1.了解二次函數(shù)的概念和一般形式.2.會利用二次函數(shù)的概念解決問題3.會列二次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題.
觀察下面圖片，你們有什么發(fā)現(xiàn)？
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y，并且對于 x 的每一個_______的值，y 都有________確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說 x是________，y 是 x 的________.
回顧下列概念對比回答思考問題
2.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0 (a≠0).
問題1 正方體的六個面是全等的正方形 (如圖)，設(shè)正方體的棱長為 x，表面積為 y，則棱長x與表面積 y之間的關(guān)系該怎么表示？ y = 6x2.
y = 6x2這個等式是一個函數(shù)嗎？為什么？
是，因?yàn)閷τ?x 的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應(yīng)
問題2n個球隊(duì)參加比賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，比賽的場次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n有什么關(guān)系？
這個關(guān)系式是一個函數(shù)嗎？為什么？
每隊(duì)要比(n - 1)場，兩個不同的隊(duì)伍之間只需要比一次，所以得÷2
問題3 某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是 20 t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量. 如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加 x 倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量 y 將隨計(jì)劃所定的 x 的值而確定，y 與 x 之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？
解：兩年后的產(chǎn)量 y = 20(1＋x)2， 即 y = 20x2＋40x＋20.
20x2＋40x＋20
①自變量的最高次數(shù)是2②都是整式
自變量可以有一次項(xiàng)也可以沒有一次項(xiàng)
自變量的取值范圍由題目要求來決定
1.都是函數(shù)；2.函數(shù)解析式是整式；3.自變量的最高次數(shù)是2；
一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a，b，c是常數(shù)，a≠ 0 ) 的函數(shù)叫做二次函數(shù). 其中， x 是自變量，a，b，c 分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
例1 下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？為什么？若是二次函數(shù)，請指出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x2 ③y=x2 ④ ⑤ ⑥y=x2+x3+25 ⑦ y=(x+3)2-x2
不一定是，缺少a≠0的條件.
不是，x的最高次數(shù)是3.
不是、化簡以后是一次函數(shù)
二次項(xiàng)系數(shù)：-2一次項(xiàng)系數(shù)：0常數(shù)項(xiàng)：3
二次項(xiàng)系數(shù)：1一次項(xiàng)系數(shù)：0常數(shù)項(xiàng)：0
二次項(xiàng)系數(shù)：-1一次項(xiàng)系數(shù)：-2常數(shù)項(xiàng)：0
不是，等式右邊是分式.
結(jié)論：在判斷二次函數(shù)時，必須滿足：1.自變量的最高次數(shù)是2； 2.二次項(xiàng)系數(shù)a≠0；
b=0時，二次函數(shù)為y=ax2+c (a≠ 0 )
b=0，c=0時，二次函數(shù)為y=ax2(a≠ 0 )
c=0時，二次函數(shù)為y=ax2+bx (a≠ 0 )
自變量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都不為0時，二次函數(shù)為y=ax2+bx +c(a≠ 0 )
例2 當(dāng)m 取何值時，函數(shù)y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是關(guān)于x 的二次函數(shù)？并求出二次函數(shù)的解析式.
滿足二次函數(shù)的條件是什么？1.x的最高次數(shù)是2；2.二次項(xiàng)系數(shù)不為0.
解：由題意，得①m2-2m-3=0 ,(m-3)(m+1)=0, m = 3或-1②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或m ≠ -1 ∴ m = 3. ∴當(dāng) m = 3 時，該函數(shù)是二次函數(shù)， 解析式為：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32， 即y = 12x2-2x+9.
例3 如圖，用長為 45 m 的籬笆，一面利用墻 ( 墻的最大可用長度是 20 m )，圍成中間有一道籬笆的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊長 AB 是 x ( 單位：m )，面積是 S ( 單位：m2 )．(1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
0＜45 - 3x≤20-45＜- 3x ≤ -25 ≤ x ＜ 15
BC 是(45 - 3x)cm
S =AB · BC
解：(2) 當(dāng) AB= 5 時，-3x2+45x =-3×25+45×5=150，答：圍成的面積是 150m2.
(2) 當(dāng)AB的長為5m時，圍成的面積是多少？
(3) 當(dāng)AB 的長為多少米時，圍成的面積為 162 m2？
1. 下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？
2.下列函數(shù)關(guān)系中，是二次函數(shù)的為（　?。? A．在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系.B．距離一定時，火車行駛的時間t與速度v之間的關(guān)系C．等邊三角形的周長C與邊長a之間的關(guān)系D．圓的面積S與半徑之間的關(guān)系
4.如圖，矩形綠地的長、寬各增加 x m，寫出擴(kuò)充后的綠地的面積 y 與 x 的關(guān)系式．
解：y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，即 y=x2+50x+600.
長 為(20 + x)cm，寬為(30 + x)cm
5. 某網(wǎng)店銷售某款童裝，每件售價(jià) 60 元，每星期可賣 300 件. 為了促銷，該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售. 市場調(diào)查反映，每降價(jià) 1 元，每星期可多賣 30 件. 已知該款童裝每件的成本價(jià)為 40 元，設(shè)該款童裝每件的售價(jià)為 x 元，每星期的銷售量為 y 件.(1) 求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2) 設(shè)每星期的銷售利潤為 W 元，求 W 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式.
解：y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ).
解：W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3300x-84000.
一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a，b，c是常數(shù)，a≠ 0 ) 的函數(shù)叫做二次函數(shù). 其中， x 是自變量，a，b，c 分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(自變量的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)a≠0)
y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a ≠0，）
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)；y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常數(shù)).

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22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版（2024）

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