專題5.7 二元一次方程組章末八大題型總結(jié)（拔尖篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc11225" 【題型1 二元一次方程的整數(shù)解】  PAGEREF _Toc11225 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc19070" 【題型2 由方程組的錯(cuò)解問題求參數(shù)的值】  PAGEREF _Toc19070 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc4564" 【題型3 解含參數(shù)的二元一次方程組】  PAGEREF _Toc4564 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc19118" 【題型4 根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】  PAGEREF _Toc19118 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc18810" 【題型5 整體思想解二元一次方程組】  PAGEREF _Toc18810 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc3898" 【題型6 二元一次方程組的新定義問題】  PAGEREF _Toc3898 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc32002" 【題型7 二元一次方程組的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc32002 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc9793" 【題型8 二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】  PAGEREF _Toc9793 \h 6  【題型1 二元一次方程的整數(shù)解】 【例1】方程x+y=7的正整數(shù)解的對(duì)數(shù)是（???） A．5 B．7 C．6 D．無數(shù)對(duì) 【變式1-1】二元一次方程2x+y=?6的負(fù)整數(shù)解是 ． 【變式1-2】在方程3x+5y＝143的正整數(shù)解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ． 【變式1-3】如果將二元一次方程：y=?2x+7的一組正整數(shù)解x=1y=5寫成1,5的形式，并稱1,5為方程y=?2x+7的一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，請(qǐng)寫出方程y=?2x+7剩下的正整數(shù)點(diǎn) ． 【題型2 由方程組的錯(cuò)解問題求參數(shù)的值】 【例2】（23·24八年級(jí)上·陜西西安·期中）甲、乙兩人都解方程組ax+y=22x?by=1，甲看錯(cuò)a解得x=1y=2，乙看錯(cuò)b解得x=1y=1，則方程組正確的解是 ． 【變式2-1】已知▲x+?y=1□x?7y=1是一個(gè)被墨水污染的方程組．圓圓說：“這個(gè)方程組的解是x=3y=?1，而我由于看錯(cuò)了第二個(gè)方程中的x的系數(shù)，求出的解是x=?2y=1．”請(qǐng)你根據(jù)以上信息，把方程組復(fù)原出來． 【變式2-2】小朋同學(xué)在解方程組y?ax=by=?2x的過程中，錯(cuò)把b看成了6，他其余的解題過程沒有出錯(cuò)，解得此方程組的解為x=?1y=2．又已知方程y?ax=b的一個(gè)解是x=?2y=1，則b的值應(yīng)該是 ． 【變式2-3】一個(gè)星期天，小明和小文兩人同解關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄錯(cuò)了方程①，得到方程組的解為x=3y=2；小文抄錯(cuò)了方程②，得到方程組的解為x=?1y=2，試求a2+b2?2ab的值． 【題型3 解含參數(shù)的二元一次方程組】 【例3】已知方程組3x?y=5?2kx+3y=k+5，那么x+y= ． 【變式3-1】整數(shù)a為 時(shí)，方程組2x+ay=4x+4y=8有正整數(shù)解． 【變式3-2】已知x，y是整數(shù)，且滿足x?y+3=0，ax?y?1=0，則整數(shù)a的所有可能值有（????）個(gè) A．4 B．5 C．6 D．8 【變式3-3】已知關(guān)于x，y的方程組x+my=7mx?y=2+m，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為 ． 【題型4 根據(jù)二元一次方程方程有公共解求解】 【例4】若2a?b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a?1x+by+5?2a=0，當(dāng)a取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，那么這個(gè)公共解為（????） A．x=3y=?1 B．x=1y=?12 C．x=5y=?32 D．x=2y=32 【變式4-1】關(guān)于x，y的二元一次方程y=kx?2k+3（k為常數(shù)），當(dāng)k取一個(gè)確定的值時(shí)就得到一個(gè)方程，所有這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解是（????） A．x=3y=1 B．x=2y=3 C．x=1y=3 D．x=3y=?1 【變式4-2】已知關(guān)于x、y的二元一次方程m?2x+m?3y+2m?3=0，當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解是（????） A．x=3y=?1 B．x=1y=?3 C．x=?1y=3 D．x=?3y=1 【變式4-3】定義一種新的運(yùn)算：a☆b=2a?b，例如：3☆?1=2×3??1=7．若a☆b=0，且關(guān)于x，y的二元一次方程a+1x?by?a+3=0，當(dāng)a，b取不同值時(shí)，方程都有一個(gè)公共解，那么這個(gè)公共解為 ． 