二十四章 圓（單元測試） 一、單選題（每題3分，共30分） 1．如圖所示，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為（ ????） A． B． C． D． 【詳解】解：∵， ∴OA=， ∵，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點C， ∴， ∴， ∵點C為x軸負(fù)半軸上的點， ∴C， 故選：C． 2．如圖，點在上，，則（????） A． B． C． D． 【詳解】解： 點在上，， 故選： 3．往水平放置的半徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度，則水的最大深度為（????） A． B． C． D． 【詳解】解：連接OA，過點O作OD⊥AB交AB于點C交⊙O于D， ∵OC⊥AB，由垂徑定理可知， ∴AC=CB=AB=12， 在Rt△AOC中，由勾股定理可知： ∴， ∴， 故選：B． 4．如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（????） A．60° B．65° C．70° D．75° 【詳解】解：連接CD， ∵AD是的直徑， ∴． ∵， ∴． 故選：C． 5．如圖，為⊙O的直徑，弦于點E，直線l切⊙O于點C，延長交l于點F，若，，則的長度為（　　） A．2 B． C． D．4 【詳解】解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，，， ∴ AE=DE=2， ∴∠COD=2∠ABC=45°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴OE=ED=2， ∴， ∵直線l切⊙O于點C， ∴BC⊥CF， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴CF=OC， ∵， ∴， 故選：B． 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則△ABC的外心坐標(biāo)為（??????） A． B． C． D． 【詳解】解：∵B點坐標(biāo)為（2，-1），C點坐標(biāo)為（2， 3）， ∴直線BC∥y軸， ∴直線BC的垂直平分線為直線y=1， ∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點， ∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為1， 設(shè)△ABC的外心為P（a，1）， ∴， ∴， 解得， ∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2， 1）， 故選D． 7．如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，且，的周長為14，則的長為（?? ?）??? A．3 B．4 C．5 D．6 【詳解】解：與，，分別相切于點，， ，，， 的周長為14， 故選：． 8．大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（??? ） A．2mm B． C． D．4mm 【詳解】連接CF與AD交于點O， ∵為正六邊形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD為等邊三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六邊形的邊長為4mm， 故選：D． 9．如圖，公園內(nèi)有一個半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣?。┖捅忝衤罚ň€段）.已知、是圓上的點，為圓心，，小強從走到，走便民路比走觀賞路少走（?? ??）米. A． B． C． D． 【詳解】解：作OC⊥AB于C，如圖， 則AC=BC， ∵OA=OB， ∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°， 在Rt△AOC中，OC=OA=9， AC=， ∴AB=2AC=， 又∵=， ∴走便民路比走觀賞路少走米， 故選D． 10．如圖，從一張腰長為，頂角為的等腰三角形鐵皮中剪出一個最大的扇形，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面半徑為（　?。? A． B． C． D． 【詳解】過作于， ， ， ， 弧的長， 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得． 故選A． 二、填空題（每題4分，共20分） 11．如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則 °． 【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，連接． 為的直徑， ， ， 為的切線， ， ， ， ． 故答案為：35． 12．如圖，是的切線，是切點．若，則 ． 【詳解】解：∵是的切線， ∴， ∴由四邊形內(nèi)角和可得：， ∵， ∴； 故答案為130°． 13．我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為 ． 【詳解】解：根據(jù)題意可得： 點到圓的距離為：該點與圓上各點的連線中，最短的線段長度， 連接OA，與圓O交于點B， 可知：點A和圓O上點B之間的連線最短， ∵A（2，1）， ∴OA==， ∵圓O的半徑為1， ∴AB=OA-OB=， ∴點到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為， 故答案為：. 14．如圖，是的內(nèi)接正三角形，點是圓心，點，分別在邊，上，若，則的度數(shù)是 度． 【詳解】連接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下圖所示： 因為等邊三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB， 由垂徑定理得：AH=AM， 又因為OA=OA，故△OAH△OAM（HL）． ∴∠OAH=∠OAM． 又∵OA=OB,AD=EB, ∴∠OAB=∠OBA=∠OAD, ∴△ODA△OEB（SAS）, ∴∠DOA=∠EOB, ∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB． 又∵∠C=60°以及同弧， ∴∠AOB=∠DOE=120°． 故本題答案為：120． 15．如圖，菱形中，分別以點，為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點，．若，，則圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果不取近似值） 【詳解】解：連接BD交AC于點G， ∵四邊形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案為：． 