2．分解因式：___________．
3．已知（），則代數(shù)式_____．
4．分解因式：______．
5．如果，那么______.
6．已知a＝﹣，則代數(shù)式a3+5a2﹣4a﹣6的值為_____．
7．如果為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為______．
8．若，，那么式子的值為_________．
9．多項(xiàng)式的最小值為________．
10．已知-6ab=0（a＞b），則=_____________
11．因式分解：．
12．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到．請(qǐng)回答下列問題：
(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式______；
(2)猜測(cè)______．
(3)利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；
(4)在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由．
13．分解因式，觀察發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可以提公因式，變可以將式子因式分解，過程如下：，這樣的因式分解方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：
(1)因式分解：；
(2)已知的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．
14．如果一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，那么稱這個(gè)正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，如33，787，1221，20211202都是“對(duì)稱數(shù)”，最小的“對(duì)稱數(shù)”是11，但沒有最大的“對(duì)稱數(shù)”．下面給出一個(gè)正整數(shù)的記法：若一個(gè)四位正整數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c、d，則可以把這個(gè)四位正整數(shù)記為，同理，若三位正整數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z，則可以把這個(gè)三位正整數(shù)記為．
(1)若四位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，證明式子的值能被11整除；
(2)若三位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子的值能被13整除，求這個(gè)三位正整數(shù)．
15．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因?yàn)?，所以?2的最佳分解，所以．
(1)求；
(2)如果一個(gè)正整數(shù)只有1與m本身兩個(gè)正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足，求m的值；
(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．
第四章 因式分解B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練
1．若，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)完全平方公式將已知等式變形，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式變形計(jì)算，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
2．分解因式：___________．
【答案】
【分析】本題有a的四次項(xiàng)、a的三次項(xiàng)，a的二次項(xiàng)，有常數(shù)項(xiàng)，所以首要考慮的就是三一分組，前三項(xiàng)提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后還可以與第四項(xiàng)繼續(xù)利用平方差公式分解因式．
【詳解】解：
=
=
=
=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法分解因式，難點(diǎn)是采用兩兩分組還是三一分組，要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解，利用平方差公式分解后還要繼續(xù)利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要徹底．
3．已知（），則代數(shù)式_____．
【答案】6
【分析】先將變形為，再根據(jù)得出即，最后對(duì)進(jìn)行因式分解即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
4．分解因式：______．
【答案】
【分析】利用整體思想及十字相乘法與立方差公式求解．
【詳解】解：原式，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘與立方差公式．
5．如果，那么______.
【答案】18
【分析】運(yùn)用因式分解將x4+7x3+8x2-13x+15轉(zhuǎn)化為x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，將x2+2x做為整體代入上式，這樣就降低了x的次數(shù)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為5x（x2+2x）+x2-13x+15，再將x2+2x做為整體代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此時(shí)原式轉(zhuǎn)化為x2+2x+15，又出現(xiàn)x2+2x，再代入求解即可．
【詳解】解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案為18.
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．本題解決的關(guān)鍵是將x2+2x整體逐級(jí)代入x4+7x3+8x2-13x+15變化后的式子，降低了x的次數(shù)，使問題最終得以解決．
6．已知a＝﹣，則代數(shù)式a3+5a2﹣4a﹣6的值為_____．
【答案】-4
【分析】先將a進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)一步分組分解代數(shù)式，最后代入求得答案即可.
【詳解】解：當(dāng)a＝－＝－＝－3時(shí)，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案為－4．
【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用了二次根式的化簡(jiǎn)，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟練掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.
7．如果為完全平方數(shù)，則正整數(shù)n為______．
【答案】2或14或11
【分析】分情況討論，分別設(shè)為首項(xiàng)的平方，末項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)，則可得出n的值即可．
【詳解】設(shè)為首項(xiàng)的平方，則末項(xiàng)為，中間項(xiàng)為乘積兩倍為=2×，
∴首項(xiàng)為2，首項(xiàng)平方為，
∴n=2；
設(shè)為末項(xiàng)的平方，則首項(xiàng)為，乘積兩倍為=2××，
∴末項(xiàng)為，末項(xiàng)平方為，
∴n=14；
設(shè)為中間項(xiàng)，則=2××=，
∴n=11，
綜上所述，正整數(shù)n的值為2或14或11，
故答案為：2或14或11．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解題的關(guān)鍵．
8．若，，那么式子的值為_________．
【答案】
【分析】把兩個(gè)等式相減化簡(jiǎn)后可得，再把中的拆成，再分別與前后兩項(xiàng)重新組合，提公因式后把兩個(gè)已知等式代入，即可解決．
【詳解】∵，
∴
即
∵
∴