【題型5 整體思想解二元一次方程組】 【例5】若關(guān)于m，n的二元一次方程組3m?an=162m?bn=15的解是m=7n=3,那么關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+y?ax?y=162x+y?bx?y=15的解 ． 【變式5-1】綜合與實(shí)踐 問題情境：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問題： 解方程組：4x+3y3+6x?y8=84x+3y6+6x?y2=11． 觀察發(fā)現(xiàn)： （1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的(4x+3y)看成一個(gè)整體，把(6x?y)看成一個(gè)整體，通過換元，可以解決問題． 設(shè)4x+3y=m，6x?y=n，則原方程組可化為 ，解關(guān)于m，n的方程組，得m=18n=16， 所以4x+3y=186x?y=16，解方程組，得 ． 探索猜想： （2）運(yùn)用上述方法解下列方程組：32x+y?2x?2y=2622x+y+3x?2y=13． 【變式5-2】閱讀理解，并根據(jù)所得規(guī)律答題解二元一次方程組的基本方法有“代入法”、“加減法”兩種消元策略，有一種方程組，不是二元一次方程組，但結(jié)構(gòu)類似，如2x+3y=5①5x?2y=3②，我們分析x≠0，y≠0，可以采用“換元法”來解：設(shè)1x=m，1y=n，原方程組轉(zhuǎn)化為2m+3n=55m?2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒數(shù)定義得，原方程組的解為x=1y=1． (1)直接寫出滿足方程3x+2y=4的一個(gè)解______； (2)解方程組3x+2y=4①5x?6y=2②． 【變式5-3】問題：已知關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8的解滿足方程x+2y=5，求m的值．同學(xué)們正在討論著不同的解題思路： 甲同學(xué)說：可以先解關(guān)于x，y的方程組3x+7y=5m?32x+3y=8，再求m的值． 乙同學(xué)說：可以先將方程組3x+7y=5m?32x+3y=8中的兩個(gè)方程相加，再求m的值； 丙同學(xué)說：可以先解方程組x+2y=52x+3y=8，再求m的值． … 請(qǐng)用2種不同的方法解決上面的問題． 【題型6 二元一次方程組的新定義問題】 【例6】定義：數(shù)對(duì)x，y經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)x′，y′，將該運(yùn)算記作：dx，y=x，y′，其中x′=ax+byy′=ax?by（a，b為常數(shù)）.例如，當(dāng)a=1，b=1時(shí)，d?2，3=1，?5. （1）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，d3，1= ； （2）如果組成數(shù)對(duì)x，y的兩個(gè)數(shù)x，y滿足二元一次方程x?3y=0時(shí)，總有dx，y=?x，?y，則a= ，b= . 【變式6-1】定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個(gè)方程為“關(guān)聯(lián)方程”．如方程2x=4和3x+6=0為“關(guān)聯(lián)方程”． (1)若關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x?4=x+1是“關(guān)聯(lián)方程”，求a的值； (2)若兩個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”的兩個(gè)解的差為8，若兩個(gè)“關(guān)聯(lián)方程”的兩個(gè)解分別為m、n，求m、n的值； (3)若關(guān)于x的方程2x+3b?2=0和3x?5b+4=0是“關(guān)聯(lián)方程”，求b的值． 【變式6-2】定義：若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為m、n，我們可將這個(gè)兩位數(shù)記為mn，即mn=10m+n． (1)若2x?x3=?1，求x的值； (2)若x2+y3=45x?y=2，求xy的值． 【變式6-3】對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y=ax+by，x?y=ax?by，其中a，b是常數(shù)．已知1?1=1，3?2=8． (1)求a，b的值； (2)若關(guān)于x，y的方程組x?y=4?mx?y=5m 的解也滿足方程x+y=5，求m的值； (3)若關(guān)于x，y的方程組2a1x?b1y=c12a2x+b2y=c2的解為x=4y=5，求關(guān)于x，y的方程組2a1x+yx?b1x?y=c12a2x+yx+b2x?y=c2的解． 【題型7 二元一次方程組的規(guī)律探究】 【例7】下面反映了，按一定規(guī)律排列的方程組和它們解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 按此規(guī)律，第n個(gè)方程組為___________，它的解為___________（n為正整數(shù)）. 【變式7-1】對(duì)下列問題，有三位同學(xué)提出了各自的想法： 若方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程組3a1(x?1)+b1(y+3)=4c13a2(x?1)+b2(y+3)=4c2的解． 甲說：“這個(gè)題目的好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以4，通過換元替代的方法來解決”．參考他們的討論，請(qǐng)你探索：若能求解，請(qǐng)求出它的解；若不能，請(qǐng)說明理由．答： ． 