三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分）． 16．蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知，半徑，求高度． 【詳解】解：根據(jù)題意得，在中，，半徑， ∴，，， ∴， 故答案是：． 17．如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦交小圓于兩點．求證：． 【詳解】證明：如圖所示，過點O作OP⊥AB，垂足為點P， 由垂徑定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 18．如圖所示，是⊙的一條弦，，垂足為，交⊙于點，點在⊙上． （）若，求的度數(shù)． （）若，，求的長． 【詳解】解：（1）， ， ． （2）∵，，且， ∴， ∵， ， ． 19．如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接． (1)直線與⊙相切嗎？并說明理由； (2)若，，求的長． 【詳解】（1）證明：連接． ∵為切線， ∴， 又∵， ∴，， 且， ∴， 在與中； ∵， ∴， ∴， ∴直線與相切． （2）設(shè)半徑為； 則：，得； 在直角三角形中，， ，解得 20．如圖，以線段為直徑作，交射線于點，平分交于點，過點作直線于點，交的延長線于點．連接并延長交于點． (1)求證：直線是的切線； (2)求證：； (3)若，，求的長． 【詳解】（1）證明：連接OD，則OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD， ∴直線DE是⊙O的切線． （2）證明：線段是的直徑， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． （3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等邊三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 21．已知：是的外接圓，且，，D為上一動點． (1)如圖1，若點D是的中點，等于多少？ (2)過點B作直線的垂線，垂足為點E． ①如圖2，若點D在上，求證：． ②若點D在上，當(dāng)它從點A向點C運動且滿足時，求的最大值． 【詳解】（1）如圖1中，連接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中點， ∴， ∵， ∴． （2）①過B作于點H，則． 又∵于點E， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四邊形是的內(nèi)接四邊形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②連接并延長與交于點I，則點D在上． 如圖：過B作于點H， 則， 又∵于點E， ∴， ∴， 又∵四邊形是的內(nèi)接四邊形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是直徑，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴當(dāng)點D運動到點I時取得最大值，此時． 22．如圖，中，，AC和BC分別與相切于E，F(xiàn)兩點，AB經(jīng)過上的點M，且． (1)求證：AB是的切線； (2)若，求的半徑． 【詳解】（1）證明：連接OA，OE，OM． AC切⊙O于點E，OE是⊙O的半徑 ∴OE⊥AC ∴∠AEO=90°?????????? 在△AMO和△AEO中 ∴△AMO≌△AEO(SSS)?? ∴∠AMO=∠AEO=90°??? ∴OM⊥AB ∵OM是⊙O的半徑 ∴AB是⊙O的切線． （2）解：連接OF．設(shè)⊙O的半徑為r． ??∵BC與⊙O相切于點F， ∴OF⊥BC， ∴∠OFC=90°， 又因為∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE， ∴四邊形OFCE是正方形， ∴CF=CE=OE=r， ∵AB、BC、AC都與⊙O相切， ∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r， 在Rt△ABC中，， ∵BM+AM=AB， ∴6－r+8－r=10 ， ∴??r=2????? ∴⊙O的半徑為2． 【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，圓的切線的證明，勾股定理，掌握定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 23．【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點，．設(shè)等邊的面積為，通過證明可得，則． (1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊，分別交于點，．若正方形的面積為，請用含的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）． (2)【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊，分別交于點，．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積 (3)【猜想結(jié)論】如圖4，為正邊形……的中心角，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正邊形的邊，分別交于點，．若四邊形面積為，請用含、的式子表示正邊形……的面積． 【詳解】（1）解：如圖2， ∵為正方形的中心角， ∴，， ∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點 ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）如圖3， ∵為正六邊形的中心角， ∴，， ∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點 ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四邊形面積為， ∴正六邊形的面積為． （3）如圖4， ∵為正多邊形的中心角， ∴，， ∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正多邊形的邊分別交于點 ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四邊形面積為， ∴正多邊形的面積為． 【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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