否存在點M使以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請簡述理由．
【答案】（1）①直線BE的解析式為；②點P坐標(biāo)為（，）或（，）；（2）存在，點M坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）①先求得點E坐標(biāo)為（0，1），利用待定系數(shù)法即可求解；
②過點P作PG⊥軸交直線BD于點G，利用勾股定理及三角形面積公式求得點C坐標(biāo)為（，0），利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式以及點D坐標(biāo)，設(shè)點P坐標(biāo)為（，），則點G坐標(biāo)為（，），利用三角形面積公式即可求解；
（2）分AM為對角線、EM為對角線、FM為對角線三種情況討論，求解即可．
【詳解】解：（1）∵點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴OA=4，
∵AE=3OE，
∴OE=1，
∴點E坐標(biāo)為（0，1），
①設(shè)直線BE的解析式為，
∴，
解得，
∴直線BE的解析式為；
②過點P作PG⊥軸交直線BD于點G，
∵點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=，
∵AC⊥AB，AO⊥BC，
由勾股定理得：，
∴，
解得：OC=，
∴點C坐標(biāo)為（，0），
設(shè)直線AC的解析式為，
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為，
解方程，得，
，
∴點D坐標(biāo)為（，），
設(shè)點P坐標(biāo)為（，），則點G坐標(biāo)為（，），
∴PG=，
∵S△BOD＝S△PDB，
∴，
即，整理得
解得：或；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∴點P坐標(biāo)為（，）或（，）；
（2）存在，
當(dāng)AM為對角線時，
∵四邊形AEMF是菱形，
∴AE=AF= ME=MF，則∠AEF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠EBO+∠BEO=90°，∠AEF=∠BEO，
∴∠ABF=∠EBO，
過點F作FH⊥軸于點H，
則AF= FH，
∴點H與點M重合，
∴BM=BA=5，則OM=2，
∴點M坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)EM為對角線時，
∵四邊形AEFM是菱形，
∴AE=EF= FM=AM，則∠EAF=∠AFE，
∵∠ABF+∠AFE=90°，∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠ABF=∠BAE，
∴BE=EA，
設(shè)BE=EA=x，
在Rt△BEO中，EO=4-x，BO=3，
∴，
解得：，
即BE=EA=EF=FM=，
延長MF交軸于點I，
則OE∥FI，即OE是△BFI的中位線，
∴FI=2EO=2(4-)=，OI=OB=3，
∴MI=
∴點M坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)FM為對角線時，∵四邊形AFEM是菱形，
∴MF是線段 AE的垂直平分線，AF=EF= EM=AM，MF∥BC，
∴∠AFM=∠EFM，∠AFM=∠ACB，∠MFE=∠FBC，
∴∠FBC=∠FCB，
過點F作FJ⊥軸于點J，
∴BJ=JC，
∵BC=，
∴OJ=，即點F的橫坐標(biāo)為，
∴，
∴點F的坐標(biāo)為（，），
根據(jù)對稱性，點M坐標(biāo)為（，）；
綜上，點M坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．

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