故答案為：?2020
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用到了一種變形：拆項(xiàng)，這也是本題的難點(diǎn)所在．
9．多項(xiàng)式的最小值為________．
【答案】18．
【分析】利用公式法進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)性確定最小值．
【詳解】解：==，
∵，∴的最小值為18；
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式進(jìn)行因式分解，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定最值．
10．已知-6ab=0（a＞b），則=_____________
【答案】或-
【詳解】∵a2+b2-6ab=0，∴（a+b）2=8ab，（b-a）2=4ab，∴ =2，∴ .
11．因式分解：．
【答案】
【分析】先設(shè)，根據(jù)整式的乘法化簡(jiǎn)后利用十字相乘法因式分解，再將y換回，再次因式分解即可．
【詳解】解：設(shè)，則
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握換元法和十字相乘法是解題的關(guān)鍵．
12．我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖①可以得到．請(qǐng)回答下列問題：
(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式______；
(2)猜測(cè)______．
(3)利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；
(4)在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，請(qǐng)判斷該三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)48
(4)該三角形為等邊三角形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)大長(zhǎng)方形面積等于其內(nèi)部三個(gè)小正方形面積加上6個(gè)小長(zhǎng)方形的面積進(jìn)行求解即可；
（2）仿照題意畫出圖形求解即可；
（3）先求出，，再把這2個(gè)等式代入（1）所求等式中求解即可；
（4）由（3）可得，進(jìn)而推出，理由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可推出，則該三角形是等邊三角形．
【詳解】（1）解：由題意得，，
故答案為：
（2）解：由下圖可得：
，
故答案為：；
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
（4）解：該三角形為等邊三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴該三角形是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積，因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等等，正確理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
13．分解因式，觀察發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可以提公因式，變可以將式子因式分解，過程如下：，這樣的因式分解方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：
(1)因式分解：；
(2)已知的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形或等邊三角形，理由見解析
【分析】（1）第一項(xiàng)和第三項(xiàng)可以用平方差公式分解因式，第四項(xiàng)和第二項(xiàng)可以提公因數(shù)分解因式，據(jù)此求解即可；
（2）先把所給條件式分解因式得到，即可得到或，由此即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：是等腰三角形或等邊三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴當(dāng)，時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)，時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)，時(shí)，是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．
14．如果一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，那么稱這個(gè)正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，如33，787，1221，20211202都是“對(duì)稱數(shù)”，最小的“對(duì)稱數(shù)”是11，但沒有最大的“對(duì)稱數(shù)”．下面給出一個(gè)正整數(shù)的記法：若一個(gè)四位正整數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c、d，則可以把這個(gè)四位正整數(shù)記為，同理，若三位正整數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z，則可以把這個(gè)三位正整數(shù)記為．
(1)若四位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，證明式子的值能被11整除；
(2)若三位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子的值能被13整除，求這個(gè)三位正整數(shù)．
【答案】(1)見解析；
(2)929、161．
【分析】（1）根據(jù)題意用字母表示出，再化簡(jiǎn)為含11因子的式子即可；
（2）根據(jù)條件求出x、y、z滿足的條件，再分類討論求出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：依題意，a=d，b=c，
∴=（b×110+d）-d
=b×110，
∴是11的倍數(shù)，得證．
（2）依題意，
x=z①，
x+y+z=4a②，
（100x+10y+z）+x+y+z=13b③，
其中a、b為正整數(shù)，1≤x≤9，0≤y≤9．
∴2x+y=4a④，
x+2y=13（8x+y-b）⑤，
由④可知y=0，2，4，6，8，
當(dāng)y=0時(shí)，由⑤可知x=0，13，...，不合題意；
當(dāng)y=2時(shí)，由⑤可知x=9，22，...，此時(shí)x=9，y=2符合題意；
當(dāng)y=4時(shí)，由⑤可知x=5，18，...，此時(shí)x=5，y=4符合題意；
當(dāng)y=6時(shí)，由⑤可知x=1，14，...，此時(shí)x=1，y=6符合題意；
當(dāng)y=8時(shí)，由⑤可知x=10，23...，不合題意．
綜上，這個(gè)三位數(shù)可以是929、545，或161．
經(jīng)驗(yàn)證545不符合x+y+z=4a的條件．
所以這個(gè)三位正整數(shù)為929、161．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件列出等式，再利用自然數(shù)各個(gè)數(shù)位的取值范圍，分情況逐一討論．
15．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因?yàn)?，所以?2的最佳分解，所以．
(1)求；
(2)如果一個(gè)正整數(shù)只有1與m本身兩個(gè)正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足，求m的值；
(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．
【答案】(1)；
(2)5；
(3)不存在，理由見解析．
【分析】（1）讀懂F(n)的定義，寫出24的最佳分解，即可直接作答；
（2）根據(jù)F ( m+4) =1可以知道m(xù)+4是一個(gè)平方數(shù)，再利用因式分解求出m的值；
（3）假設(shè)存在，如果推出矛盾，即可得證不存在；如果可以求出具體的n的值，即可得出結(jié)果．．
【詳解】（1）解：∵24=124=212=38=46，24-1>12-2>8-3>6-4，
∴；
（2）解：由質(zhì)數(shù)m滿足設(shè)，
∴m+4=a2，
∴m=，
∵m為質(zhì)數(shù)，
∴a-2=1，
∴a=3，
∴m=a2-4=5，
（3）解：不存在
假設(shè)存在這樣的n,設(shè)n=a×4a,F（n）=．
此時(shí)n=2a×2a,則F（n）=1，矛盾．
故不存在F（n）=．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，用讀懂新定義，并把問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組，再用因式分解法解方程或方程組是解題的關(guān)鍵．

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1 因式分解

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