二十一章 一元二次方程（知識(shí)清單） 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想?！　?2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。 3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題，能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識(shí)和能力?！　?重點(diǎn)： 1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3.利用一元二次方程解決實(shí)際問題。　 難點(diǎn)： 1.理解用根的判別式判別根的情況。 2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。 3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 二、學(xué)習(xí)過程 章節(jié)介紹 解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通常考查利用一元二次方程解決實(shí)際問題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實(shí)際問題難點(diǎn)在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！ 知識(shí)梳理 1.一元二次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式為___________________________________。 3.一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)： 4.一般地，對(duì)于方程x2＝p ①， 1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)____________的實(shí)數(shù)根______________________； 2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根_____________； 3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程① _______實(shí)數(shù)根。 5.將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來解。 用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵： 6.通過配方法解一元二次方程的步驟: 1）移項(xiàng)：將含有x的項(xiàng)移到方程的_____________，常數(shù)項(xiàng)移到方程的______________； 2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：兩邊同除以______________________； 3）配方：方程兩邊都加上_____________________________； 4）將原方程變成_______________________的形式； 5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若p_________0，可以利用直接開方法求解； 若p________0，原方程無實(shí)數(shù)根。 【注意】配方的關(guān)鍵：利用已知兩項(xiàng)a2±2ab來確定第三項(xiàng)，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，則第三項(xiàng)一定是_________ . 7.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p ① 的形式，那么就有： 1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________； 2)當(dāng)p＝0時(shí)，方程①有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________； 3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實(shí)數(shù)根。 8.判別式概念：一般地，式子________________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。 判別式表示：通常用希臘字母“__________”表示，即__________________ 9.當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為_____________的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。解一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接________________，可以省略配方過程而直接求一元二次方程根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。 10. 公式法解一元二次方程的步驟: 1）將原方程化為_______________，確定______________的值 【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為________________，方便計(jì)算。 2）求出_______________的值，根據(jù)_______________值的情況確定一元二次方程是否有解。 3）如果______________________, 將a、b、c的值代入求根公式。 【易錯(cuò)點(diǎn)】a、b、c的值代入求根公式時(shí)易遺漏________________。 4）最后求出原方程的解。 11.先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為____________________的形式，從而實(shí)現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 12.通過因式分解法解一元二次方程的步驟: 1.移項(xiàng)：使一元二次方程等式右邊為_______； 2.分解：把左邊運(yùn)用因式分解法化為_________________的形式； 3.賦值：令每個(gè)因式等于0，得到_________________； 4.求解：_________________________，最后得到方程的解。 歸納：__________________________________________。 13.解一元二次方程的方法 解一元二次方程的基本思路是： 14.當(dāng)Δ?≥0時(shí)，兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________， 兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的___________， 即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根與系數(shù)的關(guān)系為: 人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”。 【易錯(cuò)點(diǎn)】使用韋達(dá)定理的前提條件： 15. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x2 1）平方和 x12+x22= 2）倒數(shù)和 1x1 + 1x2? = 3）差的絕對(duì)值 | x1 - x2 |= 4)x1x2+x2x1 = 5）(x1+1)(x2+1)= 16.利用一元二次方程解決實(shí)際問題： 1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________． 2) 增長率問題： ①如果增長率問題中的基數(shù)為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為____________，第二次增長后的數(shù)量為____________． ②如果下降率問題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為 __________，第二次下降后的數(shù)量為___________． 3）幾何問題： ①常見幾何____________是等量關(guān)系。 ②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。 4) 數(shù)字問題： ①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為____________.百位數(shù)字表示_____________. ②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________. 5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________ 6) 表格問題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。 7）動(dòng)點(diǎn)問題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問題的基本思路。 考點(diǎn)解讀 考查題型一 一元二次方程的定義 1．（2022秋·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值． 2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若方程是關(guān)于的一元二次方程，求的值． 3．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 考查題型二 一元二次方程的解 1．（2022秋·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值． 2．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值． 3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知a是方程x2+4x﹣21＝0的根，求代數(shù)式÷（a+3﹣）的值． 考查題型三 選用合適的方法求解一元二次方程 1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程 (1) (2) (3) 2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)校考期中）解方程： (1)； (2)． 3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┯眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1) (2) 考查題型四 根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù) 1．（2022秋·河南洛陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程． (1)是方程的根嗎？請(qǐng)說明理由． (2)當(dāng)取何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？ 2．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程． (1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； (2)若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值． 3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┮阎匠蹋?(1)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？ (2)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？ (3)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？ 4．（2022秋·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程． (1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； (2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范圍． 考查題型五 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 1．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，求的值． 2．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)校考期中）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，求的值及方程的另一個(gè)根． 3．（2022秋·新疆昌吉·九年級(jí)?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，當(dāng)時(shí)，求的值． 4．（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程． (1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)已知該方程的兩個(gè)根為，，且滿足，求的值． 5．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和． (1)求k的取值范圍； (2)若方程的兩實(shí)數(shù)根，滿足，求實(shí)數(shù)k的值． 考查題型六 利用一元二次方程解決實(shí)際問題 1．（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種病毒傳播非?？?，如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有64個(gè)人被感染． (1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人； (2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過500人． 2．（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%． （1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額； （2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率． 3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃． (1)如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么的長為多少米？ (2)能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請(qǐng)求出的長；若不能，請(qǐng)說明理由． 4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第六十八中學(xué)校考期末）已知三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方和為194，求這三個(gè)正整數(shù)． 5．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進(jìn)貨價(jià)為每件50元，銷售價(jià)為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)求銷售價(jià)在每件90元的基礎(chǔ)上，每件降價(jià)多少元時(shí)，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時(shí)又要使顧客得到較多的實(shí)惠？ (2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請(qǐng)說明理由． 6．（2022秋·廣東江門·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)． (1)的面積能否等于？請(qǐng)說明理由． (2)幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫出過程． 7．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）． (1)______cm，______cm（用含x的式子表示）； (2)若時(shí)，求x的值； (3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形． 8．（2022秋·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個(gè)方框圈出的四個(gè)數(shù)． (1)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）； (2)若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個(gè)最小數(shù)．

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