二十一章 一元二次方程（單元測試） 一、單選題（每題3分，共30分） 1．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（???） A．的根為 B． 是的根 C．方程的根為 D．沒有實(shí)數(shù)根 【詳解】解：A、的根為；選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意； B、 是的根；選項(xiàng)正確，符合題意； C、方程 無實(shí)數(shù)根；選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意； D、當(dāng) 時(shí)， 有實(shí)數(shù)根；選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意； 故選：B． 2．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是關(guān)于x的一元二次方程的有（???） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【詳解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程； ②，當(dāng)a=0時(shí)不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程， 所以，一定是關(guān)于x的一元二次方程的是①③，共2個(gè)， 故選：B 3．把方程化成一般式，則正確的是（　　?。?A．， B．， C．， D．， 【詳解】將去括號得；移項(xiàng)得 ∴， 故選C． 4．（2022秋·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（??） A．36 B． C．9 D． 【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ∴ 解得 故選：C． 5．（2022秋·河南洛陽·九年級?？计谥校┫铝幸辉畏匠虩o實(shí)數(shù)根的是（???） A． B． C． D． 【詳解】解：A．，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不符合題意； B．，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不符合題意； C．，方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意； D．，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意； 故選： C． 6．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（???） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 【詳解】解：∵， ∴， ,則兩根為：3或-1， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 故選：A． 7．若實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程的兩個(gè)根，且，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（???） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【詳解】∵實(shí)數(shù)k、b是一元二次方程的兩個(gè)根，且， ∴, ∴一次函數(shù)表達(dá)式為， 有圖像可知，一次函數(shù)不經(jīng)過第三象限． 故選：C． 8．（2022秋·山東青島·九年級?？计谥校┪覈糯鳌端脑耔b》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（???） A． B． C． D． 【詳解】解：∵這批椽的數(shù)量為x株，每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢， ∴一株椽的價(jià)錢為3（x?1）文，依題意得：3（x?1）x＝6210， 故選：A． 9．（2022秋·山西朔州·九年級校聯(lián)考期末）一份攝影作品【七寸照片（長7英寸，寬5英寸）】，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設(shè)照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（???） A． B． C． D． 【詳解】解：設(shè)照片四周外露襯紙的寬度為x英寸，則矩形襯紙的長為英寸，寬為英寸， 由題意得， 故選D． 10．（2022秋·寧夏銀川·九年級校考階段練習(xí)）在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為（ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【詳解】設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為x人，依題可得： x（x-1）=55， 化簡得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案為C. 二、填空題（每題4分，共20分） 11．（2022春·四川成都·九年級專題練習(xí)）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長是_________． 【詳解】解：一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 由公式法解一元二次方程可得， 根據(jù)勾股定理可得直角三角形斜邊的長是， 故答案為：． 12．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式a（2a﹣7）＋5＝______． 【詳解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個(gè)根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． 故答案為：6． 13．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結(jié)論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③若b=2a+3c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④若m是方程的一個(gè)根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結(jié)論正確的序號是__________． 【詳解】解：若方程兩根為-1和2，則=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正確； 由b＞a+c不能判斷Δ=b2-4ac值的大小情況，故②錯(cuò)誤； 若b=2a+3c，則Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確． 若m是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c）， 而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2 =4a[-（bm+c）]+4abm+b2 =4abm-4abm-4ac+b2 =b2-4ac．故④正確； 故答案為：①③④． 14．（2022秋·重慶綦江·九年級?？茧A段練習(xí)）一元二次方程的兩根為，則________________ 【詳解】∵， ∴，，， ∴，， ∴， =， =． 故答案為． 15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一塊長為22m，寬為14m的矩形空地內(nèi)修建三條寬度相等的小路（陰影部分），其余部分種植花草．若花草的種植面積為240m2，則小路的寬為________m． 【詳解】解：設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等同于長（22-x）m，寬（14-x）m的矩形的面積， 依題意得：（22-x）（14-x）=240， 整理得：x2-36x+68=0， 解得：x1=2，x2=34（不合題意，舍去）． 故答案為：2． 三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分） 16．關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值． 【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0， ∴ 解得： 17．已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0． (1)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解； (2)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)． 【詳解】（1）解：若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程， 則m﹣1＝0且m﹣2≠0， 解得m＝1． ∴原方程變形為﹣x﹣2+1＝0 解得x＝﹣1． （2）解：當(dāng)m≠1時(shí)，關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程， 此時(shí)該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為m﹣1， 一次項(xiàng)系數(shù)為m﹣2， 常數(shù)項(xiàng)為﹣2m+1． 18．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過程如下框： 你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程． 【詳解】解： 正確解答： 移項(xiàng)，得， 提取公因式，得， 去括號，得， 則或， 解得，． 19．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長． （1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根． 【詳解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 20．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，． (1)求m的取值范圍； (2)當(dāng)時(shí)，求m的值． 【詳解】（1）∵原一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴，且m≠0， 整理，得：， 解得：，且m≠0， 即m的取值范圍為，且m≠0； （2）∵，， ∴， ∵， 即，即， 設(shè)，則有：， 利用因式分解法，解得：，， 根據(jù)，得， 可得m為4或者-1， 又∵，且m≠0， ∴m的值為4． 21．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺燈以40元售出，一月份售出32臺，二、三月份這種臺燈銷售量連續(xù)增長，其中三月份售出50臺． (1)求二月份、三月份兩個(gè)月這種臺燈銷售量的月均增長率； (2)從四月份起商場決定采取降價(jià)促銷措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎(chǔ)上，如果這種臺燈的售價(jià)每降價(jià)2元，那么月銷售量增加4臺．當(dāng)每臺降價(jià)多少元時(shí)，四月份銷售這種臺燈可獲利348元？ 【詳解】（1）設(shè)二月份、三月份兩個(gè)月這種臺燈銷售量的月均增長率為x， 依題意，得：， 解得：，（不合題意，舍去）． 答：二月份、三月份兩個(gè)月這種臺燈銷售量的月均增長率為25%． （2）設(shè)每臺降價(jià)y元，則四月份可售出臺， 依題意，得：， 解得：，（不合題意，舍去）． 答：當(dāng)每臺降價(jià)4元時(shí)，四月份銷售這種臺燈可獲利348元． 22．距臺風(fēng)中心的區(qū)域（包括邊界）為受臺風(fēng)影響區(qū)．如圖，如果輪船不改變航向，會(huì)進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)嗎？ 【詳解】解：輪船會(huì)受到臺風(fēng)影響．如圖， ∵， ∴． 設(shè)當(dāng)輪船接到報(bào)警后經(jīng)過t小時(shí)后，輪船到達(dá)點(diǎn)D，臺風(fēng)到達(dá)點(diǎn)E， 由勾股定理得： ， 整理得， ， 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解， ∴如果輪船不改變航向，會(huì)進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)． 23．某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸． (1)求4月份再生紙的產(chǎn)量； (2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤達(dá)到66萬元．求的值； (3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？ 【詳解】（1）解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸， 由題意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸； （2）解：由題意得：， 解得：或（不合題意，舍去） ∴， ∴的值20； （3）解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸， ∴ 答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元． 小敏： 兩邊同除以，得 ， 則．小霞： 移項(xiàng)，得， 提取公因式，得． 則或， 解得，．小敏： 兩邊同除以，得 ， 則． （×）小霞： 移項(xiàng)，得， 提取公因式，得． 則或， 解得，． （×）

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