【變式7-2】閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題： 解方程組17x+19y=21①23x+25y=27②時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)如果用常規(guī)的代入消元法、加減消元法來解，計(jì)算量大，且易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，他采用下面的解法則比較簡(jiǎn)單： ②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③ ③×17得：17x+17y=17．④ ①-④得：y=2，代入③得x=?1． 所以這個(gè)方程組的解是x=?1y=2． (1)請(qǐng)你運(yùn)用小明的方法解方程組1997x+1999y=20012017x+2019y=2021． (2)規(guī)律探究：猜想關(guān)于x、y的方程組ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______． 【變式7-3】下面是按一定規(guī)律呈現(xiàn)的一組二元一次方程組和它的解（如下表）． 根據(jù)上面表格中方程組及其解所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下面的問題： （1）方程組①的解為　 ??； （2）請(qǐng)依據(jù)方程組和它的解變化的規(guī)律，直接寫出第n個(gè)方程組和它的解．第n個(gè)方程組為　 　，這個(gè)方程組的解為　 ?。?（3）若方程組x+y=1x?ay=25的解是x=5y=?4，求a的值，并判斷該方程組是否符合（2）中的規(guī)律． 【題型8 二元一次方程（組）的閱讀理解類問題】 【例8】閱讀下列材料解決問題： 兩個(gè)多位數(shù)整數(shù)，若它們各數(shù)位上的數(shù)字之和相等，則稱這兩個(gè)多位數(shù)互為“調(diào)和數(shù)”，如37和82，它們各數(shù)位上的數(shù)字之和分別為3+7和8+2，顯然3+7=8+2=10故37和82互為“調(diào)和數(shù)”． (1)下列說法錯(cuò)誤的是________ A．123和51互為“調(diào)和數(shù)” B．345和513互為“調(diào)和數(shù)” C．2018和8120互為“調(diào)和數(shù)” D．兩位數(shù)xy和yx互為“調(diào)和數(shù)” (2)若A、B是兩個(gè)不等的兩位數(shù)，A=xy， B=mn，A和B互為“調(diào)和數(shù)”，且A與B之和是B與A之差的3倍，求證：y=?x+9． 【變式8-1】閱讀下列材料，解決問題． (1)[嘗試]若設(shè)母雞有x只，公雞有y只， ① 小雞有_______只，買小雞一共花費(fèi)_____文錢（用含x，y的式子表示）； ② 根據(jù)題意，列出一個(gè)含有x，y的方程__________； (2)[探索]小軍對(duì)“百雞問題”增加一個(gè)條件：“母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，”求此時(shí)公雞?母雞?小雞的只數(shù)； (3)[拓展]小明對(duì)“百雞問題”增加兩個(gè)條件：“若買得公雞和母雞之和不超過20只，且買得公雞數(shù)不低于母雞數(shù)，”求此時(shí)公雞?母雞?小雞的只數(shù)． 【變式8-2】閱讀材料： 我們知道方程組的解與方程組中每個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)經(jīng)過一系列變形、運(yùn)算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高等代數(shù)學(xué)科將系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排成一個(gè)矩陣的形式，規(guī)定：關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以寫成矩陣a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x?6y=33可以寫成矩陣34165?633的形式． 根據(jù)以上信息解決下列問題： (1)請(qǐng)求出矩陣4153?23對(duì)應(yīng)的方程組的解； (2)若矩陣a?2371b452?1c8所對(duì)應(yīng)的方程組的解為x=1y=1z=1，求a+b+c的值． 【變式8-3】閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程2x+3y=12有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解，例：由2x+3y=12，得：y=12?2x3=4?23x（x、y為正整數(shù)），要使y=4?23x為正整數(shù)，則23x為正整數(shù)，可知：x為3的倍數(shù)，從而x=3，代入y=4?23x=2所以2x+3y=12的正整數(shù)解為x=3y=2． 問題： (1)求方程3x+2y=8的正整數(shù)解． (2)已知一根木條長7m，現(xiàn)將木條截成2m長和1m長這兩種規(guī)格，為了不造成浪費(fèi)，結(jié)合上述材料，試說明有幾種不同的截法（兩種規(guī)格均有），并一一列出． 序號(hào) 1 2 3 …… n 方程組 {2x+y=3x?2y=4{2x+y=5x?4y=16{2x+y=7x?6y=36方程組解 {x=2y=?1{x=4y=?3{x=6y=?5序號(hào)二元一次方程組二元一次方程組的解①x+y=1x?y=1x=y=②x+y=1x?2y=4x=2y=?1③x+y=1x?3y=9x=3y=?2………………《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個(gè)在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？

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章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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